Арифметика

H1 - Признаки делимости на 4 и на 25

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела Арифметика:

Это старая версия каталога задач

Нажмите для перехода на новую версию

Решаем задачи
Задание 1 #9341

Докажите, что натуральное число дает такой же остаток при делении на \(4\) или \(25\), что и число, образованное последними двумя цифрами исходного числа.

Показать решение

Обозначим число, получающееся из исходного вычеркиванием двух последних цифр, через \(n\). Тогда исходное число можно представить как \(100n+x\), где \(x\) — число, образованное последними двумя цифрами исходного. Число \(100n\) делится и на \(4\), и на \(25\). Поэтому если к числу \(x\) прибавить \(100n\), остаток при делении на \(4\) и на \(25\) не изменится. Значит, исходное число при делении на \(4\) и на \(25\) дает такой же остаток, что и \(x\), то есть число, образованное последними двумя цифрами. Это нам и требовалось доказать.

Ответ:
Задание 2 #9342

Сторож Вася перемножил все двузначные числа, оканчивающиеся на \(5\). У него получилось число \(987654321098765\). Докажите, что Вася ошибся.

Показать решение

Произведение всех двузначных чисел, оканчивающихся на \(5\), делится на \(25\) (например, потому, что среди перемножаемых чисел есть само число \(25\)). Посмотрим на результат Васи. Число, образованное последними двумя цифрами — это \(65\). Оно дается остаток \(15\) при делении на \(25\), то есть не делится на \(25\). С другой стороны, натуральное число дает такой же остаток при делении на \(25\), что и число, образованное последними двумя цифрами. В нашем случае получается, что Васин результат не делится на \(25\). Значит, Вася ошибся.

Ответ:
Задание 3 #9343

Является ли число \(12345678901234\) квадратом натурального числа?

Показать решение

Применим признаки делимости на \(2\) и на \(4\). С одной стороны, число оканчивается на цифру \(4\), и так как она четная, то это число делится на \(2\). С другой стороны, число дает при делении на \(4\) такой же остаток, как и число, образованное последними двумя цифрами. При этом \(34\) дает остаток \(2\) при делении на \(4\). Итак, число делится на \(2\), но не делится на \(4\), значит, квадратом оно быть не может.

Ответ: Нет, не является.
Задание 4 #9344

На вопрос: “В каком году Вы родились?” Дмитрий Алексеевич не дал прямого ответа. Но сказал, что две последние цифры его года рождения такие же, как у произведения всех двузначных чисел, уменьшенного на \(5\). Приглядевшись, вы заметили, что Дмитрию Алексеевичу меньше ста лет. В каком году родился Дмитрий Алексеевич?

Показать решение
Ответ:
Задание 5 #9345

Является ли число \(123456789012345\) квадратом натурального числа?

Показать решение
Ответ:
Задание 6 #9346

Может ли натуральное число, записываемое одними двойками, делиться на натуральное число, записываемое одними четверками?

Показать решение
Ответ:
Задание 7 #9347

Можно ли в числе \(123456789\) переставить цифры так, чтобы оно делилось на каждую из своих цифр?

Показать решение
Ответ:

1

2
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!