H1 - Правило сложения и умножения (страница 2)
Перед Мэром Леодором и Мисс Барашкис лежат 5 билетов на разные спектакли в театр, 7 билетов на разные показы фильмов в кино, а также 9 билетов на разные представления в цирк. Сначала Мэр Леодор выбирает себе один из билетов, после чего Мисс Барашкис, чтобы показать свою индивидуальность, выбирает билет в другое место, не в то, которое выбрал Леодор. Мэр Леодор хорошо осведомлен о такой особенности своей подчиненной, и хочет предоставить ей выбор из самого большого числа вариантов. Куда ему надо взять билет?
Способ 1.
Рассмотрим три случая, куда может взять билет Мэр Леодор, и посчитаем для каждого из них, сколькими способами Мисс Барашкис сможет выбрать билет для себя.
Случай 1. Если Мэр Леодор возьмет билет в театр, то Барашкис останутся на выбор билеты в кино и в цирк. В сумме этих билетов \(7+9=16\), значит, в таком случае у Мисс Барашкис 16 вариантов выбрать себе билет.
Случай 2. Если Мэр Леодор возьмет билет в кино, то Барашкис останутся на выбор билеты в театр и в цирк. В сумме этих билетов \(5+9=14\), значит, в таком случае у Мисс Барашкис 14 вариантов выбрать себе билет.
Случай 3. Если Мэр Леодор возьмет билет в цирк, то Барашкис останутся на выбор билеты в театр и в кино. В сумме этих билетов \(5+7=12\), значит, в таком случае у Мисс Барашкис 12 вариантов выбрать себе билет.
Перебрав все возможные случаи, мы видим, что наибольшее число вариантов выбрать билет у Мисс Барашкис получается, если Мэр Леодор возьмет билет в театр.
Способ 2. Посчитаем, сколько всего билетов лежат перед коллегами. Их \(5+7+9=21\). Выбрав, куда идти, Мэр Леодор “запрещает” Мисс Барашкис либо 5, либо 7, либо 9 билетов. Чтобы у Барашкис осталось больше билетов на выбор, Мэру Леодору необходимо запретить как можно меньше билетов, то есть из трех возможных количеств нужно выбрать 5 билетов. Значит, Мэр Леодор, дабы обеспечить своей подчиненной больший выбор, должен пойти в театр.
Ник выписал на доску числа 1, 2, 3, …, 10, и хочет выбрать из них два, сумма которых делится на 6. Сколькими способами он сможет их выбрать? Считается, что пары (2, 4) и (4, 2) — одинаковые.
Посмотрим, чему может равнять сумма выбранных чисел. По условию, она делится на 6. Первые три числа, делящиеся на 6, — это 6, 12 и 18. Следующие числа уже не меньше 24, а выписанные на доску числа не больше 10, то есть их сумма всяко не больше 20, то есть меньше 24. Значит, сумма может принимать всего три значения: 6, 12 и 18. Рассмотрим все три случая по-отдельности.
Случай 1. Посчитаем, сколькими способами можно выбрать два числа с суммой 6. Подходят пары (1, 5) и (2, 4), а других пар нет — ведь одно из чисел в паре обязательно не превосходит 3, две из таких пар мы выписали, а выбрать две тройки мы не можем. Значит, в этом случае получилось 2 пары.
Случай 2. Посчитаем, сколькими способами можно выбрать два числа с суммой 12. Подходят пары (2, 10), (3, 9), (4, 8), (5, 7). Других нет, так как одно из чисел не превосходит 6, при этом пары (1, 11) и (6, 6) из выписанных на доску чисел составить нельзя, а все остальные мы привели. Итак, в этом случае получилось 4 пары.
Случай 3. Посчитаем, сколькими способами можно выбрать два числа с суммой 18. Числа, меньшие 8, в пару брать нельзя, так как иначе второе число из пары будет не меньше 11. А из 8, 9 и 10 можно составить только одну пару — (8, 10). Значит, в этом случае получилась всего 1 пара.
Все полученные количества способов необходимо сложить, так как мы разбирали три различных варианта суммы, а подходит любой из этих вариантов. Итого получаем \(2+4+1=7\) возможных пар.
Джуди выписала на доску числа 1, 2, 3, …, 10, и хочет выбрать из них два, произведение которых делится на 6. Сколькими способами она может это сделать? Считается, что пары (2, 3) и (3, 2) — одинаковые.
