Заполнение таблицы истинности (страница 4)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(x \wedge (y \equiv (\overline y \rightarrow z))\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{0} & 1 & 1 & 1 \\ \hline \text{1} & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Мы можем однозначно определить, что \(x = 1\) для истинности функции \(F.\) Следовательно, переменная \(x\) занимает второй столбец.
2. Рассмотрим вторую строчку фрагмента таблицы истинности. Предположим, что \(z\) - это третий столбец, а \(y\) — первый. Но в таком случае импликация будет истинна, эквивалентность ложна, а значит, функция ложна. Покажем, что \(z\) - это первый столбец, а \(y\) — третий столбец. Тогда импликация будет истинна, эквивалентность истинна, а значит, и конъюнкция будет истинна. Следовательно, переменные расположены в порядке \(zxy.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \vee y) \rightarrow (\overline x \equiv z)\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений \(z,\) при которых \(F = 0.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
1. Импликация ложна в том случае, если первая скобка принимает значение 1, а вторая значение 0. Следовательно, для этого \(x = z.\) Этому условию подходят первая, третья, шестая и восьмая строчки.
2. Для истинности первой скобки хотя бы одна из переменных \(x, \; y\) должна быть равна 1. Используя этот факт, мы оставляем третью, шестую и восьмую строчки. Именно в этих строчках \(F = 0.\)
3. Посчитаем сумму значений \(z,\) при которых \(F = 0.\) Получим ответ 2.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((a \rightarrow (b \wedge c)) \wedge (b \rightarrow c)\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений \(c,\) при которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a & b & c & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
1. Заметим, что функция истинна, когда обе скобки истинны.
2. Первая скобка ложна, когда \(a = 1,\) а хотя бы одна из переменных \(b, c\) равна 0. Используя этот факт отметим, что пятая, шестая и седьмая строчки таблицы истинности принимают значение 0.
3. Вторая скобка ложна, когда \(b = 1, \; c = 0.\) Следовательно, третья строчка принимает значение 0.
4. Значит в остальных строчках таблицы истинности функция истинна. В таком случае сумма значений \(c\) равна 3.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((a \rightarrow b) \wedge (b \equiv c) \wedge d\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений \(d,\) при которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a & b & c & d & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^4 = 16\) строк.
1. Так как конъюнкция ложна, если ложно хотя бы одно из высказываний, то при \(d = 0\) \(F = 0\) при любых \(a,\) \(b\) и \(c\) (строки 1, 6-10, 12, 14 в таблице истинности).
2. Рассмотрим случай, когда \(d = 1.\) Тогда \((a \rightarrow b) \wedge (b \equiv c) \wedge d = (a \rightarrow b) \wedge (b \equiv c) \wedge 1 = (a \rightarrow b) \wedge (b \equiv c).\) При \(b = 1\) \(a \rightarrow b = a \rightarrow 1 = 1\) при любом \(a,\) так как импликация ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. Если \(c = 1,\) то \(b \equiv c = 1,\) так как операция эквивалентности истинна, когда оба выражения истинны или оба ложны, и \(F = 1\) (так как все выражения, входящие в конъюнкцию, истинны). Это соответствует строкам 4 и 5. Если \(c = 0,\) то \(b \equiv c = 0,\) \(F = 0,\) так как одно из выражений, входящее в конъюнкцию, ложно (строки 11 и 16).
При \(b = 0:\) если \(a = 1,\) то \(a \rightarrow b = 1 \rightarrow 0 = 0,\) тогда одно из выражений, входящих в конъюнкцию, ложно, и \(F = 0\) при любом \(c\) (строки 13 и 15). Если \(a = 0,\) то \(a \rightarrow b = 0 \rightarrow 0 = 1.\) Если \(c = 0,\) то \(b \equiv c = 0 \equiv 0 = 1,\) \(F = 1,\) так как оба выражения, входящих в конъюнкцию, истинны (строка 2). Если \(c = 1,\) то \(b \equiv c = 0 \equiv 1 = 0,\) \(F = 0,\) так как одно из выражений, входящих в конъюнкцию, ложно (строка 3).
