Комбинаторика

neuporyadochennye_pary

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела Комбинаторика:

Это старая версия каталога задач

Нажмите для перехода на новую версию

Решаем задачи
Задание 1 #9545

На уроке трансфигурации присутствуют \(10\) гриффиндорцев. Профессор Макгонанал у одного из гриффиндорцев хочет спросить домашнее задание, а другого — попросить написать контрольную. Сколькими способами профессор может осуществить свой выбор?

Показать решение

Сначала выберем того студента, у которого профессор спросит домашнее задание. Им может быть любой из \(10\) гриффиндорцев, итого \(10\) способов. Затем нам нужно выбрать того, кто будет писать контрольную. Так как это должен быть другой школьник, есть \(9\) вариантов выбора. Мы выбираем два объекта последовательно, и вне зависимости от выбора первого объекта второй мы можем выбрать всегда одинаковым количеством способов. Значит, чтобы получить общее количество вариантов, посчитанные выше способы необходимо перемножить: \(10\cdot 9=90\).

Ответ: 90 способами.
Задание 2 #9546

Перед Гарри Поттером лежат \(10\) различных ингредиентов для зелий. Для приготовления зелья нужно выбрать ровно \(2\) ингредиента. Сколькими способами Гарри может это сделать?

Показать решение

Главное отличие от предыдущей задачи состоит в том, что нам не важно, какой ингредиент мы выберем первый, а какой вторым. Но сначала посчитаем количество способов, как будто нам важен порядок. Первый ингредиент можно выбрать \(10\) способами, второй — \(9\) способами, так как это должен быть другой ингредиент. Так как выбор последовательный и независимый, способы перемножаются, и всего получается \(10\cdot 9=90\) вариантов. Но каждый из интересующих нас на самом деле вариантов мы посчитали дважды: скажем, когда Гарри выбирает аконит и рог двурога, мы эти варианты посчитали, во-первых, когда первым выбирается аконит, а вторым — рог двурога, а во-вторых, когда первым выбирается рог двурога, а уже затем аконит. Итак, на самом деле в \(90\) вариантах каждый нужный нам вариант посчитан дважды. Значит, чтобы найти настоящее количество способов, нам надо найденное число, то есть \(90\), поделить пополам: \(90:2=45\) способов.

Ответ: 45 способами.
Задание 3 #9547

В турнире по игре плюй-камни участвовали \(20\) студентов. Они играли в один круг: каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Сколько всего было сыграно партий?

Показать решение

В каждой партии участвует двое игроков. Поэтому чтобы сосчитать количество партий при игре в один круг, достаточно посчитать, сколькими способами мы можем выбрать двух игроков. Сразу отметим, что порядок выбора нам не важен: так, партия Рон против Гарри — то же самое, что партия Гарри против Рона. Но сначала сосчитаем, сколькими способами мы можем выбрать упорядоченную пару.

Первого игрока можно выбрать \(20\) способами, а второго — \(19\) способами. Так как выбор последовательный и независимый, эти способы перемножаются: \(20\cdot 19=380\) упорядоченных пар. Но на самом деле, как уже было отмечено выше, нам нужные неупорядоченные пары. Из каждой неупорядоченной пары можно получить две упорядоченные, выбрав двумя способами порядок. Поэтому в числе \(380\) каждая неупорядоченная пара посчитана дважды. Значит, чтобы найти нужное нам количество партий, достаточно число \(380\) разделить на два: \(380:2=190\) партий было сыграно.

Ответ: 190 партий.
Задание 4 #9548

Перед Роном стоит шахматная доска \(8\times 8\). Сколькими способами Рон может выставить на эту доску двух королей, одного черного и одного белого? Короли могут стоять рядом, способы, отличающиеся поворотом, считаются различными.

Показать решение
Ответ:
Задание 5 #9549

Перед Роном стоит шахматная доска \(8\times 8\). Сколькими способами Рон может выставить на эту доску две черные ладьи? Способы, отличающиеся поворотом, считаются различными.

Показать решение
Ответ:
Задание 6 #9550

После долгих каникул Гарри и его друзья встретились на платформе \(9\frac34\). Всего их было \(8\) человек, и каждый двое обменялись рукопожатием. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Показать решение
Ответ:
Задание 7 #9551

Гарри выбирает себе дополнительные предметы. Всего есть \(7\) дисциплин, а записаться можно не более, чем на \(2\) (при этом хотя бы одну дисциплину выбрать нужно обязательно). Сколькими способами Гарри может осуществить выбор?

Показать решение
Ответ:

1

2
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!