Динамика (страница 2)

1) Сделаем рисунок и обозначим на нем все силы, действующие на тело:
Запишем второй закон Ньютона (с учетом того, что тело покоится): \[\vec{N} + m\vec{g} + \vec{F}_\text{тр} + \vec{T} = 0\] Введем оси \(Ox\) и \(Oy\), спроецируем на них все силы: \[\begin{cases} Ox: T - F_\text{тр} - mg\sin\alpha = 0\\ Oy: N - mg\cos\alpha = 0 \end{cases} \Rightarrow \hspace{3mm} \begin{cases} T = \mu N + mg\sin\alpha\\ N=mg\cos\alpha \end{cases}\] При увеличении массы увеличится и сила реакции опоры \(N\), поэтому сила натяжения нити также увеличится.
2) Коэффициент трения зависит от материала, из которого сделан брусок и наклонная плоскость. Ничего не было изменено, а значит и коэффициент не изменился.

1) Сделаем рисунок, покажем на нем силы, действующие на болид во время торможения:

Запишем второй закон Ньютона: \[\vec{F}_\text{тр} + \vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a}\] Введем оси \(Ox\) и \(Oy\), спроецируем на них все силы: \[\begin{cases} Ox: - F_\text{тр} = -ma\\ Oy: N - mg = 0 \end{cases} \Rightarrow \hspace{3mm} \begin{cases} \mu N = ma\\ N=mg \end{cases}\] \[a = \mu g\] Чем меньше ускорение при торможении, тем дольше тормозит болид, а значит, тем больше путь торможения.
2) От уменьшения коэффициента трения уменьшится и ускорение болида при торможении: \(a=\mu g\).

1) На спутник действует сила притяжения Земли: \[F_\text{пр}=G\frac{mM}{R^2},\] где \(G\) — гравитационная постонная, \(m\) — масса спутника, \(M\) — масса Земли, \(R\) — радиус орбиты.
Также по второму закону Ньютона: \[F=ma\] Отсюда следует, что: \[ma=G\frac{mM}{R^2} \Rightarrow a=\frac{GM}{R^2}\] Центростремительное ускорение по определению равно: \[a_\text{ц.с.}=\frac{V^2}{R}\] Значит: \[\frac{V^2}{R}=\frac{GM}{R^2} \Rightarrow \hspace{3mm} V^2=\frac{GM}{R}\] Отсюда видно, что скорость спутника никак не зависит от его массы, поэтому она останется неизменной.
2) Исходя из закона всемирного тяготения, очевидно, что при уменьшении массы уменьшается и сила притяжения: \[F_\text{пр}=G\frac{mM}{R^2}\]

Коэффициент трения скольжения — величина, зависящая от материала трущихся поверхностей, поэтому изменение массы груза на неё не влияет.
Сделаем рисунок с указанием всех сил, действующих на брусок:
Так как тело движется равномерно, то векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Запишем в проекциях на \(Ox\) и \(Oy\): \[\begin{cases} F \cdot \cos{\alpha} - F_{\text{тр}} = 0\\ N + F \cdot \sin{\alpha} - m \cdot g = 0 \end{cases}\] Силу трения можно найти по формуле \[F_{\text{тр}} = \mu \cdot N,\] где \(\mu\) — коэффициент трения скольжения, \(N\) — сила реакции опоры.
Подставляя формулу силы трения в систему уравнений, получаем

\[\begin{cases} F \cdot \cos{\alpha} - \mu \cdot N = 0\\ N + F \cdot \sin{\alpha} - m \cdot g = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} N = \dfrac{F \cdot \cos{\alpha}}{\mu}\\ N = m \cdot g - F \cdot \sin{\alpha} \end{cases} \Rightarrow \hspace{0,6 cm} \mu \cdot m \cdot g - \mu \cdot F \cdot \sin{\alpha} = F \cdot \cos{\alpha}\]

Выражаем отсюда \(F\):
\[F = \dfrac{\mu \cdot m \cdot g}{\mu \cdot \sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\]
Между \(F\) и \(m\) прямо пропорциональная зависимость, значит, при увеличении массы сила должна увеличится.

Шар находится в состоянии покоя, значит, векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Запишем в проекциях на \(Ox\) и \(Oy\):

\[\begin{cases} T \cdot \cos{\alpha} - m \cdot g = 0\\ T \cdot \sin{\alpha} - N = 0, \end{cases}\]
где \(T\) — сила натяжения нити, \(m \cdot g\) — сила тяжести, \(N\) — cила реакции опоры.
Выразим \(T\) и \(N\) \[\begin{cases} T = \dfrac{m \cdot g}{\cos{\alpha}}\\ N = tg{\alpha} \cdot m \cdot g \end{cases}\] Плотность стали больше плотности дерева, значит, при равных размерах масса стального шара больше. Т. е. масса увеличилась \(\Rightarrow\) сила реакции опоры и сила натяжения нити также увеличились.

Тело находится в состоянии покоя, значит, векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Запишем силы в проекции на \(Ox\): \[F_{\text{тр}} - m \cdot g \cdot \sin{\alpha} = 0,\] где \(F_{\text{тр}}\) — сила трения покоя, \(m \cdot g\) — сила тяжести, \(\alpha\) — угол между наклонной плоскостью и горизонталью. Выразим силу трения \[F_{\text{тр}} = m \cdot g \cdot \sin{\alpha}\] Из этой формулы следует, что сила трения в данном случае зависит лишь от массы тела и угла \(\alpha\). Эти величины не изменяются \(\Rightarrow\) сила трения не изменяется.
Запишем силы в проекции на Оу: \[N - F - m \cdot g \cdot \cos{\alpha} = 0,\] где \(N\) — сила реакции опоры, \(F\) — прижимающая сила. Выразим силу реакции опоры \[N = F + m \cdot g \cdot \cos{\alpha}\] Из формулы следует, что при увеличении \(F\) также увеличивается и \(N\). Таким образом, сила реакции опоры увеличивается.

Тело находится в состоянии покоя, значит, векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Запишем силы в проекции на \(Ox\): \[F\cdot \cos{\alpha} + F_{\text{тр}} - m \cdot g \cdot \sin{\alpha} = 0,\] где \(F\) — прижимающая сила, \(\alpha\) — угол между наклонной плоскостью и горизонталью, \(F_{\text{тр}}\) — сила трения покоя, \(m \cdot g\) — сила тяжести. Выразим силу трения \[F_{\text{тр}} = m \cdot g \cdot \sin{\alpha} -F\cdot \cos{\alpha}\] Из формулы следует, что при увеличении прижимной силы сила трения уменьшается.
Запишем силы в проекции на \(Oy\): \[N - F\cdot \sin{\alpha} - m \cdot g \cdot \cos{\alpha} = 0,\] где \(N\) — сила реакции опоры. \[N = F \cdot \sin{\alpha} + m \cdot g \cdot \cos{\alpha}\] Из формулы следует, что при увеличении прижимной силы сила реакции опоры увеличивается.