Таким образом, \(F = 1\) при \(d = 1\) (строки 2, 4, 5). Сумма значений \(d\) равна 1 * 3 = 3.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((a \wedge b) \vee (b \wedge c)) \equiv ((d \rightarrow a) \vee (b \wedge \overline c)) \)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений \(a,\) при которых \(F = 0.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a & b & c & d & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
1. По закону дистрибутивности \((a \wedge b) \vee (b \wedge c) = b \wedge (a \vee c).\)
2. \(d \rightarrow a = \overline d \vee a.\)
3. \(((a \wedge b) \vee (b \wedge c)) \equiv ((d \rightarrow a) \vee (b \wedge \overline c)) = b \wedge (a \vee c) \equiv (\overline d \vee a \vee (b \wedge \overline c)) .\)
4. Если \(b = 0,\) то левая часть функции равна 0 \((0 \wedge (a \vee c) = 0).\) \(b \wedge \overline c = 0 \wedge \overline c = 0.\) Значит, для \(b = 0\) \(c\) может быть любым, так как не влияет на значение функции. \(F = 1,\) если \(\overline d \vee a = 0\) (тогда одно из выражений, входящих в дизъюнкцию, будет истинно). Это выполняется при \(\overline d = 0\) \((d = 1)\) и \(a = 0\) (строки 2, 3). При других \(d\) и \(a\) \(\overline d \vee a = 0,\) значит, \(F = 0,\) так как операция эквивалентности истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно истинны или ложны (строки 1, 10 в таблице истинности).
5. Если \(b = 1,\) то \(b \wedge (a \vee c) = 1 \wedge (a \vee c) = a \vee c.\) \(b \wedge \overline c = 1 \wedge \overline c = \overline c.\) Тогда имеем, что \(a \vee c \equiv \overline d \vee a \vee \overline c.\) Если \(a = 1,\) то \(a \vee c = 1 \) и \(\overline d \vee a \vee \overline c = 1,\) так как дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из выражений истинно (а в обеих дизъюнкциях есть \(a = 1).\) Тогда, если \(b = 1\) и \(a = 1,\) \(F = 1\) при любых \(c\) и \(d\) (строки 5, 7, 8, 11).
Если \(a = 0,\) то \(a \vee c = 0 \vee c = c,\) а \(\overline d \vee a \vee \overline c = \overline d \vee \overline c.\) Имеем: \(c \equiv (\overline d \vee \overline c).\) При \(c = 1\) \(1 \equiv \overline d.\) При \(d = 1\) \(F = 0,\) так как высказывания различны (строка 4), при \(d = 0\) \(F = 1,\) так как оба высказывания истинны (строка 14). При \(c = 0\) \(0 \equiv (\overline d \vee 1).\) Так как \(\overline d \vee 1\) — дизъюнкция, в которой одно из высказываний истинно, то и вся дизъюнкция истинна. Тогда \(0 \equiv 1,\) что неверно, значит, \(F = 0\) при любых \(d\) (строка 9, 16).
По построенной таблице видим, что \(F = 0\) при \(a = 0\) (строки 1, 4, 9, 10, 16) и при \(a = 1\) (строки 6, 12, 13, 15). Тогда сумма значений равна 0 * 5 + 1 * 4 = 4.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(a \wedge ((\overline{b \wedge c}) \vee (a \wedge \overline b) \vee (\overline c \wedge a)) \)
Составьте её таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений \(a,\) \(b\) и \(c,\) при которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a & b & c & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
1. В таблице истинности \(2^3 = 8\) строк.
2. При \(a = 0\) \(F = 0\) при любых значениях \(b\) и \(c,\) так как конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда все высказывания, входящие в нее, истинны (строки 1-4 в таблице истинности).