Сначала подумаем, как вообще может получиться произведение, делящееся на 6. Для этого разберем два разных случая.
Случай 1. Одно из чисел пары делится на 6. Тогда второе число может быть любым, все равно произведение будет делиться на 6. Среди чисел 1, 2, 3, …, 10 лишь одно делится на 6 — само число 6. В пару к нему можно выбрать любое из 9 чисел. Получается, что под этот случай подходит 9 пар: число 6 и любое число из оставшихся.
Случай 2. Ни одно из чисел пары не делится на 6. Это означает, что само число 6 мы в этом случае не используем. Тогда для того, чтобы произведение все же делилось на 6, одно из чисел в паре должно делиться на 3, а другое — на 2. В качестве числа, делящегося на 3, можно выбрать одно из двух чисел 3 или 9 (напомним, что 6 в этом случае мы вообще выбирать не можем, иначе это 1-й случай).
Если выбрано число 3, то число, делящееся на 2, можно выбрать 4 способами: подходит любое из четных чисел 2, 4, 8, 10.
Точно также если выбрано число 9, то число, делящееся на 2, можно выбрать 4 способами: подходит любое из четных чисел 2, 4, 8, 10.
Значит, в обоих подслучаях мы получили 4 способами, а всего во втором случае, то есть когда ни одно из чисел пары не делится на 6, мы получили \(4+4=8\) способов.
Так как мы разбирали разные случаи, и подходят способы из обоих случаев, то все полученные способы необходимо сложить: \(9+8=17\), что и является ответом на эту задачу.
Комментарий. Обратите внимание, что мы специально рассматривали случаи так, что пары из разных случаев не могут совпадать. Например, если рассмотреть два случая, когда одно из чисел пары делится на 6 или когда одно из чисел пары делится на 2, а другое на 3, то пара (3, 6) будет подходить под оба случая, и мы посчитаем эту пару дважды. В процессе решения нужно быть очень аккуратными с подобными разборами случаев и всегда аккуратно проверять, не посчитали ли мы те или иные способы дважды.
У мисс Барашкис есть 4 магнитика с цифрами 0, 2, 3 и 5. Сколько различных чисел, меньших 1000, она может из них составить? Использовать все магнитики не обязательно.
Заметим, что если числа меньше 1000, то они однозначные, двузначные или трехзначные. Посчитаем количество чисел каждого вида. Рассмотрим сначала однозначные числа, которые можно составить из этих магнитиков. Для этого нужно использовать только один магнитик, значит, таких чисел 4: 0, 2, 3 и 5.
Теперь рассмотрим, сколько двузначных чисел можно составить из этих магнитиков. Заметим, что каждое двузначное число можно получить из однозначного, приписав слева к нему ненулевую цифру.
У нас, как мы посчитали выше, всего 4 однозначных числа. К 0 можно приписать любую из цифр 2, 3 и 5, то есть получается 3 двузначных числа, оканчивающихся на 0. К 2 можно приписать только цифры 3 и 5, ведь с 0 двузначное число начинаться не может. Получаем 2 двузначных числа, оканчивающихся на 2. Аналогично на 3 также оканчиваются 2 двузначных числа, так как к тройке можно приписать слева только цифры 2 и 5. Наконец, на 5 также оканчиваются 2 двузначных числа, так как к пятерке можно приписать слева только цифры 2 и 3.
Итак, всего мы получили \(3+2+2+2=9\) двузначных чисел, причем на 0 оканчиваются ровно 3 из них (соответственно, цифра 0 есть ровно в 3 из этих чисел).
Теперь посчитаем количество трехзначных чисел, которые мы можем составить. Каждое трехзначное число, у которого вторая цифра не 0, получается из двузначного приписыванием слева ненулевой цифры. При этом к двузначному числу, не содержащему 0, можно приписать цифру слева только одним способом, ведь неиспользованной осталась лишь одна ненулевая цифра-магнитик. Таких чисел получается 6.
К двузначному числу, содержащему цифру 0 на последнем месте, приписать цифру слева можно двумя способами, так как остались две неиспользованные ненулевые цифры-магнитика. В этом случае получается \(3\cdot 2=6\) трехзначных чисел.
