Перекладывание камней
Два игрока, Петя и Вова, играют в игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди. Первым ходит Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень или 5 камней. Например, имея кучу из 4 камней, за один ход можно получить кучу из 5 или 9 камней. У каждого игрока имеется неограниченный запас камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 35. Победителем считаается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 35 камней и более.
В начале игры в куче было 1\(\leq\) S\(\leq\) 34.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случиях обосновывайте свой ответ.
1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя выигрывает одним ходом. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрышные ходы.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети, Вова может выиграть совим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вовы.
2. Укажите два значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как походит Вова. Для указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.
3. Укажите значение S, при котором у Вовы есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вовы нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вовы. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вовы (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в куче.
1. а) Петя может выиграть первым ходом, если S = 30, …, 34. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 34 камней. Пете достаточно добавить 5 камней в кучу, чтобы выиграть. При S < 30 получить за один ход больше 34 камней невозможно.
б) Вова может выиграть первым ходом, если сначала в куче было S = 29 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 30 камней или 34 камня, тогда Вова увеличивает количество камней в куче на 5 и выигрывает.
2. Возможные значения S: 28, 24. При данных значениях Петя не может выиграть первым ходом, но он может получить кучу из 29 камней (при S = 28 Петя увеличивает количество камней в куче на 1; При S = 24 — добавляет 5 камней). Тогда при любом ходе Вовы, Петя оказывается в выигрышной позиции, прибавляет к куче 5 камней и побеждает.
3. Возможное значение S = 27. Первым ходом Петя может сделать кучу из 28 или 32 камней. Если в куче 32 камня, то Вова своим первым ходом увеличивает количество камней на 5 и выигрывает. Если в куче 28 камней, то как показано в пункте 2. Вова своим первым ходом прибавляет 1 камень к куче. Петя вторым ходом может получить 30 или 34 камней. Тогда Вова своим вторым ходом выигрывает, прибавив 5 камней к куче.
Два игрока, Паша и Вася, играют в игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди. Первым ходит Паша. За один ход игрок может добавить в кучу 2 камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 14 или 36 камней. У каждого игрока имеется неограниченный запас камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 79. Победителем считаается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 79 камней и более.
В начале игры в куче было 1\(\leq\) S\(\leq\) 78.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случиях обосновывайте свой ответ.
1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Паша выигрывает одним ходом. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрышные ходы.
б) Укажите такое значение S, при котором Паша не может выиграть за один ход, но при любом ходе Паши, Вася может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Васи.
2. Укажите два значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём Паша не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как походит Вася. Для указанных значений S опишите выигрышную стратегию Паши.
3. Укажите значение S, при котором у Васи есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши, но у Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Васи. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Васи (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в куче.
1. а) Паша может выиграть первым ходом, если S = 27, …, 78. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 78 камней. Паше достаточно увеличить количество камней в куче в 3 раза, чтобы выиграть. При S < 27 получить за один ход больше 78 камня невозможно.
б) Вася может выиграть первым ходом, если сначала в куче было S = 26 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 28 или 78 камней, тогда Вася увеличивает количество камней в куче в 3 раза и выигрывает.
2. Возможные значения S: 24, 23. При данных значениях Паша не может выиграть первым ходом, но он может получить кучу из 26 камней (При S = 24 Паша увеличивает количество камней в куче на 2) или кучу из 25 камней (при S = 23 Паша увеличивает количество камней в куче на 2). Тогда при любом ходе Васи, Паша оказывается в выигрышной позиции, увеличивает количество камней в куче в 3 раза и побеждает.
3. Возможное значение S = 21. Первым ходом Паша может сделать кучу из 23 или 63 камней. Если в куче 63 камня, то Вася своим первым ходом увеличивает количество камней в 3 раза и выигрывает. Если в куче 23 камня, то, как показано в пункте (2), Вова своим первым ходом прибавляет 2 камня к куче. Паша вторым ходом может получить 27 или 75 камней. Тогда Вова своим вторым ходом выигрывает, увеличивая количество камней в куче в 3 раза.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 8 камней, за один ход можно получить кучу из 9, 10 или 16 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 42. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 42 или больше камней. В начальный момент в куче было 1\(\leq\) S \(\leq\) 41.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случиях обосновывайте свой ответ.
