Другие задачи повышенного уровня сложности по геометрии
В треугольнике \(ABC\) биссектриса угла \(A\) делит высоту, проведенную из точки \(B\), в отношении \(5:4\), считая от вершины \(B\). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), если \(BC=12\).
Рассмотрим чертеж:
Из условия следует, что \(BO:OH=5:4\). По свойству биссектрисы \(AO\) в \(\triangle ABH\): \(AB:AH=BO:OH=5:4\). Пусть \(AB=5x\), \(BH=4x\). Так как этот треугольник прямоугольный, то \(AH=3x\). Следовательно, \(\sin\angle A=\frac35\). Тогда по теореме синусов \[R_{ABC}=\dfrac{BC}{2\sin \angle A}=\dfrac{12}{2\cdot \frac35}=10.\]
Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(K\). Найдите площадь параллелограмма, если \(BC=7\), а расстояние от точки \(K\) до стороны \(AB\) равно \(4\).
Рассмотрим чертеж:
Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, следовательно, если \(KN\perp AD\), то \(KM=KN=4\). Аналогично \(KL=KM=4\). Таким образом, из точки \(K\) проведены два перпендикуляра к параллельным сторонам параллелограмма, следовательно, точки \(N, K,
L\) лежат на одной прямой, то есть \(LN\) – высота параллелограмма. Тогда \(S_{ABCD}=LN\cdot AD=8\cdot 7=56\).
Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении \(40:1\), считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна \(12\).
Пусть \(AO:OK=40:1\).
Так как биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то для \(\triangle
ABK\): \(AB:BK=AO:OK=40:1\). Пусть \(AB=40x\), \(BK=x\). Аналогично для \(\triangle ACK\): \(AC=40y\), \(CK=y\). Тогда \(12=BC=x+y\). Периметр \(\triangle ABC\) равен \(40x+x+y+40y=41(x+y)=41\cdot 12=492\).
