Кинематические связи
В системе, изображённой на рисунке, трения нет, блоки невесомы, нити невесомы и нерастяжимы, их участки, не лежащие на блоках, вертикальны, массы грузов равны \(m_1 = 1\) кг, \(m_2 = 3\) кг, \(m_3 = 0,5\) кг. Точки подвеса груза \(m_2\) — однородной горизонтальной балки — находятся на равных расстояниях от её концов. Найдите модуль и направление ускорения груза массой \(m_1\). Ответ дайте в м/с\(^2\). 
По условию нить невесома и нерастяжима, поэтому сила натяжения везде одинаковая.
Введем вертикальную ось и сдлаем рисунок с изображением всех сил.
Запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов. \[\begin{cases}
m_1g-T=m_1a_1\\
m_2g-4T=m_2a_2\\
m_3g-T=m_3a_3\\
\end{cases}\] Так как нить нерастяжима, то ее длина постоянна \[x_1+4x_2+x_3=const\] Отсюда получаем уравнение для ускорений грузов \[a_1+4a_2+a_3=0\] Из системы выразим ускорения \[\begin{cases}
a_1=g-\dfrac{T}{m_1} \quad (1) \\
a_2=g-\dfrac{4T}{m_2}\\
a_3=g-\dfrac{T}{m_3}\\
\end{cases}\] Подставим в уравнение для ускорений \[g-\dfrac{T}{m_1}+4g-\dfrac{16T}{m_2}+g-\dfrac{T}{m_3}=0 \Rightarrow T=\dfrac{6gm_1m_2m_3}{16m_1m_3+m_2m_3+m_1m_2}\] Подставим \(T\) в (1) и получим \[a_1=g-\dfrac{6gm_1m_2m_3}{m_1(16m_1m_3+m_2m_3+m_1m_2)}=g(1-\dfrac{6m_2m_3}{16m_1m_3+m_2m_3+m_1m_2})\] \[a_1=10\text{ Н/кг}\left(1-\dfrac{6\cdot 3\text{ кг}\cdot 0,5 \text{ кг}}{16 \cdot 1\text{ кг}\cdot 0,5 \text{ кг} + 3\text{ кг}\cdot 0,5\text{ кг}+ 1\text{ кг}\cdot 3\text{ кг}}\right)=2,8\text{ м/с$^2$}\]
На гладкой горизонтальной плоскости лежат два груза массами \(m_1 = 0,5\) кг и \(m_2 = 2\) кг соединённые невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена направленная вертикально вниз сила \(F = 4\) Н. Найдите ускорение этой оси. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок. Ответ дайте в м/с\(^2\). 
Нарисуем силы Т натяжения нити, одинаковые, в силу условия задачи, вдоль всей нити и действующие на грузы и блок О (см. рисунок). Введём систему координат XY, как показано на рисунке, и запишем второй закон Ньютона для грузов в проекции на ось X: \[\begin{cases}
T=m_1a_1\\
T=m_2a_2\\
\end{cases}\] Так как блок невесомый, то \[F=2T \Rightarrow T=\dfrac{F}{2}\] Длина нити с учетом невесомости и нерастяжимости будет равна \[x_A-x_1+x_2-x_b+\dfrac{\pi r}{2}+\dfrac{\pi r}{2} + \pi R +2y_0= l\] где \(r\) и \(R\) – радиусы неподвижных и подвижного блоков.
Или \[x_2-x_1+2y_0=const\] Для ускорений будет \[-a_2-a_1+2a_0=0\] Отсюда \[a_0=\dfrac{a_1+a_2}{2}\] Кроме того из второго закона Ньютона \[a_1=\dfrac{F}{2m_1} \hspace{10 mm} a_2=\dfrac{F}{2m_2}\] Значит \[a_0=F\dfrac{m_1+m_2}{4m_1m_2}=4\text{ Н}\dfrac{0,5\text{ кг}+2\text{ кг}}{4\cdot 0,5\text{ кг}\cdot 2\text{ кг}}=2,5\text{ м/с$^2$}\]
В системе, изображённой на рисунке, грузик массой \(m = 1\) кг подвешен на нити, охватывающей три блока, второй конец которой привязан к оси самого правого блока (см. рис.). К этой же оси привязана другая нить, соединяющаяся с грузом массой \(M = 11\) кг, лежащим на шероховатой горизонтальной плоскости (коэффициент трения груза о плоскость равен \(\mu= 0,25\)). Найдите ускорение \(a_1\) грузика \(m\). Считайте, что нити невесомы и нерастяжимы, свободные участки нитей вертикальны или горизонтальны, блоки невесомы, а трение в их осях отсутствует. Ответ дайте в м/с\(^2\).
