Законы сохранения в механике
На рисунке представлен график изменения кинетической энергии свободно падающего тела с течением времени. Какие два утверждения о движении этого тела не противоречат представленному графику, если сопротивление воздуха пренебрежимо мало? 
1) Тело брошено вертикально вверх с поверхности Земли и упало на балкон.
2) Тело брошено под углом к горизонту с балкона и упало на поверхность земли.
3) Тело брошено под углом к горизонту с поверхности Земли и упало обратно на Землю.
4) В верхней точке траектории кинетическая энергия максимальна.
5) В конце наблюдения потенциальная энергия меньше, чем в начале.
1) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Если бы тело было брошено с земли, и упало бы на землю, то кинетическая энергия в конце наблюдения, была бы равна кинетической энергии в начале. Соотвественно тело упало ниже той высоты, с которой была брошена. Минимальная кинетическая энергия не равна 0, следовательно, минимальная скорость не равна 0, то есть тело было брошено не вертикально вверх, а под углом к горизонту.
2) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\) (см.пункт 1)
3) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)(см.пункт1)
4) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
В верхней точке траектории кинетическая энергия минимальна.
5) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
По графику видно, что кинетическая энергия больше, следовательно, потенциальная энергия уменьшилась.
Траектория тела: 
На рисунке представлен схематичный вид графика изменения кинетической энергии тела с течением времени. Выберите два верных утверждения, описывающих движение в соответствии с данным графиком. 
1) В конце наблюдения кинетическая энергия тела равна нулю.
2) Кинетическая энергия тела в течение всего времени наблюдения увеличивается.
3) Кинетическая энергия тела в начальный момент времени максимальна.
4) Тело брошено вертикально вверх с балкона и упало на Землю.
5) Тело брошено под углом к горизонту с поверхности Земли и упало в кузов проезжающего мимо грузовика.
1) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Из графика видно, что в конце наблюдения кинетическая энергия тела больше нуля.
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Кинетическая энергия тела в течение наблюдения сначала падает, затем возрастает, после вновь падает.
3) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
Кинетическая энергия тела в начальный момент времени максимальна.
4) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Если бы тело было брошено вертикально вверх с балкона и упало на Землю, то конечная кинетическая тела энергия была бы равна нулю, в данном случае это не так.
5) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
Если бы тело было брошено под углом к горизонту с поверхности Земли и упало в кузов проезжающего мимо грузовика, то изменение кинетической энергии тела было бы таким, как представлено на графике.
Траектория тела: 
Свинцовый брусок массой \(m_1=1000\) г покоится на гладкой горизонтальной поверхности. На него налетает свинцовый шарик массой \(m_2=200\) г, скользящий по поверхности со скоростью \(3\) м/с. В результате тела слипаются, и двигаются как одно целое. Выберите два утверждения, которые соотвествуют результатам этого опыта.
1) Скорость тел после соударения равна 0,5 м/с.
2) Кинетическая энергия свинцового бруска после соударения равна 0,25 Дж.
3) Общая кинетическая энергия системы “Брусок+Шарик” не изменилась.
4) В результате соударения выделилось количество теплоты равное 0,75 Дж.
5) Суммарный импульс тел после удара равен 3 кг\(\cdot\)м/с.
1) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
По закону сохранения импульса: \[m_2\cdot \upsilon_2=(m_1+m_2)\cdot u\] \[u=\frac{200\text{г} \cdot 3\text{ м/с } } {(1000\text{г}+200\text{г})} =0,5 \text{м/c}\]
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Кинетическая энергия свинцового бруска равна: \[E_k=\frac{m_1\cdot u^2 }{2}\] \[E_k=\frac{1\text{ кг } \cdot (0,5\text{ м/с })^2 }{2}=0,125\text{Дж}\]
3) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Найдем изменение кинетической энергии системы:
\[\varDelta E_k=\frac{m_2\cdot \upsilon_2^2}{2} - \frac{(m_1+m_2)\cdot u^2}{2}\] \[\varDelta E_k=\frac{0,2 \text{ кг} \cdot ( 3 \text{ м/с})^2 }{2} - \frac {(0,2\text{ кг} +1 \text{ кг}) \cdot (0,5 \text{ м/с} )^2} {2}=0,75\text{ Дж }\]
4) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
Количество теплоты можно посчитать из изменения кинетической энергии (См.пункт 3).
5) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Суммарный импульс системы после соударения: \[p'=(m_1+m_2)\cdot u\] \[p'=(1\text{ кг}+ 0,2 \text{ кг})\cdot 0,5\text{ м/c}=0,6\text{ кг$\cdot$м/с}\]
Петя кидает шарик под углом \(\alpha=30^\circ\) к горизонту со скоростью 1,5 м/c. Выберите два правильных утверждения о движении шарика.
1) Кинетическая энергия в верхней точке траектории максимальна.
2) По мере подъёма потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается.
3) Полная механическая энергия шарика постоянно уменьшается.
4) Полная механическая энергия шарика не изменяется.
5) Проекция импульса на горизонтальную ось постоянна.
1) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
По закону сохранения полной механической энергии: \[E=E_p+E_k\] В верхней точке \[E_p=mgh\] потенциальная энергия максимальна, значит кинетическая минимальна.
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
По мере полъема потенциальная энергия увеличивается (увеличивается высота), а кинетическая энергия уменьшается (скорость уменьшается).
3) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Полная механическая энергия сохраняется.
4) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
(см.пункт 3)
5) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
При движении под углом к горизонту проекция скорости на ось \(Ox\) постоянна. Следовательно проекция импульса тоже.
На дне желоба покоится брусок массой \(m_1=6\) кг. С края желоба без начальной скорости начинает скольжение брусок массой \(m_2=5\) кг с высоты 5 м. В результате происходит неупругое соударение. Выберите два верных утверждения о происходящем.
1) Скорость второго бруска перед соударением равна 10 м/c.
2) Скорость брусков после взаимодействия равен 6 м/c.
3) После соударения брускам хватит кинетической энергии, чтобы покинуть желоб.
4) В результате взаимодействия механическая энергия системы не изменилась.
5) В результате взаимодействия механическая энергия системы уменьшилась.
1) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
По закону сохранения энергии: \[m_2\cdot g \cdot h=\frac{m_2\cdot v^2}{2}\] \[v=\sqrt{\frac{2 \cdot m_2 \cdot g \cdot h}{m_2}}\] \[v=\sqrt{\frac{2\cdot 5\text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5\text{ м } }{5\text{ кг }}}=10\text{ м/с }\] 2) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
По закону сохранения импульса: \[m_2 \cdot v=(m_2+m_1) \cdot u\] \[u=\frac{m_2 \cdot v}{m_2+m_1}\] \[u=\frac{5\text{ кг} \cdot 10\text{ м/с}}{5\text{ кг}+6\text{ кг}}= 4,55 \text{ м/c }\] 3) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Посчитаем на какую высоту сможет подняться система после соударения: \[\frac{(m_1+m_2)\cdot u^2}{2}=(m_1+m_2)gh\] \[h=\frac{(6\text{ кг}+5\text{ кг}) \cdot (10\text{ м/c})^2}{2\cdot(6\text{ кг}+5\text{ кг}) \cdot 10\dfrac{\text{м}}{c^2} }=1,03 \text{ м }\] 4) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
При неупргуом ударе происходит потеря энергии, которая уходит на нагрев.
5) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
Уменьшение механической энергии объясняется утратой некоторой части энергии на нагрев.
Радиоуправляемый автомобиль \(m_1=8\) кг въезжает в коридор со скоростью \(\upsilon_1=10\) м/c. В это время на встречу ему выезжает другой автомобиль массой \(m_2= 2\) кг со скоростью \(\upsilon_2 = 5\) м/с (см.Рисунок). После столкновения они продолжают движение, как одно целое. Выберите два верных утверждения о результатах взаимодействия.
1) Скорость тел после столкновения больше, чем начальная скорость второго автомобиля.
2) В результате взаимодействия выделилось количество теплоты равное 50 Дж.
3) В результате взаимодействия кинетическая энергия системы изменилась.
4) Скорость системы после столкновения равна \(3\) м/c.
5) Импульс системы до столкновения меньше конечного.
1) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
Найдем скорость системы тел по закону сохранения импульса: \[m_1\cdot\upsilon_1 -m_2\cdot \upsilon_2=(m_1+m_2)\cdot u\] \[u=\frac{m_1\cdot\upsilon_1 -m_2\cdot \upsilon_2}{m_1+m_2}\] \[u= \frac {8\text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} - 2\text{ кг} \cdot 5\text{ м/с} } {8 \text{ кг} + 2\text{ кг} } = 7 \text{ м/c }\]
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Количество теплоты можно посчитать по изменению Кинетической энергии. \[\varDelta E_k=\frac{m_1\cdot \upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\cdot \upsilon_2^2}{2}-\frac{(m_1+m_2)\cdot u^2 }{2}\] \[\varDelta E_k=\frac{8\text{ кг} \cdot (10\text{ м/с})^2 }{2}+\frac{2 \text{ кг} \cdot( 5 \text{м/с})^2
}{2}-\frac{(8 \text{ кг} + 2\text{ кг} ) \cdot (7\text{ м/с})^2}{2} = 180 \text{ Дж }\]
3) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\) (См.пункт 2)
4) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)(См.Пункт 1)
5) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Посчитаем изменение импульса: \[\varDelta p=m_1\cdot \upsilon_1+m_2\cdot \upsilon_2-(m_1+m_2)\cdot u\] \[\varDelta p=8\text{ кг} \cdot 10\text{ м/с} +2\text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с}-(8 \text{ кг} + 2\text { кг} )\cdot 7\text{ м/с }=20 \text{ кг$\cdot$м/с}\]
У основания наклоненной под углом к горизонту гладкой поверхности покоится брусок массой \(m_1=6\) кг (см.рисунок). В него врезается со скоростью \(v=4\) м/c, тележка массой \(m_2=10\) кг. Удар абсолютно неупругий. Выберите два верных утверждения:
1) Скорость системы “брусок+тележка” после соударения равна \(2,5\) м/с.
2) Кинетической энергии хватит, чтобы брусок и тележка смогли подняться на высоту 0,5 м.
3) Кинетическая энергия системы “брусок+тележка” после соударения равна 50 Дж.
4) В результате соударения выделилось количество теплоты равное 60 Дж.
5) Суммарная кинетическая энергия системы в результате взаимодействия не изменилась.
1) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
По закону сохранения импульса: \[m_2 \cdot v=(m_1+m_2)\cdot u\] Где \(u\) — скорость тележки и бруска после взаимодействия. \[u=\frac{m_2\cdot v}{(m_1+m_2)}\] \[u=\frac{10\text{ кг} \cdot 4\text{ м/с } }{(10\text{ кг}+6\text{ кг })}=2,5\text{ м/с }\] 2) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
По закону сохранения энергии: \[\frac{(m_1+m_2) \cdot u^2}{2}=(m_1+m_2)gh\] \[h=\frac{(m_1+m_2) \cdot u^2}{2\cdot(m_1+m_2)\cdot g}\] \[h=\frac{(10\text{ кг} + 6\text{ кг } ) \cdot (2,5\text{ м/с })^2}{2\cdot(10\text{ кг} + 6\text{ кг} )\cdot 10\text{ м/с}^2}=0,3125\text{ м }\] 3) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
Вычислим кинетическую энергию системы после столкновения: \[E_k=\frac{(m_1+m_2) \cdot u^2}{2}\] \[E_k=\frac{(10\text{ кг} + 6\text{ кг}) \cdot (2,5\text{ м/с})^2 }{2}=50\text{ Дж }\] 4) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Количество теплоты можно найти из изменения кинетической энергии: \[\varDelta E_k=\frac{m_1 \cdot v^2 } {2} - \frac{(m_1+m_2) \cdot u^2}{2}\] \[\varDelta E_k=\frac{10\text{ кг} \cdot (4\text{ м/с })^2}{2}-\frac{(10\text{ кг} + 6 \text{ кг} ) \cdot (2,5\text{ м/с })^2
}{2}=30\text{ Дж }\] 5) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Кинетическая энергия изменилась, потому что некоторая её часть преобразовалась в теплоту.(см.пункт 4)
