Формулы и задачи по тригонометрии (страница 3)

Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(\angle BAC=\angle ABC\), следовательно, \(\sin\angle ABC=\sin\angle BAC=0,5\). Тогда из \(\triangle AHB\): \[\sin\angle ABC=\dfrac{AH}{AB}\quad\Rightarrow\quad AH=0,5AB=4\]

Проведем \(CK\perp AB\). Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то \(CK\) также является медианой, следовательно, \(AK=0,5AB=4\). Тогда \[\dfrac{CK}{AK}=\mathrm{tg}\,\angle A=\dfrac{\sqrt{33}}4\quad\Rightarrow\quad CK=\sqrt{33}\] Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ACK\): \[AC=\sqrt{AK^2+CK^2}=\sqrt{16+33}=7\]

Проведем \(CK\perp AB\). Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то \(CK\) также является медианой, следовательно, \(AK=0,5AB\). Тогда \[\dfrac7{25}=\sin\angle A=\dfrac{CK}{AC}\quad\Rightarrow\quad CK=\dfrac75\] Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ACK\): \[AK=\sqrt{AC^2-CK^2}=\sqrt{25-\frac{49}{25}}=\sqrt{\dfrac{25^2-7^2}{25}}= \sqrt{\dfrac{(25-7)(25+7)}{25}}=\dfrac{3\cdot 8}5=4,8\] Следовательно, \(AB=2AK=9,6\).

По определению из \(\triangle ABC\): \[\dfrac{AC}{AB}=\cos \angle A=\dfrac18\quad\Rightarrow\quad AB=8AC=16\] Так как по свойству прямоугольного треугольника \(\triangle BHC\sim \triangle ABC\), то \[\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BC}{AB}\quad\Rightarrow\quad BH=\dfrac{BC^2}{AB}\] Нужно найти \(BC^2\). По теореме Пифагора \(BC^2=AB^2-AC^2=16^2-2^2=(16-2)(16+2)=14\cdot 18\). Следовательно, \[BH=\dfrac{14\cdot 18}{16}=15,75\]

По определению из \(\triangle ABC\): \[\dfrac{BC}{AB}=\sin \angle A=\dfrac16\quad\Rightarrow\quad AB=6BC=18\] Так как по свойству прямоугольного треугольника \(\triangle AHC\sim \triangle ABC\), то \[\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AC}{AB}\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac{AC^2}{AB}\] Нужно найти \(AC^2\). По теореме Пифагора \(AC^2=AB^2-BC^2=18^2-3^2=(18-3)(18+3)=15\cdot 21\). Следовательно, \[AH=\dfrac{15\cdot 21}{18}=\dfrac{35}2=17,5\]

По определению из \(\triangle ABC\): \[\dfrac{BC}{AC}=\mathrm{tg}\,\angle A=\dfrac 14\] Следовательно, можно принять \(AC=4x\), \(BC=x\). Тогда по теореме Пифагора \(x^2+(4x)^2=17^2\), откуда \(x=\sqrt{17}\).
Так как площадь прямоугольного треугольника \(ABC\), с одной стороны, равна \(0,5CH\cdot AB\), а с другой стороны, равна \(0,5BC\cdot AC\), то \[CH\cdot AB=BC\cdot AC\quad\Rightarrow\quad CH=\dfrac{4x^2}{AB}=4\]

По определению из \(\triangle ABC\): \[\dfrac{AC}{BC}=\mathrm{tg}\,\angle B=\dfrac 51\] Следовательно, можно принять \(AC=5x\), \(BC=x\). Тогда по теореме Пифагора \(x^2+(5x)^2=26^2\), откуда \(x=\sqrt{26}\).
Тогда \[\sin\angle B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac5{\sqrt{26}}\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle B=\angle HCA\). Следовательно, из \(\triangle HCA\): \[\dfrac5{\sqrt{26}}=\sin \angle HCA=\dfrac{AH}{AC}\quad\Rightarrow\quad AH=25\]