Простейшие логические выражения (страница 2)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((y \vee x) \rightarrow (x \equiv z)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{???} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{???} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Обратим внимание на первую строчку фрагмента таблицы. Предположим, что все переменные принимают значение 0. Тогда \((y \vee x) = 0,\) а значит \(F = 1.\) То есть все переменные не могут быть одновременно нулями. Значит в первой ячейке первой строчки стоит 1. Предположим, что это \(y.\) Но так как \(x = z = 0\) в таком случае, то \((x \equiv z) = 1,\) то есть \(F = 1.\) Если это \(z,\) то так как \((y \vee x) = 0,\) то импликация будет истинной. Следовательно, первый столбец занимает переменная x.
2. Рассмотрим теперь вторую строчку. Мы поняли, что одновременно нулями все переменные быть не могут, быть единицей может только \(x\) (в то время как остальные переменные равны нулю). Значит, первую и вторую ячейку занимает единица. Теперь рассмотрим, когда \(y = 0, \; z = 1.\) Но тогда \(x = z = 1,\) а значит, \((x \equiv z) = 1.\) Значит импликация будет истинной при этом. Остаётся вариант, когда \(y = 1, \; z = 0.\) Данный вариант удовлетворяет условиям, так \(F = 0.\) Следовательно, \(y\) занимает второй столбец, а \(z\) занимает третий.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((y \equiv z) \vee (\overline y \wedge x)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{0} & 1 & 1 & 0 \\ \hline \text{???} & ??? & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Дизъюнкция ложна тогда, когда обе скобки будут ложны. Следовательно, \(y\) и \(z\) имеют разные значения. Рассмотрим вторую строчку. Предположим, что \(x\) занимает первый столбец. Но тогда, так как \(y = z = 1,\) то \(F = 1.\) Если \(y\) занимает первый столбец, то \((\overline y \wedge x) = 1,\) а значит, \(F = 1.\) Следовательно, первый столбец занят переменной \(z.\)
2. Рассмотрим вариант, когда \(y\) занимает второй столбец, а \(x\) занимает третий. Так как \(y\) и \(z\) принимают разные значения, а строчки не могут повторяться, то первая ячейка третьей строки равна 1, а вторая ячейка равна 0. В таком случае вторая скобка будет истинной, а значит, дизъюнкция будет истинной. Следовательно, второй столбец занимает \(x,\) а третий столбец занимает \(y.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \rightarrow y) \wedge (y \rightarrow z)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \text{0} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Рассмотрим первую строчку фрагмента таблицы истинности. Для истинности функции каждая из скобок должна быть истинна. Следовательно, ни одна из импликакий не должна быть ложной, а это означает, что ни \(x,\) ни \(y\) не равны 1. В таком случае третий столбец занимает переменная \(z\).
2. Рассмотрим вторую строчку. Видим, что переменная \(z\) вновь принимает значение 1. Первая импликация должна быть истинной, а это будет возможно тогда, когда \(x = 0, \; y = 1.\) Получается, что \(x\) занимает второй столбец, а \(y\) занимает первый.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((z \equiv y) \vee (x \wedge y)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{???} & ??? & 1 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & ??? & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Дизъюнкция ложна в случае, когда обе скобки будут ложными. А это значит, что \(z, \; y\) будут иметь разные значения. Посмотрев на первую и третью строчки мы поймём, что эти переменные не могут занимать второй и третий столбец, первый и второй. Исходя из этого получим, что \(x\) занимает второй столбец.
2. Посмотрим на третью строчку. В ней \(x = 1,\) а это значит, что \(y = 0\) в этой строке, чтобы конъюнкция во второй скобке была ложной. Получается, что в третьей ячейке третьей строки находится 0. И этот столбец занят переменной \(y.\) А первый столбец отводится под переменную \(z.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \rightarrow \overline y) \rightarrow (\overline x \equiv \overline z)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
Импликация ложна в случае, когда первая скобка будет истинной, а вторая скобка будет ложной. Вторая скобка ложна в случае, когда переменные \(x, \; z\) имеют разные значения. Из первой и третьей строчек мы можем сделать вывод о том, что эти переменные не могут занимать второй и третий, первый и второй столбцы. Следовательно, \(y\) занимает второй столбец. Рассмотрим вторую строку, в ней \(y = 1.\) Так как \((x \rightarrow \overline y) = 1,\) то \(x = 0.\) Значит \(x\) занимает третий столбец, а \(z\) занимает первый.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((z \equiv x) \vee (\overline y \wedge x)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{0} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \text{???} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. \(F = 0\) тогда, когда дизъюнкция ложна, а ложна она в случае, когда обе скобки ложны. Значит \(z, \; x\) имеют разные значения. Предположим, что \(x\) занимает третий столбец. Обратимся к первой строке. Но тогда конъюнкция во второй скобке истинна, что делает \(F = 1.\) Если \(y\) занимает третий столбец, то \(z = x = 0,\) что также делает \(F = 1.\) Следовательно, третий столбец занят переменной \(z.\)
2. Обратимся к третьей строке, в ней \(z = 0,\) значит, \(x = 1.\) Тогда \(y = 1.\)
3. Теперь обратимся ко второй строчке. Предположим, что в ней \(z = 0.\) Тогда \(x = 1,\) а значит, занимает второй столбец. Но тогда \(y = 1,\) что не подходит для второй строки. Значит в ней \(z = 1.\) Тогда \(x = 0,\) а значит, \(y = 0,\) либо \(y = 1.\) В первом случае строка совпадет с первой строкой, значит подойдёт второй вариант. Таким образом, \(y\) занимает второй столбец, а \(x\) занимает первый.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((z \equiv y) \equiv (\overline y \vee \overline x)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 0 & ??? & 0 \\ \hline \text{???} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Эквивалентность ложна тогда, когда одна скобка истинна, а вторая ложна. Рассмотрим третью строчку фрагмента таблицы истинности. Предположим, что второй столбец занимает переменная \(x,\) тогда первая и вторая скобки истинны, а значит, \(F = 1.\) Предположим, что второй столбец занят переменной \(z.\) В таком случае первая и вторая скобка ложны, а значит, \(F = 1.\) Следовательно, во втором столбце находится переменная \(y.\)
2. Рассмотрим первую строку таблицы истинности. Предположим, что переменные принимают значение 0, но тогда \(F = 1.\) Значит в третьей ячейке первой строки находится 1. В этой строке \(y\) принимает значение 0. Если \(x = 1, \; z = 0,\) то первая скобка примет значение 1, вторая тоже значение 1, а значит, эквивалентность будет истинна. Значит третий столбец занимает переменная \(z,\) а первый столбец переменная \(x.\) При таком расположении переменных \(F = 0.\)