3. Рассмотрим случаи, когда \(a = 1.\) Если \(\overline {(b \wedge c)} \vee (a \wedge \overline b) \vee (\overline c \wedge a) = 1,\) то \(F = 1\) (так как оба высказывания будут истинны), иначе \(F = 0\) (так как одно высказывание будет ложно). По закону де Моргана \(\overline{b \wedge c} = \overline b \vee \overline c.\) Тогда, учитывая, что \(a = 1,\) \(\overline {(b \wedge c)} \vee (a \wedge \overline b) \vee (\overline c \wedge a) = \overline b \vee \overline c \vee \overline b \vee \overline c = \overline b \vee \overline c.\)
4. Если \(\overline b = 0\) и \(\overline c = 0\) (одновременно, то есть при \(b = 1\) и \(c = 1),\) то \(\overline b \vee \overline c = 0\) и \(F = 0\) (строка 8). В остальных случаях \(\overline b \vee \overline c = 1\) и \(F = 1\) (строки 5-7).
5. Наборы \((x,\) \(y,\) \(z),\) при которых \(F = 1:\) (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1). Сумма значений равна 5.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((\overline{z \vee \overline y}) \vee (w \wedge (z \equiv y)) \)
Составьте её таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений \(z,\) \(y\) и \(w,\) при которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline w & y & z & \overline y & z \vee \overline y & \overline{z \vee \overline y} & z \equiv y & w \wedge (z \equiv y) & \overline z \vee \overline y \vee w \wedge (z \equiv y) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
1. \((\overline{z \vee \overline y}) = \overline z \wedge y \)
2. В таблице истинности будет \(2^3 = 8\) строк.
3. Если \( z = 1 \) и \(y = 1,\) \(то (z \equiv y) = 1 \) (так как эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно ложны или истинны). \(\overline z \wedge y = 0\) \((0 \wedge 1 = 0).\) Если \(w = 1,\) \(w \wedge (z \equiv y) = 1\) \((1 \wedge 1 = 1)\) и \(F = 1,\) так как дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из входящих в нее высказываний (строка 8 в таблице истинности). Если \(w = 0,\) \(w \wedge (z \equiv y) = 0\) \((0 \wedge 1 = 0)\) и \(F = 0,\) так как оба высказывания, входящие в дизъюнкцию, ложны (строка 4).
4. Аналогично для \(z = 0, y = 0.\) \((z \equiv y) = 1,\) \(\overline z \wedge y = 0\) \((1 \wedge 0 = 0).\) Тогда снова значение функции будет зависеть от \(w.\) При \(w = 1\) \(w \wedge (z \equiv y) = 1,\) \(F = 1,\) так как одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, истинно (строка 5), а при \(w = 0\) \(w \wedge (z \equiv y) = 0,\) \(F = 0,\) так как все высказывания ложны (строка 1).
5. Если \(z = 0\) и \(y = 1,\) то \(\overline z \wedge y = 1\) \((1 \wedge 1 = 1).\) Так как \((z \equiv y) = 0\) (ведь значения \(z\) и \(y\) различны), \(w \wedge (z \equiv y) = w \wedge 0\) будет ложна при любом \(w.\) Тогда, так как значение переменной \(w\) не будет влиять на значение функции, при \(z = 0\) и \(y = 1\) \(w\) может быть как 0, так и 1. \(F = 1,\) так как одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, истинно (строки 3, 7).
6. Если \(z = 1\) и \(y = 0,\) то \(\overline z \wedge y = 0 \wedge 0 = 0.\) Так как \((z \equiv y) = 0,\) \(w \wedge (z \equiv y) = w \wedge 0\) будет ложна при любом \(w\) (то есть \(w\) может быть и 0 и 1). Значит, при \(z = 1\) и \(y = 0\) \(F\) всегда будет ложна (так как оба высказывания, входящих в дизъюнкцию, ложны, строки 2, 5).
7. \(F = 1\) при следующих наборах \(z,\) \(y,\) \(w:\) (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 0). Если просуммировать значения, то получим 7.
