H1 - Двойной подсчет (страница 3)
На доске в кабинете Мэра Леодора нарисован квадрат \(2\times 2\), в каждой клетке которого написано натуральное число. Джуди посчитала сумму чисел в левом столбце и получила \(20\). Лис Ник вычислил сумму чисел в верхней строке и получил \(30\). Чему равна разница между правым верхним числом и левым нижним?
Вычтем из суммы Ника сумму Джуди, получим разницу \(10\). Заметим, что верхнее левое число посчитано и Ником, и Джуди, значит, оно сократится. После сокращения в сумме Ника останется только правое верхнее число, а в сумме Джуди — только левое нижнее. Значит, разница между этими числами и равна \(10\).
Мисс Барашкис выписывает на доску все нечетные натуральные числа от \(1\) до \(1000\), не делящиеся на \(5\). Сколько чисел должна выписать на доску Мисс Барашкис?
Нечетных чисел от \(1\) до \(1000\) ровно половина, а именно \(1000:2=500\). Далее, чисел от \(1\) до \(1000\), делящихся на \(5\), в каждой пятерки подряд идущих ровно одно. Значит, они составляют пятую часть всех чисел, то есть таких чисел \(1000:5=200\).
Если сейчас из \(500\) нечетных чисел вычесть \(200\), делящихся на \(5\), то получится меньше, чем надо, ведь мы вычтем лишние четные числа, делящиеся на \(5\). Поэтому, чтобы получить искомое число, надо сначала к \(500\) нечетным числам добавить четные, делящиеся на \(5\), а после этого вычесть \(200\) чисел, делящихся на \(5\).
Считаем количество четных чисел, делящихся на \(5\). Каждое такое число — это число, делящееся на \(10\). Таких чисел — каждое десятое, значит, их \(1000:10=100\) штук.
Как говорилось выше, сложим \(500\) нечетных чисел и \(100\) четных чисел, делящихся на \(5\), получим \(500+100=600\) чисел. Теперь, если удалить все числа, делящиеся на \(5\), получим искомое количество нечетных чисел, не делящихся на \(5\): \(600-200=400\), что и требовалось найти.
В колоде у Джуди \(52\) карты: по \(13\) карт четырех мастей. Однажды Джуди играла с Ником в карты, и у нее собрались все картинки (валеты, дамы и короли), а также все пики, а больше никаких карт у Джуди на руках не было. Сколько всего карт собралось на руках у Джуди?
Картинок всего в колоде \(12\): по три картинки каждой из четырех мастей, получается \(3\cdot 4=12\). Пики составляют четверть всех карт, то есть их \(52:4=13\) штук. В сумме получается \(12+13=25\). Но при этом картинки-пики, три карты, посчитаны два раза. Поэтому, чтобы посчитать количество карт у Джуди, надо из найденной суммы, то есть \(25\), вычесть дважды посчитанные карты: \(25-3=22\), что и является искомым ответом.
В кабинете Мэра Леодора стоит кубик. На каждом его ребре написано по числу. Мэр Леодор посчитал для каждой вершины сумму чисел на выходящих из нее ребрах. У него получились результаты \(1\), \(2\), \(\dots\), \(8\). Чему равна сумма чисел на всех ребрах?
Сложим полученные результаты: \(1+2+\ldots+8=72\). Заметим, что число на каждом ребре в такой сумме посчитано два раза: по одному разу для каждой из двух вершин, которые оно соединяет. Значит, сумма чисел на всех ребрах в два раза меньше полученного результата: \(72:2=36\).
Мисс Барашкис написала на доску в ряд \(5\) различных целых чисел. Может ли так случиться, что сумма любых двух соседних чисел отрицательна, а сумма всех — положительна?
Например, подходят числа \(10\), \(-13\), \(11\), \(-14\), \(12\). Как нетрудно проверить, сумма любых двух соседних отрицательна, а сумма всех чисел равна \(10-13+11-14+12=6>0\).
Мисс Барашкис расставила по кругу \(5\) различных целых чисел. Может ли так случиться, что сумма любых двух соседних чисел отрицательна, а сумма всех — положительна?
Рассмотрим все пары соседних чисел. Таких пар \(5\) штук. Посчитаем сумму в каждой такой паре и сложим все \(5\) полученных сумм, обозначим ее через \(S\). Так как каждая сумма, по условию, отрицательна, то сумма \(S\) попарных сумм соседних чисел также отрицательна.
С другой стороны, каждое расставленное по кругу числу посчитано в этой сумме два раза: один раз в паре с левым соседом и один раз в паре с правым соседом. Значит, полученная сумма \(S\) равна удвоенной сумме всех пяти чисел, расставленных Мисс Барашкис. Значит, просто сумма всех пяти чисел, расставленных Барашкис, равна \(S:2\), что также является отрицательным числом. Таким образом, сумма выписанных чисел не может быть положительной.
Джуди подарили корзину с тремя яблоками. У нее есть маленькие весы, с помощью которых можно узнать точный вес любых двух яблок. Как за \(3\) взвешивания на таких весах узнать суммарный вес всех трех яблок?
Пронумеруем яблоки числами \(1\), \(2\) и \(3\). Взвесим всевозможные пары яблок: \(1\) и \(2\), \(1\) и \(3\), \(2\) и \(3\). Результаты выпишем на листочек и сложим. В полученной сумме масса каждого яблока посчитана дважды, так как каждое яблоко участвует в двух парах. Поэтому полученная сумма вдвое больше суммарного веса всех яблок, значит, чтобы узнать вес всех трех яблок, достаточно полученную сумму поделить на \(2\).
