Задачи на подобие треугольников и пропорциональные отрезки
Основания трапеции относятся как \(1:3\). Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Рассмотрим чертеж:
Проведем \(H_1H_2\perp AD\) через \(O\). Тогда \(H_1H_2\perp BC\) (так как \(BC\parallel AD\)). По свойству трапеции \(\triangle BOC\sim \triangle
AOD\) (из условия следует, что коэффициент подобия равен \(BC:AD=1:3\)). Следовательно, \(BO:OD=CO:OA=H_1O:OH_2=1:3\). Отсюда следует, что \(AO:AC=DO:DB=3:4\).
Заметим, что \(\triangle AMO\sim \triangle ABC\) (один угол общий и \(\angle AMO=\angle ABC\) как соответственные при \(MO\parallel BC\) и секущей \(AB\)). Следовательно, \[\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{MO}{BC}\quad\Rightarrow\quad
MO=\dfrac34x,\quad (x=BC)\]Аналогично \(NO=\frac34x\). Следовательно, \(MN=\frac32x\).
Следовательно, \[\dfrac{S_{MBCN}}{S_{AMND}}=\dfrac{\frac{x+\frac32x}2\cdot OH_1}{\frac{3x+\frac32x}2
\cdot OH_2}=\dfrac5{27}\]
Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно \(2\).
Рассмотрим чертеж:
1) Докажем, диагонали параллелограмма делят стороны ромба на две равные части, то есть, например, что \(A_1M=MD_1\).
Так как \(A_1D_1\parallel BD\), то \(\triangle AA_1M\sim \triangle ABO\) (действительно, \(\angle BAO\) – общий, \(\angle AA_1M=\angle ABO\) как соответственные при \(A_1D_1\parallel BD\) и секущей \(AB\)). Аналогично \(\triangle AD_1M\sim \triangle ADO\). Отсюда следует, что \[\dfrac{A_1M}{BO}=\dfrac{AM}{AO}=\dfrac{MD_1}{OD}\] Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то есть \(BO=OD\), то и \(A_1M=MD_1\). Чтд.
2) Найдем связь стороны ромба с диагональю параллелограмма. Обозначим \(AA_1=a\), \(A_1B=b\), \(BO=x\), \(AO=2x\). Тогда \[\begin{aligned} &\dfrac{A_1M}{BO}=\dfrac{AA_1}{AB}\quad\Rightarrow\quad A_1M=\dfrac {ax}{a+b}\\[2ex] &\dfrac{A_1N}{AO}=\dfrac{A_1B}{AB}\quad\Rightarrow\quad A_1N=\dfrac{2xb}{a+b} \end{aligned}\] Так как стороны ромба равны, то равны и половины сторон, то есть \[A_1M=A_1N\quad\Rightarrow\quad \dfrac{ax}{a+b}=\dfrac{2xb}{a+b}\quad\Rightarrow \quad a=2b\] Значит, \(A_1B_1=2A_1N=\frac43x\).
3) Заметим, что \(A_1NOM\) – параллелограмм, следовательно, \(\angle NOM=\angle NA_1M=\alpha\). Площадь ромба будет искать как произведение сторон на синус угла между ними, площадь параллелограмма – как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними: \[\dfrac{S_{A_1B_1C_1D_1}}{S_{ABCD}}=\dfrac{\frac43x\cdot \frac43x\cdot \sin\alpha}{ \frac12\cdot 4x\cdot 2x\cdot \sin\alpha}=\dfrac49\]