Сделаем рисунок с обозначением всех сил и введем оси координат \(x\) и \(y\). 
Воспользуемся вторым заоном Ньютона \[\begin{cases}
mg-T=ma_1\\
F-F_\text{ тр}=Ma_2\\
\end{cases}\] Исходя из условий задачи сила натяжения первой нити по всей длине равна \(T\), а сила натяжения второй нити равна \(F=3T \quad (1) \). Кроме того при изменении положения грузика массой \(m\) на \(3x\), груз массой \(M\) сдвинется на \(x\), а это значит, что \(a_1=3a_2 \quad (2) \). При \(a_1>0\) сила трения будет равна \[F_\text{ тр} = \mu M g \quad (3)\] Подставим (1) , (2) и (3) в исходную систему уравнений \[\begin{cases}
3T=3mg-9ma_2\\
3T-\mu M g=Ma_2\\
\end{cases}\] Вычтем из первого второе и получим \[9ma_2 -3mg -\mu M g = Ma_2\] Отсюда \[a_2=g\dfrac{3m-\mu M}{9m+M}\] А \(a_1\) с учетом (2) равно \[a_1=3a_2=3g\dfrac{3m-\mu M}{9m+M}=3\cdot 10\text{ Н/кг}\dfrac{3\cdot 1\text{ кг}-0,25\cdot 11\text{ кг}}{9\cdot 1\text{ кг}+11\text{ кг}}=0,375\text{ м/с$^2$}\]
В изображенной на рисунке системе на шероховатой поверхности находится тело массой \(m=1\) кг. При подвешивании к оси подвижного блока груза массой \(M = 3 \) кг оно движется вниз с ускорением \(a = 2 \)м/с\(^2\). Чему равен коэффициент \(\mu\). Нити нерастяжимы и невесомы, трением в осях пренебречь, блоки невесомы. 
Запишем второй закон Ньютона на ось, направленную вертикально вниз, для груза массой \(M\). \[Mg-2T=Ma\] где \(T\) – сила натяжения нити. Отсюда сила натяжения нити \[T=\dfrac{M(g-a)}{2}\] Также напишем второй закон Ньютона на ось ,направленную горизонтально, для тела массой \(m\). \[T-F_\text{ тр}=ma_1\] По рисунку видим, что изменение длины нити около тела массой \(m\) в два раза больше, чем изменение длины нити у груза массой \(M\). Значит, что \(a_1=2a \quad (2)\) Сила трения находится по формуле: \[F_\text{ тр}=\mu N=\mu mg \quad (3)\] Объединяя (1), (2) и (3) и выражая коэффициент трения, получим \[\mu=\dfrac{\dfrac{M(g-a)}{2}-2ma}{mg}\] \[\mu=\dfrac{\dfrac{3\text{ кг}(10\text{ м/с$^2$}-2\text{ м/с$^2$})}{2}-2\cdot 1\text{ кг}\cdot 2\text{ м/с$^2$}}{1\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}}=0,8\]
Зимой яхты вытаскивают из воды при помощи системы, изображенной на рисунке 
Найдите максимальную силу \(f\) которую необходимо прикладывать к ручке лебёдки, чтобы медленно вытащить из воды судно водоизмещением 10 т при помощи, показанной на рисунке системы простых механизмов, если лебёдка дает выигрыш в силе в \(n=5\) раз, а угол наклона слипа к горизонту равен \(\alpha=0,1\) рад. Трением можно пренебречь. Примечания: водоизмещением называется масса воды, вытесняемой судном (измеряется обычно в тоннах); при углах \(\alpha <0,1\) рад можно считать \(\sin \alpha \approx \alpha \). Ответ дайте в Ньютонах.
Данная система дает выигрыш в 5 раз, а система блоков в 8 раз. Максимальная сила будет приложена тогда, когда судно вытащили из воды, при этом будет действовать сила \(8nf\), яхта будет двигаться равномерно. Запишем второй закон Ньютона в проекции на наклонную плоскость \[8nf=mg\sin \alpha \Rightarrow f=\dfrac{mg \alpha}{8n}=\dfrac{10000\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 0,1 \text{ рад}}{8\cdot 5}=250\text{ Н}\]
