Задачи, решающиеся теоремой Менелая или Чевы
В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(BE\) и медиана \(AD\) перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную \(4\). Найдите стороны треугольника \(ABC\).
1) Так как \(BK\) – биссектриса и высота в \(\triangle ABD\), то этот треугольник равнобедренный, следовательно, \(AB=BD\).
2) Так как \(BE\) – биссектриса в \(\triangle ABC\), то \(CE:EA=CB:BA=2:1\).
3) Применим теорему Менелая для \(\triangle CBE\) и прямой \(AD\): \[\dfrac{CD}{DB}\cdot \dfrac{BK}{KE}\cdot \dfrac{EA}{AC}=1 \quad\Rightarrow\quad 1\cdot \dfrac{BK}{KE}\cdot \dfrac13=1\] Следовательно, \(BK:KE=3:1\). Так как \(BE=4\), то \(BK=3\), \(KE=1\).
4) Так как \(BK\) – высота в равнобедренном треугольнике, то она также является и медианой, то есть \(AK=KD=2\).
5) Тогда из прямоугольного \(\triangle ABK\): \(AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\). Тогда \(BC=2AB=2\sqrt{13}\).
6) Из прямоугольного \(\triangle AKE\): \(AE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt 5\), следовательно, \(AC=3AE=3\sqrt5\).
