Другие задачи на исследование функций и их графиков

Данную функцию можно преобразовать к виду \[y=\dfrac{x(x+3)\cdot |x|}{x+3}=x\cdot |x| \quad (x+3\ne 0)\]

Следовательно, нужно изобразить график функции \(y=x|x|\) и выколоть на нем точку с абсциссой \(x=-3\).

При \(x\geqslant 0\) данная функция примет вид \(y=x\cdot x=x^2\), при \(x<0\): \(y=x\cdot (-x)=-x^2\). Следовательно, получаем кусочно-заданную функцию: \[y=\begin{cases} x^2, \quad x\geqslant 0,\\ -x^2, \quad x<0, x\ne -3. \end{cases}\]

Изобразим:

Прямая \(y=m\) – горизонтальная прямая. Единственный случай, когда эта прямая не будет иметь общих точек с графиком данной функции – если она будет проходить через выколотую точку \((-3;-9)\). Следовательно, ее вид будет \(y=-9\), то есть \(m=-9\).

Данную функцию можно преобразовать к виду \[y=\dfrac{0,25x(x+2)\cdot |x|}{x+2}=0,25x\cdot |x| \quad (x+2\ne 0)\]

Следовательно, нужно изобразить график функции \(y=0,25x|x|\) и выколоть на нем точку с абсциссой \(x=-2\).

При \(x\geqslant 0\) данная функция примет вид \(y=0,25x\cdot x=0,25x^2\), при \(x<0\): \(y=0,25x\cdot (-x)=-0,25x^2\). Следовательно, получаем кусочно-заданную функцию: \[y=\begin{cases} 0,25x^2, \quad x\geqslant 0,\\ -0,25x^2, \quad x<0, x\ne -2. \end{cases}\]

Изобразим:

Прямая \(y=m\) – горизонтальная прямая. Единственный случай, когда эта прямая не будет иметь общих точек с графиком данной функции – если она будет проходить через выколотую точку \((-2;-1)\). Следовательно, ее вид будет \(y=-1\), то есть \(m=-1\).

ОДЗ: \(x\ne 0\).

Рассмотрим случаи, когда подмодульное выражение положительное или отрицательное, чтобы раскрыть модуль по правилу: \[|t|=\begin{cases} t, t\geqslant 0\\ -t, t<0 \end{cases}\]

1) Если \(\frac x6-\frac 6x\geqslant 0\), то функция примет вид \[y=\dfrac 12\left(\dfrac x6-\dfrac 6x+\dfrac x6+\dfrac 6x\right)=\dfrac x6\, , \qquad x\ne 0\] графиком которой является прямая (с выколотой точкой \(x=0\)).

Решим \[\frac x6-\frac 6x\geqslant 0\quad \Rightarrow\quad \dfrac{x^2-36}{6x}\geqslant 0\quad \Rightarrow\quad \dfrac{(x-6)(x+6)}{6x}\geqslant 0\]

Решим данное неравенство методом интервалов:

получим \(x\in[-6; 0)\cup[6;+\infty)\). Следовательно, при \(x\in[-6; 0)\cup[6;+\infty)\) функция будет выглядеть как \(y=\frac x6\).

Изобразим:

2) Если \(\frac x6-\frac 6x< 0\) (то есть \(x\in (-\infty; -6)\cup(0;6)\)), то функция примет вид \[y=\dfrac 12\left(-\dfrac x6+\dfrac 6x+\dfrac x6+\dfrac 6x\right)=\dfrac 6x\, ,\] графиком которой является гипербола.

Изобразим:

Итоговый график:

Горизонтальная прямая \(y=m\) будет иметь одну общую точку с данным графиком, если 1) будет проходить через точку \((-6;-1)\) или через точку \((6;1)\). Следовательно, \(m\in \{-1;1\}\).

ОДЗ: \(x\ne 0\).

Рассмотрим случаи, когда подмодульное выражение положительное или отрицательное, чтобы раскрыть модуль по правилу: \[|t|=\begin{cases} t, t\geqslant 0\\ -t, t<0 \end{cases}\]

1) Если \(\frac x2+\frac 2x\geqslant 0\), то функция примет вид \[y=\dfrac 12\left(\dfrac x2+\dfrac 2x+\dfrac x2-\dfrac 2x\right)=\dfrac x2\, , \qquad x\ne 0\] графиком которой является прямая (с выколотой точкой \(x=0\)).

Решим \[\frac x2+\frac 2x\geqslant 0\quad \Rightarrow\quad \dfrac{x^2+4}{2x}\geqslant 0\quad \Rightarrow\quad \dfrac{x^2+4}{2x}\geqslant 0\]

Так как \(x^2+4>0\) при всех \(x\), то данное неравенство возможно, если \(2x>0\), откуда \(x>0\).

Следовательно, при \(x\in(0;+\infty)\) функция будет выглядеть как \(y=\frac x2\).

