Работа с окружностью (страница 2)
Окружность с центром на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через вершину \(C\) и касается прямой \(AB\) в точке \(B\). Найдите диаметр окружности, если \(AB=9\), \(AC=12\).
Рассмотрим чертеж:
Касание окружности со стороной \(AB\) в точке \(B\) означает, что радиус, проведенный в точку \(B\), перпендикулярен \(AB\). Пусть \(O\) – центр окружности. Тогда радиус \(OB\perp AB\).
Так как в задаче нужно найти длину отрезка, известны два отрезка и есть прямой угол, то скорее всего нужно будет воспользоваться теоремой Пифагора.
Заметим, что \(OC\) – радиус. Обозначим радиус окружности за \(R\). Тогда \(AO=12-R\), \(OB=R\). \(\triangle ABO\) прямоугольный и по теореме Пифагора \[AO^2=AB^2+BO^2\quad\Rightarrow\quad (12-R)^2=9^2+R^2\quad\Rightarrow\quad
R=\dfrac{21}8\]Следовательно, диаметр окружности равен \(d=\frac{21}4=5,25\).
Окружность пересекает стороны \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно и проходит через вершины \(B\) и \(C\). Найдите длину отрезка \(KP\), если \(AK=6\), а сторона \(AC\) в 1,5 раза больше стороны \(BC\).
Пусть \(BC=x\), тогда \(AC=1,5x\). Рассмотрим чертеж:
Он полностью соответствует факту \(\triangle AKP\sim \triangle ACB\). Из данного подобия следует, что \[\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{KP}{BC}\quad\Rightarrow\quad KP=4.\]
