2. Таблицы истинности (страница 5)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \wedge \overline y) \equiv (x \vee \overline y \vee \overline z)\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений \(x,\) при которых \(F = 0.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
1. Поймём для начала, когда эквивалентность будет истинна. На основе этого найдём, когда будет ложна. Можно понять, что \(F = 1,\) если \(x = 1, \; y = 0.\) Значит \(F = 1\) на пятой и шестой строчке таблицы истинности. В этом случае обе скобки примут значение 1.
2. Обе скобки будут ложными, а эквивалентность истинна только тогда, когда \(x = 0, \; y = 1, \; z = 1\) (этот вывод можно сделать исходя из второй скобки). При этих же значениях переменных первая скобка будет тоже ложна, а значит, эквивалентность будет истинна. То есть четвёртая строка тоже даст \(F = 1.\)
3. Следовательно, наборы переменных в остальных строчках дадут нам \(F = 0.\) Посчитаем сумму значений \(x\) и получим ответ 2.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \equiv (\overline y \vee z)) \wedge (x \rightarrow \overline y)\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
1. Конъюнкция будет равна истинна, если каждая из скобок будет истинна. Обратим внимание на вторую скобку. Если \(x = 1, \; y = 1,\) то \(F = 0.\) Следовательно, в седьмой и восьмой строчках \(F = 0.\)
2. В первой скобке если \(x = 1,\) то \((\overline y \vee z) = 1.\) Причём \((\overline y \vee z) = 0\) тогда, когда \(z = 0, \; y = 1\) (в этом случае \(F = 0,\) это седьмая строчка). Если \(x = 0,\) то \((\overline y \vee z) = 0.\) Причём \((\overline y \vee z) = 1\) тогда, когда \(z = 1, \; y = 0,\) либо \(z = 1, \; y = 1,\) либо \(z = 0, \; y = 0.\) Таким образом, в первой, второй и четвёртой строчках \(F = 0.\) Следовательно, в третьей, пятой и шестой строчках \(F = 1.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \wedge y \wedge \overline z) \vee (z \wedge \overline x)\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых \(F = 0.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
Дизъюнкция истинна, когда хотя бы одна из скобок истинна. Первая скобка истинна при \(x=1\;y=1\;z=0,\) поэтому в седьмой строке \(F=1.\) Вторая скобка истинна при \(z=1,\; x=0,\) значит, во второй и четвертой строках \(F=1.\) Тогда в первой, третьей, пятой, шестой, восьмой строках \(F=0.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((\overline x \wedge y) \equiv z\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
1. Если \(z = 1,\) то и конъюнкция должна быть истинна. То есть \(y = 1, \; x = 0.\) Следовательно, в четвёртой строке \(F = 1.\)
2. Если \(z = 0,\) то \(F = 1\) в любых комбинациях \(x, \; y\) кроме той, когда \(x = 0, \; y = 1.\) Значит первая, пятая и седьмая строки дают нам \(F = 1.\) Суммарно 4 строки, в которых \(F = 1.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \vee \overline y) \wedge (z \vee (x \rightarrow y))\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений \(x,\) при которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
1. Рассмотрим, когда конъюнкция будет истинной. Когда мы это найдем, то поймем, какие строчки дадут нам \(F = 1.\) Конъюнкция будет истинна, если каждая из скобкой будет истинной. Первая скобка истинна при всех комбинациях \(x, \; y\) кроме той, когда \(x = 0, \; y = 1.\) Значит можно точно сказать, что третья и четвёртая строки дадут \(F = 0.\)
2. Вторая скобка истинна только при одной комбинации переменных: \(z = 0, \; x = 1, \; y = 0.\) Этому набору соответствует пятая строка таблицы истинности. Таким образом, \(F = 1\) при наборах, представленных в оставшихся строчках. Сумма значений \(x\), при которых \(F = 1:\) 3.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((\overline x \wedge y) \rightarrow z) \rightarrow \overline y\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений \(y,\) при которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
Для начала найдем те строчки, в которых \(F = 0.\) Для этого импликация должна быть ложной, а ложной она будет в том случае, если \(\overline y = 0.\) Следовательно, \(y = 1.\) Первая скобка в таком случае должна быть истинной. Она будет истинной при всех комбинациях переменных кроме той, когда \(x = 0, \; y = 1, \; z = 0.\) Становится ясно, что \(F = 0\) в четвёртой, седьмой и восьмой строчках. Значит в остальных строчках \(F = 1.\) Причём сумма значений \(y\) равна 1.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \wedge \overline y) \wedge (z \rightarrow \overline x) \wedge (y \equiv z)\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, при которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
Конъюнкция истинна, если каждая из скобок истинна. Рассмотрим первую скобку. Она истинна в том случае, если \(x = 1, \; y = 0.\) Если \(z = 0,\) то не выполнится эквивалентность в третьей скобке. Это значит, что \(z = 1.\) Таким образом, подходит только один набор переменных, при которых \(F = 1.\) Этот набор соответствует пятой строке.
