Функция обратной пропорциональности

На рисунке изображена гипербола, уравнение которой имеет вид \(y=\dfrac kx\), причем, так как она находится во 2 и 4 четвертях, то \(k<0\).
Следовательно, выбираем между 2 и 4.
Данная гипербола проходит, например, через точку \(x=-1, y=3\). Проверкой убеждаемся, что эта точка удовлетворяет уравнению 4 (подставим: \(y=-\frac3{-1}=3\)).

(В данном случае достаточно было бы воспользоваться тем, через какую точку проходит гипербола.)

На рисунке изображена гипербола, уравнение которой имеет вид \(y=\dfrac kx\), причем, так как она находится в 1 и 3 четвертях, то \(k>0\).
Следовательно, выбираем между 1 и 4.
Данная гипербола проходит, например, через точку \(x=1, y=4\). Проверкой убеждаемся, что эта точка удовлетворяет уравнению 1 (подставим \(y=\frac 41=4\)).

(В данном случае достаточно было бы воспользоваться тем, через какую точку проходит гипербола.)

Если в уравнении гиперболы \(y=\frac kx\) коэффициент \(k>0\), то она находится в 1 и 3 четвертях, если \(k<0\) – во 2 и 4. В нашем случае гипербола \(y=\frac 3x\) находится в 1 и 3 четвертях, следовательно, либо картинка 1, либо картинка 2.
Гипербола \(y=\frac 3x\) проходит через точку \(x=1, y=3\). Через эту точку проходит только гипербола, изображенная на картинке 2.

(В данном случае достаточно было бы воспользоваться тем, через какую точку проходит гипербола.)

Если в уравнении гиперболы \(y=\frac kx\) коэффициент \(k>0\), то она находится в 1 и 3 четвертях, если \(k<0\) – во 2 и 4. В нашем случае гипербола \(y=-\frac 5x=\frac{-5}x\) находится во 2 и 4 четвертях, следовательно, либо картинка 1, либо картинка 3.
Гипербола \(y=-\frac 5x\) проходит через точку \(x=-1, y=5\). Через эту точку проходит только гипербола, изображенная на картинке 3.

(В данном случае достаточно было бы воспользоваться тем, через какую точку проходит гипербола.)

Способ 1.

Если в уравнении гиперболы \(y=\frac kx\) коэффициент \(k>0\), то она находится в 1 и 3 четвертях, если \(k<0\) – во 2 и 4. Отсюда следует, что гиперболе А, находящейся в 1 и 3 четвертях, соответствует формула 2.
Гипербола В проходит, например, через точку \(x=-1, y=2\). Эта точка удовлетворяет только формуле 1. Следовательно, В – 1, Б – 3.

Ответ: \(\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{А} & \text{Б} & \text{В} \\ \hline 2&3&1 \\ \hline \end{array}\)

В ответ запишем 231.

(Вообще говоря, в одном масштабе чем “плотнее” гипербола \(y=\frac kx\) прижата к осям координат, тем меньше по модулю ее коэффициент \(k\). Например в нашем случае масштабы всех картинок одинаковы, и на картинке Б гипербола плотнее прижата к осям, следовательно, из двух формул 1 и 3 ей соответствует формула 3, так как в формуле 1 коэффициент \(k=-2\), а в формуле 3 коэффициент \(k=-\frac12\).)

Способ 2.

Заметим, что формулы 1 и 2 отличаются лишь знаком, это значит, что график, задающийся формулой 2, получается из графика, задающегося формулой 1, отражением относительно горизонтальной оси. Такие графики у нас представлены на картинках А и В. Если в уравнении гиперболы \(y=\frac kx\) коэффициент \(k>0\), то она находится в 1 и 3 четвертях, если \(k<0\) – во 2 и 4. Отсюда однозначно: А – 2, В – 1.
Тогда Б – 3.

Способ 1.

Если в уравнении гиперболы \(y=\frac kx\) коэффициент \(k>0\), то она находится в 1 и 3 четвертях, если \(k<0\) – во 2 и 4. Отсюда следует, что гиперболе В, находящейся в 2 и 4 четвертях, соответствует формула 2.
Гипербола А проходит, например, через точку \(x=2, y=5\). Эта точка удовлетворяет только формуле 3. Следовательно, А – 3, Б – 1.

Ответ: \(\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{А} & \text{Б} & \text{В} \\ \hline 3&1&2 \\ \hline \end{array}\)

В ответ запишем 312.

(Вообще говоря, в одном масштабе чем “плотнее” гипербола \(y=\frac kx\) прижата к осям координат, тем меньше по модулю ее коэффициент \(k\). Например в нашем случае масштабы всех картинок одинаковы, и на картинке Б гипербола плотнее прижата к осям, следовательно, из двух формул 1 и 3 ей соответствует формула 1, так как в формуле 1 коэффициент \(k=\frac1{10}\), а в формуле 3 коэффициент \(k=10\).)

Способ 2.

Заметим, что формулы 1 и 2 отличаются лишь знаком, это значит, что график, задающийся формулой 2, получается из графика, задающегося формулой 1, отражением относительно горизонтальной оси. Такие графики у нас представлены на картинках Б и В. Если в уравнении гиперболы \(y=\frac kx\) коэффициент \(k>0\), то она находится в 1 и 3 четвертях, если \(k<0\) – во 2 и 4. Отсюда однозначно: Б – 1, В – 2.
Тогда А – 3.

Данная гипербола проходит, например, через точку \(x=-1, y=1\). Следовательно, имеем: \(1=\frac k{-1}\), откуда \(k=-1\).