26. Молекулярная физика (Расчетная задача)

Основное уравнение МКТ: \[p=nkT\] Откуда концентрация: \[n=\dfrac{p}{kT}\] Так как средние кинетические энергии совпадают, то совпадают и температуры газов. Найдем отношение концентрации: \[\dfrac{n_{Ar}}{n_{He}}=\dfrac{p_{Ar}}{p_{He}}=4\]

Пусть \(m\) — масса воздуха, \(m_1\) — масса кислорода, \(m_2\) — масса азота. Количество вещества воздуха: \[\hspace{10 mm}\nu=\nu_1+\nu_2\hspace{10 mm} (1)\] Количество вещества находится по формуле: \[\nu=\dfrac{m}{\mu},\] где \(\mu\) – молярная масса газа, а значит (1) можно переписать в виде: \[\dfrac{m}{\mu_{\text{возд}}}=\dfrac{m_1}{\mu_1}+\dfrac{m_2}{\mu_2} \hspace{10 mm} (2)\] Разделим уравнение (2) на \(m\): \[\dfrac{1}{\mu_{\text{возд}}}=\dfrac{m_1}{m\mu_1}+\dfrac{m_2}{m\mu_2}\] Так как на долю кислорода приходится 21% массы кислорода и 79% азота, то: \[\dfrac{m_1}{m}=0,21 \hspace{15 mm} \frac{m_2}{m}=0,79\] Значения величин \(\mu_1\) и \(\mu_2\) — табличные: \[\mu_1=32 \text{ г/моль}\] \[\mu_2=28 \text{ г/моль}\] Тогда молярная масса воздуха равна: \[\dfrac{1}{\mu_{\text{возд}}} = \dfrac{0,21}{\mu_1}+\dfrac{0,79}{\mu_2}\] \[\mu_{\text{возд}} = \dfrac{\mu_1\mu_2}{0,21\mu_2+0,79\mu_1}\] \[\mu_{\text{возд}}= \dfrac{32 \text{ г/моль}\cdot28 \text{ г/моль}}{0,21\cdot28 \text{ г/моль} + 0,79\cdot32 \text{ г/моль}} \approx28,75\text{ г/моль}\]

Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул идеального газа прямо пропорциональна абсолютной температуре: \[E_k=\dfrac{3}{2}kT,\] где \(k\) — постоянная Больцмана. Значит, изменение средней кинетической энергии теплового движения молекул идеального газа прямо пропорционально изменению абсолютной температуры: \[\hspace{7 mm}\dfrac{mv_2^2}{2}-\dfrac{mv_1^2}{2}=\dfrac{3}{2}k\Delta T_1 \hspace{7 mm} (1)\] \[\hspace{7 mm} \dfrac{mu_2^2}{2}-\dfrac{mu_1^2}{2}=\dfrac{3}{2}k\Delta T_2\hspace{7 mm} (2)\] Найдем отношение (1) к (2): \[\dfrac{v_2^2-v_1^2}{u_2^2-u_1^2}=\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\] Выразим искомую температуру: \[\Delta T_2=\Delta T_1 \cdot \dfrac{u_2^2-u_1^2}{v_2^2-v_1^2}\] \[\Delta T_2= 200\text{ К}\cdot\dfrac{(500\text{ м/с})^2-(400\text{ м/с})^2}{(300\text{ м/с})^2 - (200\text{ м/с})^2}=360 \text{ К}\]

Для изохорного процесса справедливо: \[\dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{T_2}{T_1}\] Для изобарного процесса справедливо: \[\dfrac{V_3}{V_2}=\dfrac{T_3}{T_2}\] Точки 1 и 3 находятся на прямой, выходящей из 0, следовательно, это прямая пропорциональность, то есть: \[\dfrac{p_3}{p_1}=\dfrac{V_3}{V_1}\] Так как \(V_1=V_2\) и \(p_3=p_2\), то последнее соотношение можно переписать в виде: \[\dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{V_3}{V_2}\] Следовательно, правые части первой и второй формулы равны: \[\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{T_3}{T_2}\] \[T_2=\sqrt{T_1T_3} = \sqrt{300\text{ К}\cdot400\text{ К}} \approx 346 \text{ К}\]

Запишем основное уравнение МКТ: \[p=nkT,\] где \(n\) — концентрация молекул, \(k\) — постоянная Больцмана, \(T\) — температура газа в Кельвинах.
Так как концентрация находится по формуле: \[n=\dfrac{N}{V},\] где \(N\) — количество молекул, \(V\) — объем, занимаемый газом, то уравнение можно переписать в виде: \[p=\dfrac{N k T}{V}\] Выразим количество молекул \(N=\dfrac{pV}{ k T}=\dfrac{4 \cdot 10^5\text{ Па}\cdot10^{-7}\text{ м$^3$}}{ 1,38\cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}\cdot600\text{ К}}=0,48 \cdot 10^{21}\)
Запишем ответ: \(0,48 \cdot 10^21 \cdot 10^{-21} = 0,48 \approx 0,5\)

Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева: \[pV=\nu R T,\] где \(p\) — давление газа, \(V\) — объем газа, \(\nu\) — количество вещества, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — температура газа в Кельвинах.
Количество вещества газа и его плотность можно найти по формулам: \[\; \; \; \; \nu=\dfrac{m}{\mu} \; \; \; (1) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \rho=\dfrac{m}{V} \; \; \; (2)\] где \(m\) — масса газа, \(\mu\) — молярная масса газа.
Выразим давление из уравнения Клапейрона – Менделеева с учетом (1) и (2): \[p=\dfrac{\rho R T}{\mu }\] Выразим молярную массу и найдем ее: \[\mu=\dfrac{\rho R T}{p}\] \[\mu = \dfrac{2 \text{ кг/м$^3$}\cdot 8,31 \text{ Дж/(моль$\cdot$ К)} \cdot 250\text{ К}}{10^5 \text{ Па}}=0,04155 \text{ кг/моль}\approx 0,04 \text{ кг/моль}\]

Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева: \[\; \; \; \; pV=\nu R T, \; \; \; \; (1)\] где \(p\) — давление газа, \(V\) — объем газа, \(\nu\) — количество вещества, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — температура газа в Кельвинах.
Количество вещества можно найти по формуле: \[\; \; \; \; \nu=\dfrac{m}{\mu}, \; \; \; \; (2)\] где \(m\) — масса газа, \(\mu\) — молярная масса газа.
Подставим (2) в (1): \[pV=\dfrac{m}{\mu} R T \; \; \; \Rightarrow \; \; \; m = \dfrac{pV\mu}{RT}\] Масса воздуха прямо пропорциональна его давлению и обратно пропорциональна его температуре.
Так как давление газа уменьшилось в 4 раза, а его температура уменьшилась в 2 раза, то масса воздуха уменьшилась в 2 раза.