Геометрия

H1 - Клетчатые задачи (страница 2)

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела Геометрия:

Это старая версия каталога задач

Нажмите для перехода на новую версию

Решаем задачи
Задание 8 #6183

У Джуди и Ника есть по одному одинаковому клетчатому квадратику. Джуди разрезала его по клеткам на три одинаковые части, а Ник — на четыре одинаковые части. Может ли периметр фигурки Джуди оказаться меньше периметра фигурки Ника?

Показать решение

Как и в предыдущей задаче, сначала немного напишем о том, как пример придумать, а уже потом его нарисуем. В предыдущей задаче мы уже научились рисовать пример, когда периметры фигурок Джуди и Ника равны. Осталось лишь “испоганить” фигурку Ника так, чтобы ее периметр стал больше. Подойдет, например, такая фигурка:

Еще три фигурки получаются из этой поворотом вокруг центра квадрата на \(90^\circ\). Вообще, сами фигурку можно строить именно таким образом: поставить карандаш в центр квадрата, провести “кривую” линию до одной стороны, а потом просто повернуть эти линию на \(90^\circ\). Тогда из фигурок точно сложится квадратик:

Для полноты решения напомним, что фигурки Джуди выглядят следующим образом:

Комментарий. Взяв в этой задаче размеры доски побольше, скажем, \(12\times 12\), можно получить пример Ника с менее “кривыми” фигурками.

Ответ: Да, может.
Задание 9 #6184

Можно ли разбить какой-нибудь прямоугольник на пять квадратов так, чтобы только два из них были равны, а остальные различались?

Показать решение

Пример возможного разбиения указан на рисунке.

Комментарий 1. Таким последовательным построением можно получить указанное разбиение на любое число квадратов: пристраиваем к большей стороне уже имеющегося прямоугольник следующий квадрат.

Комментарий 2. Некоторые могут заметить, что длины сторон квадратов образуют так называемую последовательность Фибоначчи: первые две длины равны \(1\) и \(1\), а каждая следующая длина равна сумме двух предыдущих.

Ответ: Да, можно.
Задание 10 #6187

Джуди сложила из \(24\) спичек квадрат \(3\times 3\) так, что каждую клетку ограничивают \(4\) спички. Может ли Лис Ник убрать \(4\) спички так, чтобы оставшиеся спички не ограничивали ни одного прямоугольника?

Показать решение

Рассмотрим 5 выделенных черным цветом квадратиков.

Заметим, что они не имеют общих границ-спичек. И для того, чтобы убрать каждый из этих квадратиков, нужно убрать хотя бы по одной спичке из каждого квадратика, то есть убрать не менее \(5\) спичек. Поэтому, какие бы \(4\) спички ни убрал Лис Ник, хотя бы один из рассмотренных пяти квадратиков останется целым, а значит, соответствующие \(4\) спички будут ограничивать прямоугольник.

Ответ: Нет, не может.
Задание 11 #6188

Джуди сложила из 24 спичек квадрат \(3\times 3\) так, что каждую клетку ограничивают 4 спички. Покажите, как Лису Нику убрать 7 спичек так, чтобы оставшиеся спички не ограничивали ни одного прямоугольника.

Показать решение

Один из возможных примеров показан на рисунке (оставшиеся спички выделены жирным).

Придумать его можно, например, так: попытаться выложить спичками замкнутые фигурки, не являющиеся прямоугольниками.

Ответ:
1

2

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!