Задание 1.
а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 2.
Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть за один ход, и Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3.
Укажите значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в куче.
Задание 1.
а) Петя может выиграть своим первым ходом если S = 21, …, 41. Во всех этих случаях достаточно удвоить количество камней. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 41 камня.
б) Ваня может выиграть первым ходом, если исходно в куче будет S = 20 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 21, 22 или 40 камней. Во всех случаях Ваня увеличивает количество камней в куче в два раза и выигрывает.
Задание 2.
Возможные значения S: 19, 18. В этих случаях Петя не может выиграть первым ходом, но может получить кучу из 20 камней (Если S = 19 — прибавлением одного камня, если S = 18 — прибавлением двух камней). Тогда при любом ходе Вани, Петя оказывается в выигрышной позиции, удваивает количество камней в куче и выигрывает.
Задание 3.
S = 17. После первого хода Пети в куче будет 18, 19, или 34 камня. Если в куче станет 34 камня, то Ваня удваивает количество камней и выигрывает своим первым ходом. Случай, когда в куче 18 или 19 камней разобран в задании 2. В этих случаях Ваня выигрывает своим вторым ходом.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 2 или 4 камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 14, 16 или 36 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 68. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 68 или больше камней. В начальный момент в куче было 1\(\leq\) S \(\leq\) 67.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случиях обосновывайте свой ответ.
Задание 1.
а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 2.
Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть за один ход,но Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3.
Укажите значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в куче.
Задание 1.
а) Петя может выиграть своим первым ходом если S = 23, …, 67. Во всех этих случаях достаточно утроить количество камней. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 67 камня.
б) Ваня может выиграть первым ходом, если исходно в куче будет S = 22 камня. Тогда после первого хода Пети в куче будет 24, 26 или 66 камней. Во всех случаях Ваня увеличивает количество камней в куче в три раза и выигрывает.
Задание 2.
Возможные значения S: 20, 18. В этих случаях Петя не может выиграть первым ходом, но может получить кучу из 22 камней (если S = 20 — прибавлением двух камней, если S = 18 — прибавлением четырех камней). Тогда при любом ходе Вани, Петя оказывается в выигрышной позиции, утраивает количество камней в куче и выигрывает.
Задание 3.
S = 16. После первого хода Пети в куче будет 18, 20, или 48 камней. Если в куче станет 48 камней, то Ваня утраивает количество камней и выигрывает своим первым ходом. Случай, когда в куче 18 или 20 камней разобран в задании 2. В этих случаях Ваня выигрывает своим вторым ходом.
Два игрока, Паша и Вася, играют в игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди. Первым ходит Паша. За один ход игрок может добавить в кучу 3 камня или увеличить количество камней в куче в 4 раза. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 15 или 48 камней. У каждого игрока имеется неограниченный запас камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 68. Победителем считаается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 68 камней и более.
В начале игры в куче было 1\(\leq\) S\(\leq\) 67.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случиях обосновывайте свой ответ.
1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Паша выигрывает одним ходом. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрышные ходы.
б) Укажите такое значение S, при котором Паша не может выиграть за один ход, но при любом ходе Паши, Вася может выиграть совим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Васи.
2. Укажите два значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём Паша не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как походит Вася. Для указанных значения S опишите выигрышную стратегию Паши.
3. Укажите значение S, при котором у Васи есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши, но у Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Васи. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Васи (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в куче.
1. а) Паша может выиграть первым ходом, если S = 17, …, 67. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 67 камней. Паше достаточно увеличить количество камней в куче в 4 раза, чтобы выиграть. При S < 17 получить за один ход больше 67 камня невозможно.
