Прямоугольный треугольник (страница 3)
В треугольнике \(ABC\): \(AE\) и \(BF\) – высоты, пересекающиеся в точке \(O\), \(\angle FBC = 19^{\circ}\). Найдите \(\angle FOE\). Ответ дайте в градусах.
Треугольник \(BOE\) – прямоугольный, \(\angle OBE = 19^{\circ}\), тогда \(\angle BOE = 90^{\circ} - 19^{\circ} = 71^{\circ}\). \(\angle FOE\) – смежный с \(\angle BOE\), тогда их сумма равна \(180^{\circ}\) и, значит, \(\angle FOE = 109^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 60^{\circ}\), \(\angle C = 80^{\circ}\), \(AD\) и \(CE\) – высоты, пересекающиеся в точке \(F\). Найдите \(\angle EFD\). Ответ дайте в градусах.
Треугольник \(AEC\) – прямоугольный, \(\angle A = 60^{\circ}\), тогда \(\angle ACE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\). Аналогично в треугольнике \(ADC\) находим, что \(\angle DAC = 10^{\circ}\).
Так как сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), то \(\angle AFC = 180^{\circ} - 10^{\circ} - 30^{\circ} = 140^{\circ}\). Углы \(AFC\) и \(EFD\) равны как вертикальные, тогда \(\angle EFD = 140^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(CE\) и \(BF\) – высоты, пересекающиеся в точке \(T\), \(\angle CTB = 152^{\circ}\). Найдите \(\angle A\). Ответ дайте в градусах.
\(\angle FTC = 180^{\circ} - \angle CTB = 28^{\circ}\), тогда \(\angle TCF = 90^{\circ} - \angle FTC = 62^{\circ}\) (так как \(\angle TFC = 90^{\circ}\)). Треугольник \(AEC\) – прямоугольный. \(\angle A = 90^{\circ} - \angle TCF = 28^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(AD\) и \(BE\) – высоты, пересекающиеся в точке \(F\), \(\angle EFD = 104^{\circ}\). Найдите \(\angle C\). Ответ дайте в градусах.
\(\angle AFE = 180^{\circ} - \angle EFD = 76^{\circ}\), тогда \(\angle FAE = 90^{\circ} - \angle AFE = 14^{\circ}\) (так как \(\angle FEA = 90^{\circ}\)). Треугольник \(ADC\) – прямоугольный. \(\angle C = 90^{\circ} - \angle FAE = 76^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 90^{\circ}\), \(BE\) – медиана, \(\angle CBE = 22^{\circ}\). Найдите \(\angle BAC\). Ответ дайте в градусах.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(AE = BE\), значит треугольник \(AEB\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle A = \angle ABE\).
Так как \(\angle B = 90^{\circ}\), \(\angle CBE = 22^{\circ}\), то \(\angle ABE = 90^{\circ} - 22^{\circ} = 68^{\circ}\), откуда \(\angle BAC = 68^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 90^{\circ}\), \(BE\) – медиана, \(\angle CBE = 25^{\circ}\). Найдите \(\angle AEB\). Ответ дайте в градусах.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(CE = BE\), значит треугольник \(CEB\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle C = \angle CBE = 25^{\circ}\).
Так как внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним, то \(\angle AEB = \angle C + \angle CBE = 50^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(CE\) – медиана, \(\angle ACE = 50^{\circ}\). Найдите \(\angle B\). Ответ дайте в градусах.
\(\angle ECB = \angle ACB - \angle ACE = 40^{\circ}\). В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(CE = BE\), значит треугольник \(CEB\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle B = \angle ECB = 40^{\circ}\).
