Инвариант (страница 2)

Гарри Поттер отложил одну шоколадную лягушку для следующей задачи, а остальные \(24\) лягушки собирается съесть. Гермиона, узнав намерения Гарри, запретила тому просто так есть лягушки, а дала задание написать несколько сочинений по зельеварению и трансфигурации. За каждое написанное сочинение по трансфигурации Гарри съедает одну лягушку, а за сочинение по зельеварению — целых три лягушки. Через некоторое время он сообщил Гермионе, что написал \(11\) сочинений и съел все лягушки. Может ли Гермиона верить Гарри?

Гарри Поттер дрессирует шоколадную лягушку. Он заставляет прыгать ее вдоль числовой прямой. Первый прыжок лягушка совершает на \(1\) дециметр, следующий — на \(2\) дециметра, третий — на \(3\) дециметра, и так далее, \(101\)-й прыжок — на \(101\) дециметр. При этом прыгать лягушка может в любую из двух сторон. Может ли в итоге лягушка оказаться в той же точке, в которой она начинала путешествие?

Как вы могли заметить, у Гарри, Рона и Гермионы на троих осталась \(51\) шоколадная лягушка. Лягушки поделились на три кучи: в первой куче \(6\) лягушек, во второй — \(15\) лягушек, а в третьей — \(30\) лягушек. Друзья могут отдавать лягушкам такие приказы.

1) Лягушкам, оказавшимся в кучке с четным числом лягушек, поделиться на две равные кучи;

2) Объединиться двум кучкам лягушек.

Отдавать какие-то другие приказы лягушкам бесполезно: те все равно ребят не послушают. Могут ли ребята такими приказами поделить лягушек на три равные кучи?

Гермиона выучила еще несколько заклинаний, и теперь у нее целых \(64\) шоколадные лягушки. При этом одна из них сделана из белого шоколада, а остальные \(63\) — из черного. Гермиона рассадила всех лягушек в клетки шахматной доски \(8\times 8\), по одной лягушке в каждую клетку. Выбирая строку или столбец доски и произнося заклинание “Шоколадус перекратус”, Гермиона перекрашивает всех белых лягушек этой линии в черный цвет, а всех черных — в белый. Может ли Гермиона, произнося заклинание несколько раз, сделать все \(64\) лягушки черными?