б) Вася может выиграть первым ходом, если сначала в куче было S = 16 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 20 или 64 камня, тогда Вася увеличивает количество камней в куче в 4 раза и выигрывает.
2. Возможные значения S: 13, 4. При данных значениях Паша не может выиграть первым ходом, но он может получить кучу из 16 камней (при S = 13 Паша увеличивает количество камней в куче на 3; При S = 4 Паша увеличивает количество камней в куче в 4 раза.), тогда при любом ходе Васи, Паша оказывается в выигрышной позиции, увеличивает количество камней в куче в 4 раза и выигрывает.
3. Возможное значение S = 10. Первым ходом Паша может сделать кучу из 13 или 40 камней. Если в куче 40 камней, то Вася своим первым ходом увеличивает количество камней в 4 раза и выигрывает. Если в куче 13 камней, то как показано в пункте 2. Вася своим первым ходом прибавляет 3 камня к куче. Петя вторым ходом может получить 19 или 64 камня. Тогда Вася своим вторым ходом выигрывает, увеличивая количество камней в куче в 4 раза.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 13 камней, за один ход можно получить кучу из 14, 16 или 39 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 99. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 99 или больше камней. В начальный момент в куче было 1\(\leq\) S \(\leq\) 98.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случиях обосновывайте свой ответ.
Задание 1.
а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 2.
Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть за один ход и Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3.
Укажите значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в куче.
Задание 1.
а) Петя может выиграть своим первым ходом если S = 33, …, 98. Во всех этих случаях достаточно утроить количество камней. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 98 камней.
б) Ваня может выиграть первым ходом, если исходно в куче будет S = 32 камня. Тогда после первого хода Пети в куче будет 33, 35 или 96 камней. Во всех случаях Ваня увеличивает количество камней в куче в три раза и выигрывает.
Задание 2.
Возможные значения S: 31, 29. В этих случаях Петя не может выиграть первым ходом, но может получить кучу из 32 камней (Если S = 31 — прибавлением одного камня, если S = 29 — прибавлением трех камней). Тогда при любом ходе Вани, Петя оказывается в выигрышной позиции, утраивает количество камней в куче и выигрывает.
Задание 3.
S = 28. После первого хода Пети в куче будет 29, 31, или 84 камня. Если в куче станет 29 камня, то Ваня прибавляет 3 камня, получает 32, и это является проигрышной позицией для Пети (см. пункт 2.). Аналогично, если Ваня получает кучу из 31 камня (см. пункт 2). Если Ваня получает кучу из 84, то он утраивает количество камней в куче и выигрывает своим первым ходом.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 17 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 24. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 24 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, \(1 \leq S \leq 23\).
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.
1. а) Укажите все такие значения числа \(S\), при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения \(S\), и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения \(S\).
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
2. Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём (а) Петя не может выиграть за один ход и (б) Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого указанного значения \(S\) опишите выигрышную стратегию Пети.
3. Укажите значение S, при котором:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в куче.
1. а) Петя может выиграть, если \(S = 12, \dots, 23\). При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 23 камней. Пете достаточно увеличить количество камней в 2 раза. При \(S < 12\) получить за один ход больше 24 камней не возможно.
1. б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет S=11 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 12 камней или 13 камней, или 22 камня. В обоих случаях Ваня увеличивает количество камней в 2 раза и выигрывает в один ход.
2. Возможные значения \(S\): 9, 10. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 11 камней (при S = 9 он добавляет 2 камня; при S = 10 — добавляет 1 камень). Эта позиция разобрана в п. 1 б. В ней игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть Петя) следующим ходом выиграет.
3. Возможное значение S: 8. После первого хода Пети в куче будет 9, 10 или 16 камней. Если в куче станет 16 камней, Ваня увеличит количество камней в 2 раза и выиграет своим первым ходом. Ситуация, когда в куче 10 камней, разобрана в п. 2. В этой ситуации игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом. Если в куче оказывается 9 камней, то Ваня добавляет в кучу 2 камня и ситуация сводится к уже разобранной в пункте 2.
В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) подчёркнуты.
