16. Системы счисления (сложно) (страница 5)
Решите уравнение: \(69_{11}=300_x\)
Переведем обе части уравнения вдесятичную систему счисления:
\(69_{11}=9\cdot11^0+6\cdot11^1=75\)
\(300_x=0\cdot x^0+0\cdot x^1+3\cdot x^2=3x^2\)
Теперь решим новое линейное уравнение и найдем ответ:
\(75=3x^2\)
\(x^2=25\)
\(x=\pm5\)
Отрицательный корень нам не подходит, т.к. основание системы счисления не может быть отрицательным. Значит, искомое основание равно 5.
Решите уравнение: \(15_x+7_{10}=33_5\)
Для начала переведем все числа в десятичную систему счисления:
\(15_x=5\cdot x^0+1\cdot x^1=5+x\)
\(33_5=3\cdot5^0+3\cdot5^1=18\)
Теперь, когда все числа находятся в одной системе счисления, можем составить линейное уранение и решить его:
\(5+x+7=18\)
\(x=6\)
Решите уравнение: \(34_x+89_{10}=424_5\)
Для начала переведем все числа в десятичную систему счисления:
\(34_x=4\cdot x^0+3\cdot x^1=4+3x\)
\(424_5=4\cdot5^0+2\cdot5^1+4\cdot5^2=114\)
Теперь, когда все числа находятся в одной системе счисления, можем составить линейное уранение и решить его:
\(4+3x+89=114\)
\(3x=21\)
\(x=7\)
Решите уравнение: \(67_9+43_x=323_5\)
Для начала переведем все числа в десятичную систему счисления:
\(43_x=3\cdot x^0+4\cdot x^1=3+4x\)
\(323_5=3\cdot5^0+2\cdot5^1+3\cdot5^2=88\)
\(67_9=7\cdot9^0+6\cdot9^1=61\)
Теперь, когда все числа находятся в одной системе счисления, можем составить линейное уранение и решить его:
\(61+3+4x=88\)
\(4x=24\)
\(x=6\)
Решите уравнение: \(78_{11}=125_x\)
Переведем обе части уравнения в десятичную систему счисления:
\(78_{11}=8\cdot11^0+7\cdot11^1=85\)
\(125_x=5\cdot x^0+2\cdot x^1+1\cdot x^2=5+2x+x^2\)
Теперь решим новое квадратное уравнение и найдем ответ:
\(85=5+2x+x^2\)
\(x^2+2x-80=0\)
\(D=4-4\cdot(-80)=324=18^2\)
\[\left[ \begin{gathered} x=\frac{-2+18}{2}=\frac{16}{2}=8 \hfill \\ x=\frac{-2-18}{2}=-\frac{20}{2}<0, \text{основание системы счисления не может быть отрицательным}\\ \end{gathered} \right.\]
Значит, искомое основание равно 8.
Решите уравнение: \(37_{11}=31_x\)
Переведем обе части уравнения в десятичную систему счисления:
\(37_{11}=7\cdot11^0+3\cdot11^1=40\)
\(31_x=1\cdot x^0+3\cdot x^1=1+3x\)
Теперь решим новое линейное уравнение и найдем ответ:
\(40=1+3x\)
\(39=3x\)
\(x=13\)
Значит, искомое основание равно 13.
Решите уравнение: \(14_{7}=12_x\)
Переведем обе части уравнения в десятичную систему счисления:
\(14_{7}=4\cdot7^0+1\cdot7^1=11\)
\(12_x=2\cdot x^0+1\cdot x^1=2+x\)
Теперь решим новое линейное уравнение и найдем ответ:
\(11=2+x\)
\(x=9\)