Изобразим:

2) Если \(\frac x2+\frac 2x< 0\) (то есть \(x\in (-\infty; 0)\)), то функция примет вид \[y=\dfrac 12\left(-\dfrac x2-\dfrac 2x+\dfrac x2-\dfrac 2x\right)=-\dfrac 2x\, ,\] графиком которой является гипербола.

Изобразим:

Итоговый график:

Прямая \(y=mx\), проходящая через начало координат. будет иметь с данным графиком одну общую точку, если \(m<0\), то есть прямая будет лежать во 2 и 4 четвертях (и общая точка будет с гиперболой).

Для того, чтобы изобразить график данной функции, нужно раскрыть модуль. Для этого нужно рассмотреть случаи, когда подмодульное выражение больше или меньше нуля, чтобы воспользоваться правилом: \[|t|=\begin{cases} t, t\geqslant 0\\ -t, t<0 \end{cases}\]

1) Пусть \(4x+3\geqslant 0\), то есть \(x\geqslant -\frac34\). Тогда функция примет вид \[y_1=x^2-4x-3\] Графиком данной функции является парабола. Можно выделить полный квадрат: \(x^2-4x-3=x^2-4x+4-7=(x-2)^2-7\). Следовательно, чтобы изобразить график этой функции, нужно параболу \(y=x^2\) сдвинуть на 2 единицы вправо и на 7 единиц вниз.

2) Если \(4x+3<0\), то есть \(x<-\frac34\), то функция примет вид \[y_2=x^2+4x+3=x^2+4x+4-1=(x+2)^2-1\] Графиком этой функции также является парабола, которая получается сдвигом параболы \(y=x^2\) на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз.

Итак, получаем:

Таким образом, горизонтальная прямая \(y=m\) будет иметь с графиком три общие точки, если будет находиться в положениях (1) и (2). Следовательно, \(m=-1\) или \(m=\frac9{16}\).

Для того, чтобы изобразить график данной функции, нужно раскрыть модуль. Для этого нужно рассмотреть случаи, когда подмодульное выражение больше или меньше нуля, чтобы воспользоваться правилом: \[|t|=\begin{cases} t, t\geqslant 0\\ -t, t<0 \end{cases}\]

1) Пусть \(8x+1\geqslant 0\), то есть \(x\geqslant -\frac18\). Тогда функция примет вид \[y_1=x^2-8x-1\] Графиком данной функции является парабола. Можно выделить полный квадрат: \(x^2-8x-1=x^2-8x+16-17=(x-4)^2-17\). Следовательно, чтобы изобразить график этой функции, нужно параболу \(y=x^2\) сдвинуть на 4 единицы вправо и на 17 единиц вниз.

2) Если \(8x+1<0\), то есть \(x<-\frac18\), то функция примет вид \[y_2=x^2+8x+1=x^2+8x+16-15=(x+4)^2-15\] Графиком этой функции также является парабола, которая получается сдвигом параболы \(y=x^2\) на 4 единицы влево и на 15 единиц вниз.

Итак, получаем:

Таким образом, горизонтальная прямая \(y=m\) будет иметь с графиком две общие точки, если будет находиться либо между положениями (1) и (2), либо выше положения (3). Следовательно, либо \(-17<m<-15\), либо \(m>\frac1{64}\).

Для того, чтобы изобразить график данной функции, нужно раскрыть модуль. Для этого нужно рассмотреть случаи, когда подмодульное выражение больше или меньше нуля, чтобы воспользоваться правилом: \[|t|=\begin{cases} t, t\geqslant 0\\ -t, t<0 \end{cases}\]

1) Пусть \(x+6\geqslant 0\), то есть \(x\geqslant -6\). Тогда функция примет вид \[y_1=x^2+11x-4(x+6)+30=x^2+7x+6\] Графиком данной функции является парабола. Вершина параболы имеет координаты \(x_0=-\frac72\), \(y_0=y\left(-\frac72\right)=\left(-\frac72\right)^2+7\cdot \left(-\frac72\right)+6=-\frac{25}4\). Точки пересечения параболы с осью \(Ox\) ищутся из уравнения \(x^2+7x+6=0\), откуда \(x_1=-1; x_2=-6\).

2) Если \(x+6<0\), то есть \(x<-6\), то функция примет вид \[y_2=x^2+11x+4(x+6)+30=x^2+15x+54\] Графиком данной функции также является парабола. Вершина параболы имеет координаты \(x_0=-\frac{15}2\), \(y_0=y\left(-\frac{15}2\right)=-\frac94\). Точки пересечения параболы с осью \(Ox\) ищутся из уравнения \(x^2+15x+54=0\), откуда \(x_1=-6; x_2=-9\).

При \(x=-6\) имеем \(y=0\).

Итак, получаем:

Таким образом, горизонтальная прямая \(y=m\) будет иметь с графиком три общие точки, если будет находиться в положениях (1) или (2). То есть если \(m=-\frac94\) или \(m=0\).