Смешанные задачи (страница 2)
С глубины \(H=30\) м медленно поднимается пузырек воздуха. Определите объем пузырька \(V_1\) на глубине \(H\), если на глубине \(h=20\) м от поверхности пузырек был объемом \(V_2\)= 10 мм\(^3\). Давление сверху озера принять атмосферным, а воздух внутри пузырька является идеальным газом. Ответ дайте в мм\(^3\).
Давление на глубине \(H\) будет складываться из гидростатического давления и давления окружающей среды. \[p_1=p_0+\rho gH \quad (1)\] Аналогично на глубине \(h\) \[p_2 = p_0+ \rho g h \quad (2)\] где \(\rho\) – плотность воды.
При подъеме пузырька воздуха его температура не изменяется, а газ внутри можно считать идеальным газом. Значит по закону Бойля– Мариотта \[p_1 V_1=p_2V_2\] Отсюда начальный объем \[V_1=\dfrac{p_2V_2}{p_1} \quad(3)\] Подставим в (3) формулы (1) и (2) \[V_1=\dfrac{V_2( p_0 +\rho gh)}{p_0+ \rho g H}=\dfrac{10\text{ мм$^3$}(10^5\text{ Па}+ 1000\text{ кг/м$^3$}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 20\text{ м})}{10^5\text{ Па}+ 1000\text{ кг/м$^3$}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 30\text{ м}}=7,5 \text{ мм$^3$}\]
В закрытой с одного конца трубки постоянного сечения находится столбик воздуха и ртути (см. рисунок). При горизонтальном расположении трубки длина столбика воздуха, запертого ртутью, равна \(l_1=40\) см, а при вертикальном расположении трубки, если поставить трубку ответстием вверх, то длина столбика воздуха, запертого ртутью равна \(l_2=25\) см. Какова длина ртутного столбика? Атмосферное давление 750 мм рт. ст. Температуру воздуха в трубке считать постоянной. Ответ дайте в сантиметрах и округлите до целого. 
1. Когда трубка расположена горизонтально объем воздуха равен \[V_1=l_1S,\] где \(S\) – площадь трубки.
А его давление равно \[p_1=p_0,\] где \(p_0\) – атмосферное давление воздуха. (так как столбик ртути находится в равновесии).
2. При расположении трубки вертикально объем воздуха изменится до \[V_2=l_2S\] А его давление \[p_2=p_0+\rho g l,\] где \(\rho\) – плотность ртути.
3. Так как температура в процессе постоянна, то по закону Бойля– Мариотта \[p_1V_1=p_2V_2 \Rightarrow p_0l_1S=\left(p_0+\rho g l \right)l_2S\] Отсюда длина столбика ртути \[L=\dfrac{p_0 \left(l_1-l_2\right)}{\rho g l_2}=\dfrac{10^5\text{ Па}\left( 40\text{ см}-25\text{ см} \right)}{13600\text{ кг/м$^3$}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 25\text{ см}}\approx 44 \text{ см}\]
В цилиндре с гладкими стенами под поршнем находится идеальный одноатомный газ, при этом поршень соединен с основанием цилиндра пружиной, жесткостью \(k=100\) Н/м. В начальном состоянии расстоянием между основанием цилиндра и поршнем равно \(L=40\) см, а давление газа равно атмосферному \(p_0=10^5\) Па (см. рисунок). Какое количество теплоты \(Q\) передано затем газу, если в результате поршень медленно переместился вправо на расстояние \(b=10\) см? Площадь поршня равна \(S=50\) см\(^2\). Ответ дайте в Дж и округлите до целых. 
1. Запишем второй закон Ньютона проекциях на горизонтальную ось \(х\) \[F_1-F_0-F_\text{упр}=0\] где \(F_0\) – сила давления атмосферы на поршень, \(F_1\) – сила давления газа в цилиндре на поршень, \(F_\text{упр}\) – упругая сила, действующая на поршень со стороны пружины.
2. Так как поршень находился в равновесии, то силы уравновешивают друг друга, а значит сила давления газа равна \[F_1=p(x) S = kx + p_0S\] Значит при смещении на \(x\) давление будет равно \[p(x)=p_0+\dfrac{kx}{S}\] На рисунке б показана зависимость давления от сжатия пружины. 3. Внутренняя энергия газа равна \[U=\dfrac{3}{2}\nu RT\] Кроме того уравнению Клапейрона–Менделеева \[pV=\nu R T\] А значит внутренняя энегрия равна \[U=\dfrac{3}{2}pV\] 4. Внутренняя энергия в начальном положении равна \[U_1=\dfrac{3}{2}p_0 SL\] А внутренняя энергия в конечном состоянии равна \[U_2=\dfrac{3}{2}\left(p_0 +\dfrac{kb}{S}\right)S\left(L+b\right)\] (То есть объем увеличился на \(Sb\), а пружина сжалась на величину \(b\)) 5. По первому закону термодинамики \[Q=\Delta U +A=U_2-U_1+A_{12},\] где \(Q\) – количество теплоты, полученное системой, \(\Delta U\) – изменение внутренней энергии системы, \(A\) – работа газа.
Работа газа в этом процессе равна площади под графиком на рисунке б \[A_{12}=\dfrac{1}{2} \left(p(0)+p(b)\right)Sb=\left(p_0S+\dfrac{kb}{2}\right)b\] Объединим пункты 4. и 5. и получим выражение для нахождения количества теплоты \[Q=\dfrac{3}{2}\left(p_0 +\dfrac{kb}{S}\right)S\left(L+b\right)-\dfrac{3}{2}p_0 SL+\left(p_0S+\dfrac{kb}{2}\right)b =\dfrac{3}{2}kbL+\dfrac{5}{2}p_0Sb+2kb^2\] \[Q=\dfrac{3}{2}100\text{ Н/м}\cdot 0,1\text{ м}\cdot 0,4\text{ м} + \dfrac{5}{2}10^5\text{ Па}\cdot 0,5^2\text{ м$^2$}\cdot 0,1\text{ м}+2\cdot 100 \text{ Н/м}\cdot 0,1^2\text{м$^2$}=6264\text{ Дж}\]
