Описанная окружность (страница 2)

Рассмотрим картинку:

Докажем, что данный четырехугольник является квадратом.

Т.к. хорды \(AB\) и \(CD\) равны, то равны дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\) и \(\buildrel\smile\over{CD}\). Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:

\[\angle ADB=\angle ACB=\angle DAC=\angle DBC\]

Таким образом, \(\angle ADB=\angle DBC\) – накрест лежащие при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(BD\), следовательно, \(AD\parallel BC\).

Аналогичным образом доказывается, что \(AB\parallel CD\).

Таким образом, \(ABCD\) – параллелограмм. Т.к. он вписанный, то это – прямоугольник. Т.к. все его стороны равны, то это квадрат.

В квадрате центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей, следовательно, \(AC=2R=6\). По свойству квадрата \(AD=AC\div \sqrt2=3\sqrt2\). Следовательно, площадь

\[S_{ABCD}=AD^2=(3\sqrt2)^2=18.\]

Замечание.

Можно было доказать, что \(ABCD\) – квадрат, другим способом:

\(\triangle ABD=\triangle CBD\) по трем сторонам. Следовательно, \(\angle A=\angle C\). Но т.к. четырехугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle A+\angle C=180^\circ\). Отсюда следует, что \(\angle A=\angle C=90^\circ\). Аналогично \(\angle B=\angle D=90^\circ\). По признаку четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Но т.к. у него еще и все стороны равны, то это квадрат.

Рассмотрим картинку:

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\), \(\buildrel\smile\over{EA}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{DE}=\buildrel\smile\over{EA}=\alpha.\]

Пусть \(\buildrel\smile\over{CD}=\beta\).

Следовательно, вписанный угол \[\angle CAE=\frac12\left(\alpha+\beta\right)=75^\circ. \qquad (1)\]

Т.к. градусная мера всей окружности равна \(360^\circ\), то

\[4\alpha+\beta=360^\circ \qquad (2)\]

Решая систему из уравнений \((1)\) и \((2)\), получаем, что \(\alpha=70^\circ, \beta=80^\circ\).

Следовательно, \(\angle A=\frac12\left(2\alpha+\beta\right)=110^\circ\).

Рассмотрим картинку:

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\), \(\buildrel\smile\over{EA}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{DE}=\buildrel\smile\over{EA}=\alpha.\]

Т.к. \(\angle CAD=30^\circ\), то \(\buildrel\smile\over{CD}=60^\circ\).

Т.к. градусная мера всей окружности равна \(360^\circ\), то

\[4\alpha+60^\circ=360^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha=75^\circ\]

Таким образом, \(\angle A=\angle B=\angle E=\frac12\left(2\alpha+60^\circ\right)=105^\circ\), \(\angle C=\angle D=\frac12\cdot 3\alpha=112,5^\circ\). Следовательно, меньший из углов равен \(105^\circ\).

Рассмотрим картинку:

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{CD}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{CD}=\buildrel\smile\over{DE}=\alpha.\]

Следовательно, \(\angle A=\frac12\cdot 3\alpha=97,5^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha=65^\circ\).

Т.к. градусная мера всей окружности равна \(360^\circ\), то

\[4\alpha+\beta=360^\circ \quad \Rightarrow \quad \beta=100^\circ\]

Тогда вписанный \(\angle ADE=\frac12\beta=50^\circ\).

Рассмотрим картинку:

1) Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{CD}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{CD}=\buildrel\smile\over{DE}=\alpha.\]

Пусть также \(\buildrel\smile\over{EA}=\beta\).

2) \(\angle CBE=\frac12(\alpha+\alpha)=\alpha\), \(\angle BCD=\frac12(\alpha+\beta+\alpha)=\alpha+\frac12\beta\). Следовательно, \(\angle CBE+\angle BCD=2\alpha+\frac12\beta\).

Заметим, что вся окружность равна \(360^\circ\), следовательно, \(4\alpha+\beta=360^\circ\), откуда \(2\alpha+\frac12\beta=180^\circ\). Таким образом, \(\angle CBE\) и \(\angle BCD\) – односторонние углы при прямых \(CD\) и \(BE\) и секущей \(BC\). Следовательно, \(CD\parallel BE\).

Аналогично доказывается, что \(AD\parallel BC\).

3) Значит, \(BCDO\) – параллелограмм (\(BO\parallel CD, BC\parallel OD\)). А в параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, \(BO=CD=3\).

Рассмотрим картинку:

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{CD}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{CD}=\buildrel\smile\over{DE}=\alpha.\]

Следовательно, \(\angle A=90^\circ=\frac32\alpha\), откуда \(\alpha=60^\circ\).

Значит, вписанный \(\angle AEB=\frac12\alpha=30^\circ\). Следовательно, из прямоугольного треугольника \(AEB\)

\[\mathrm{tg}\,30^\circ=\dfrac{AB}{AE} \quad \Rightarrow \quad AE=12.\]

Рассмотрим картинку:

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{CD}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{CD}=\buildrel\smile\over{DE}=\alpha.\]

Следовательно, \(\angle A=45^\circ=\frac32\alpha\), откуда \(\alpha=30^\circ\).

Значит, вписанный \[\angle ABE=\frac12\buildrel\smile\over{AE}= \frac12\left(360^\circ-4\alpha\right)=120^\circ\]

Тогда, т.к. \(\triangle ABE\) – вписанный, то \(\dfrac{AE}{\sin \angle B}=2R\), где \(R\) – радиус данной окружности. Следовательно:

\[\dfrac{AE}{\sin \angle B}=2R \quad \Rightarrow \quad R=6.\]