Кинематика (страница 2)
Машина замедлялось с постоянным ускорением и на последние 20 м/с перед остановкой скорость снизилась за 200 секунд. Какое расстояние преодолела машина за это время?
Чтобы найти перемещение автомобиля при равноускоренном движении, воспользуемся следующей формулой:
\[S=\dfrac{at^2}{2}\]
где ускорение можем определить следующим образом:
\[a=\dfrac{\Delta v}{t}\]
\[S=\dfrac{\Delta vt}{2}\]
Подставим численные значения:
\[S=\dfrac{20\cdot 200}{2}=2000 \text{ м}\]
Камень, брошенный со скоростью 6 м/с с балкона какого-то этажа почти вертикально вверх, упал на площадку, установленную на высоте шестого этажа через 6 секунд после броска. С какой высоты бросили камень, если каждый этаж занимает 2 метра. Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ дайте в метрах.
Высота полёта камня описывается уравнением \(h=h_0+v_0t-\dfrac{gt^2}{2}\),
где \(h_0\) — начальная высота броска, \(v_0\) — начальная скорость камня.
Через три секунды камень упал на высоту шестого этажа, то есть величина \(h=2*6=12 \text{ м}\).
Найдём \(h_0\):
\[h=h_0+v_0t-\dfrac{gt^2}{2} \longrightarrow h_0=h-v_0t+\dfrac{gt^2}{2}\]
\[h_0=12-6\cdot 6+\dfrac{10\cdot6^2}{2}=156\text{ м}\]
Камень бросили с высоты 156 м.
Камень, брошенный с холма высотой 5 метров под каким-то углом к горизонту со скоростью 20 м/с, упал на землю через 6 секунд после броска. Под каким углом к горизонту бросили камень, если максимальная высота, на которую он поднимался относительно земли равна 10 метров? Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ дайте в градусах.
Максимальная высота подъема камня описывается уравнением \(h_{max}=h+\dfrac{v_0^2\cdot \sin^2{\alpha}}{2g}\),
где \(h\) — начальная высота броска (высота холма), \(v_0\) — начальная скорость камня.
Найдём \(\alpha\):
\[h_{max}=h+\dfrac{v_0^2\cdot \sin^2{\alpha}}{2g} \Longrightarrow \alpha=\arcsin(\sqrt{2g(h_{max}-h)}\cdot\dfrac{1}{v_0})\]
Подставим численные значения:
\[\alpha=\arcsin(\sqrt{2\cdot 10(10-5)}\cdot\dfrac{1}{20})=\arcsin(0,5)=30^o\]
Камень бросили под углом 30\(^o\).
Найдите, сколько времени потребуется, чтобы увеличить скорость тела в три раза при его движении по прямой в одном направлении на пути 30 м. Если начальная скорость тела равна 7,5 м/с.
Запишем формулу ускорения \[a=\dfrac{v-v_0}{t}=\dfrac{3v_0-v_0}{t}=\dfrac{2v_0}{t} \quad (1)\] где \(v\) и \(v_0\) – конечная и начальная скорости тела, \(t\) – время движения.
А расстояние находится по формуле \[S=v_0t+\dfrac{at^2}{2} \quad (2)\] Подставим (1) в (2) \[S=v_0t+\dfrac{2v_0t^2}{2t}=v_0t+v_0t \Rightarrow t=\dfrac{S}{2v_0}=\dfrac{30\text{ м}}{2\cdot 7,5\text{ м/с}}=2\text{ с}\]
Дельтапланерист на юг летит со скоростью 12 м/с относительно земли, внезапно подул восточный ветер со скоростью 9 м/с. Найдите скорость дельтапланириста относительно земли, при восточном ветре.
Так как скорости самолета и ветра перпендикулярны, то скорость самолета относительно земли можно найти по теореме Пифагора \[v=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=15\text{ м/с}\] \(v_1\) и \(v_2\) – скорости дельтапланериста и ветра.
Легковой автомобиль приближается к пункту А со скоростью 80 км/ч, в момент времени \(t=0\) из пункта А выезжает грузовик, перпендикулярно движению легкового атомобиля, со скоростью 60 км/ч. Найдите минимальное расстояние между грузовиком и легковым автомобилем, если в момент \(t=0\) автомобилю осталось доехать до пункта А 10 км.
Пусть они находились на минимальном расстоянии после \(t\) часов движения. При этом получаем прямоугольный треугольник со сторонами \(10-80t\) и \(60t\). По теореме Пифагора квадрат минимального расстояния между автомобилями равен \[R^2= (10-80t)^2+(60t)^2 \Rightarrow R^2=10000t^2-1600t+100\] Заметим, что в правой части уравнение параболы, а это значит, что минимальное значение будет в вершине параболы \(t_B\). А вершину найдем по формуле \[t_B=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{1600}{20000}=0,08\] Найдем \(R\) \[R=\sqrt{10000\cdot 0,0064 - 1600\cdot 0,08+100}=6\text{ км}\]
Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 10 м/с. За сколько секунд мяч пролетит расстояние 5 метров, считая от момента броска? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ дайте в секундах.
Запишем уравнение, описывающее изменение координаты для тела, брошенного вертикально вверх.
\[x(t)=v_0t-\dfrac{gt^2}{2},\ (1)\]
где \(v_0\) — начальная скорость, \(t\) — искомое время полета, а за перемещение можем взять \(x(t)\)
Подставим в формулу (1) данные значения и решим его относительно \(t\)
Подставим численные значения:
\[5t^2-10t+5=0\]
Получаем, что уравнение имеет единственный корень, значит, \(t=1\text{ с}\)
