Сложение, вычитание, умножение на число

При сложении векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗ b(x2;y2)$ их координаты складываются, то есть
$⃗a(x1;y1) +⃗b(x2;y2) = ⃗c(x1 +x2;y1 + y2).$
При вычитании из вектора $⃗a (x1;y1)$ вектора $⃗ b(x2;y2)$ их координаты вычитаются, то есть
$⃗a(x1;y1) − ⃗b(x2;y2) = ⃗c(x1 − x2;y1 − y2).$
При умножении вектора $⃗a(x1;y1)$ на число $k$ его координаты уножаются на $k :$
$k ⋅⃗a(x1;y1) = ⃗α(kx1;ky1).$

Связь координат вектора с координатами его начала и конца

Пусть есть вектор $⃗a$ с началом в точке $(x1;y1)$ и концом в точке $(x2;y2).$

xy⃗axy(xy(xy11x22x2212 −;;−yy xy1)2)11

Вектор — последовательное перемещение по горизонтали и вертикали. Тогда для перемещения из начала вектора, точки $(x1;y1),$ в его конец, точку $(x2;y2),$ надо сначала сместиться по горизонтали на $x2 − x1,$ а затем по вертикали на $y2 − y1.$ Таким образом координаты вектора $⃗a$ равны $(x2 − x1;y2 − y1),$ то есть для получения координат вектора нужно вычесть из координат его конца координаты его начала.

Задача про медиану треугольника

Вспомним правило параллелограмма. Возьмем два вектора $⃗a$ и $⃗b.$ Пусть $⃗a +⃗b = ⃗c.$

⃗⃗
⃗ab⃗c∖∖++d

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому медиана треугольника, образованного векторами $⃗a$ и $⃗b,$ есть половина вектора $⃗c.$

Таким образом,

⃗ 1 1( ⃗) d = 2⃗c = 2 ⃗a +b .

Пример задачи про медиану в ЕГЭ

На координатной плоскости отмечены точки $A,$ $B$ и $C.$ Найдите длину медианы $AM$ треугольника $ABC.$

xy110ABC

Ответ

6,5

Решение

Известно, что $( ) −A−→M = 1 −−A→B + −A→C . 2$ Найдем координаты точек $A,$ $B,$ $C :$

Отсюда получаем

Тогда имеем:

( ) −A−M→ = 1 ((4 +8);(− 5 + 0)) = 1(12;− 5) = 12;− 5 2 2 2 2

Следовательно, длина медианы $AM$ равна

∘ (---)2---(---)2 AM = 12 + − 5 = 13 = 6,5 2 2 2

Координаты вектора