Остались трехзначные числа со второй цифрой 0. Такие получаются из однозначных цифр 2, 3 или 5 приписыванием слева сначала 0, а потом, левее 0, еще одной ненулевой цифры. Таким образом, для каждой цифры единиц есть еще ровно два различных трехзначных числа. Поэтому всего указанных чисел ровно \(3\cdot 2=6\).
Итак, суммируем все полученные количества однозначных, двузначных и трехзначных чисел, получаем ответ: \(4+9+6+6+6=31\) число, меньшее 1000, можно составить из данных магнитиков.
Мисс Барашкис выписала на доску все двузначные числа, обе цифры которых нечетны. Сколько чисел выписала на доску Мисс Барашкис?
Всего нечетных цифр \(5\): \(1\), \(3\), \(5\), \(7\) и \(9\). На первом месте может стоять любая из пяти цифр, и на втором месте независимо от того, какую цифру мы поставили на первое место, может стоять пять цифр. По правилу умножения мы получаем \(5\cdot 5=25\) способов составить двузначное число из нечетных цифр. Значит, именно столько чисел выпишет на доску Мисс Барашкис.
На сборе у Капитана Буйволсона присутствуют \(10\) курсантов. Он выбирает одного курсанта, который будет выписывать штрафы, и другого курсанта, который будет патрулировать северный район. Сколькими способами Буйволсон может выбрать двух курсантов?
Сначала \(10\) способами выбираем курсанта, который будет выписывать штрафы. После этого независимо от того, кого мы выбрали, остаются \(9\) курсантов, из которых надо выбрать того, кто будет патрулировать северный район. Это можно сделать \(9\) способами. Полученные способы перемножаются, так как количество способов выбрать второго курсанта не зависит от того, кого мы выбрали первым.
Сколькими способами Мисс Барашкис может поставить на шахматную доску \(8\times 8\) белого и черного королей так, чтобы они не били друг друга? Король бьет все клетки, имеющие хотя бы одну общую точку с клеткой, на которой король стоит.
Правило умножения в данном случае не работает: в зависимости от того, куда мы поставим белого короля, он “запрещает” разное число клеток, куда нельзя поставить черного короля. Поэтому разберем три возможных варианта расположения короля, в которых он бьет разное число клеток.
Случай 1. Белый король стоит в углу. Выбрать угол для белого короля можно \(4\) способами. После этого черного короля нельзя ставить на \(4\) клетки: ту, в которой уже стоит белый король, и еще \(3\) соседние. Поэтому черного короля в этом случае можно поставить \(60\) способами. И сейчас правило умножения уже работает: вне зависимости от того, в какой угол мы поставим белого короля, он запретит \(4\) клетки, и черного короля можно будет поставить \(60\) способами. Значит, в этом случае поставить белого и черного королей можно \(4\cdot 60=240\) способами.
Случай 2. Белый король стоит с краю, но не в углу. Место белого короля можно выбрать \(24\) способами: подходят по 6 клеток возле каждой стороны шахматной доски. В этом случае белый король бьет \(5\) клеток, да еще занимают ту, на которой стоит. Значит, черному королю запрещены \(6\) клеток, и поставить черного короля мы можем \(64-6=58\) способами. Также, как и в предыдущем случае, работает правило умножения, поэтому способов поставить белого короля и черного короля, не бьющих друг друга, в данном случае \(24\cdot 58=1392\).
Случай 3. Белый король стоит не у края. Место белого короля можно выбрать \(36\) способами: подходит любая клетка центрального квадрата \(6\times 6\). В этом случае белый король бьет \(8\) клеток, и также занимает ту, на которой стоит. Поэтому для черного короля осталось \(64-8-1=55\) возможных клеток. Как и в двух предыдущих случаях, так как королей мы ставим последовательно, и в данном случае независимо от того, в какую из центральных \(36\) клеток мы поставили короля, черного можно поставить \(55\) способами, работает правило умножения, то есть способы можно перемножить: \(36\cdot 55=1980\) способами можно поставить белого и черного королей в этом случае.
Итак, мы разобрали все три случая того, сколько клеток может бить белый король, и в каждом посчитали количество способов поставить белого и черного королей. Полученные числа надо сложить, так как это разбор разных случаев, и чтобы получить все случаи сразу, мы складываем способы из разных случаев. Значит, итоговый ответ равен \(240+1392+1980=3612\).
