Инвариант
Можно ли монетами в \(10\) и \(15\) сиклей набрать ровно \(2019\) сиклей?
Заметим, что и \(10\), и \(15\) делятся на \(5\). Поэтому любая сумма, которую мы можем ими набрать, также будет делиться на \(5\). Но число \(2019\) на \(5\) не делится, значит, набрать его этими монетами нельзя.
Профессор Снейп написал на доске три числа: \(100\), \(200\) и \(2019\). За одну операцию он разрешает Гарри Поттеру выбрать два различных числа \(x\) и \(y\) (причем \(x>y\)) и записать вместо них числа \(x-y\) и \(2y\), а старые числа стереть. Гарри сдаст зачет по зельеварению, если получит на доске числа \(1000\), \(2000\) и \(3000\). Есть ли у Гарри Поттера шансы сдать зачет?
Способ 1. Посмотрим на сумму чисел на доске. При замене чисел \(x\) и \(y\) на числа \(x-y\) и \(2y\), их сумма не меняется: \(x-y+2y=x+y\). Поэтому сумма всех чисел на доске так и останется равной \(100+200+2019=2319\). Значит, получить числа \(1000\), \(2000\) и \(3000\), имеющие сумму \(1000+2000+3000=6000\), нельзя.
Способ 2. Посмотрим на четность чисел на доске. Изначально два числа четные и одной нечетное. Покажем, что всегда на доске останутся два четных числа и одной нечетное. Для этого достаточно доказать, что за один ход ничего не меняется. Если Гарри выбирает два четных числа, то на доске появляются два четных числа, и исчезают также два четных. Если Гарри выбирает четное и нечетное числа, то на доске снова появляются четное и нечетное числа (разность будет нечетной, а вот удвоенное меньшее число — четным). Поэтому на доске не могут оказаться три четных числа, значит, Гарри указанным способом зачет не сдаст.
Шахматный слон ходит по диагонали на любое число клеток. Может ли за \(100\) ходов слон с нижней левой угловой клетки шахматной доски \(8\times 8\) дойти до верхней левой угловой клетки?
Рассмотрим раскраску шахматной доски в черный и белый цвета. При такой раскраске слон своим ходом не меняет цвет клетки, на которой он стоит. С другой стороны, цвета нижней левой угловой клетки и верхней левой угловой клетки отличаются. Значит, шахматный слон не может перейти на указанную клетку ни за какое число ходов.
Перед Роном лежит кучка из \(100\) камней. За одно действие он может разделить одну кучку на две или объединить две кучки в одну. Может ли Рон такими действиями получить \(5\) кучек по \(25\) камней?
Перед Роном лежат две кучки камней: в одной \(30\) камней, а во второй — \(70\). Заклинание “Добавляйтус” увеличивает количество камней в одной куче на \(6\), но уменьшает количество камней в другой куче на \(1\). А заклинание “Забирайтус” уменьшает количество камней в одной куче на \(3\), а в другой — на \(7\). Оба заклинания срабатывают только в случае, когда в кучах достаточно камней, чтобы их количество можно было уменьшить. Может ли Рон такими заклинаниями получить в одной куче \(71\) камень, а в другой — \(53\)?
Гарри, Рон и Гермиона учили новые заклинания. Перед этим они купили шоколадных лягушек и договорились, что тот, кто первым учится заклинанию, получает \(5\) лягушек, второй — \(3\) лягушки, а третий — две лягушки. Через некоторое время оказалось, что у всех ребят по \(25\) лягушек, при этом никто не учил заклинания одновременно. Докажите, что ребята ошиблись при выдаче лягушек.
Рон решил научить \(25\) шоколадных лягушек, полученных им в прошлой задаче, играть в шахматы. Для этого он взял доску \(5\times 5\) и посадил в каждую клетку по лягушке. По его команде каждая лягушка должна перепрыгнуть в соседнюю клетку. Докажите, что какие-то две лягушки обязательно окажутся в одной клетке.
