Тема 12. Исследование функций с помощью производной
12.07 Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела исследование функций с помощью производной
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2742

Найдите наименьшее значение функции y =  2x2 + 2x + 11  на отрезке [− 4;0]  .

Показать ответ и решение

ОДЗ: x  – произвольный.

1)

y′ = 4x + 2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0  или не существует):

4x + 2 = 0     ⇔      x =  − 0,5.
Производная существует при любом x  .

2) Найдём промежутки знакопостоянства  ′
y :
 
PIC

 

3) Найдём промежутки знакопостоянства  ′
y на рассматриваемом отрезке [− 4;0]  :
 
PIC

 

4) Эскиз графика на отрезке [− 4;0]  :
 
PIC

 

Таким образом, наименьшего на [− 4;0]  значения функция достигает в x = − 0,5  .

y(− 0,5 ) = 2 ⋅ 0,25 − 1 + 11 = 10,5.
Итого: 10,5  – наименьшее значение функции y  на [− 4;0]  .
Ответ: 10,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#17167

Найдите наименьшее значение функции               3
y = 13+ 75x − x  на отрезке [−5;5].

Показать ответ и решение

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно схематично изобразить график функции.

1.

Найдем производную:

y′ = 75− 3x2
2.

Найдем нули производной:

75− 3x2 = 0  ⇒   x= ±5
3.

Найдем знаки производной в получившихся промежутках и изобразим схематично график функции:

PIC

Таким образом, на отрезке [−5;5]  функция y  возрастает. Следовательно, наименьшее значение на этом отрезке она принимает в точке x = −5 :

y(−5)= 13− 5⋅75+ 53 = −237
Ответ: -237

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32289

Найдите наименьшее значение функции y = x1,5− 3x +1  на отрезке [1;9]  .

Показать ответ и решение

Функция y =y(x)  определена при всех x≥ 0  . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′  3√ -
y= 2  x− 3

Найдем нули производной:

          √-
y′ = 0 ⇔   x = 2 ⇔   x= 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок [1;9]  попадает нуль производной x= 4  . При x ∈[1;4)  производная отрицательна (для проверки можно подставить в производную точку из этого промежутка x= 1  ), то есть функция y = y(x)  убывает; при x∈(4;9]  производная положительна (подставляем x= 9  ), то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке [1;9]  функция имеет точку минимума x =4  , в которой и достигается наименьшее значение на этом отрезке, и оно равно

      3
y(4)= 42 − 3⋅4+ 1= −3.
Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32290

Найдите наименьшее значение функции y = x3− 27x  на отрезке [0;4].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′   2
y= 3x − 27

Найдем нули производной:

 ′         2
y= 0  ⇒   x = 9 ⇔   x =±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок [0;4]  попадает нуль производной x =3  .

PICT

При x∈ [0;3)  производная отрицательна, то есть функция y = y(x)  убывает; при x∈ (3;4]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке [0;4]  функция имеет точку минимума x =3  , в которой и достигается наименьшее значение на этом отрезке, и оно равно

y(3)= 33 − 27⋅3= −54.
Ответ: -54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32291

Найдите наименьшее значение функции y = x3− 3x2+ 2  на отрезке [1;4].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′    2
y= 3x − 6x

Найдем нули производной:

 ′
y = 0 ⇒   3x(x − 2)= 0 ⇔   x= 0;2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок [1;4]  попадает нуль производной x =2  .

PICT

При x∈ [1;2)  производная отрицательна, то есть функция y = y(x)  убывает; при x∈ (2;4]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке [1;4]  функция имеет точку минимума x =2  , в которой и достигается наименьшее значение на этом отрезке, и оно равно

y(2)= 23− 3⋅22+ 2= −2.
Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32292

Найдите наибольшее значение функции y = x3 +2x2+ x+ 3  на отрезке [−4;−1].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′   2
y = 3x +4x+ 1

Найдем нули производной:

 ′          2                       1
y = 0  ⇒  3x + 4x+ 1= 0  ⇔  x =− 1;− 3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок [− 4;−1]  попадает нуль производной x =− 1  .

PICT

При x∈ [− 4;− 1]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке [−4;−1]  наибольшее значение достигается в точке x= −1  , и оно равно

y(−1)= −1+ 2− 1+3 =3.
Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32293

Найдите наименьшее значение функции y = x3− 2x2+ x+ 3  на отрезке [1;4].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′   2
y = 3x − 4x+ 1

Найдем нули производной:

′          2                    1
y= 0  ⇒   3x − 4x+ 1= 0 ⇔  x = 1;3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок [1;4]  попадает нуль производной x =1  .

PICT

При x∈ [1;4]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке [1;4]  наименьшее значение достигается в точке x= 1  , и оно равно

y(1)= 1− 2+1+ 3= 3.
Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32294

Найдите наименьшее значение функции y = x3− x2− 40x+ 3  на отрезке [0;4].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′   3
y =3x − 2x− 40

Найдем нули производной:

 ′          3                    10
y = 0  ⇒  3x − 2x− 40 =0 ⇔   x= − 3 ;4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок [0;4]  попадает нуль производной x =4  .

PICT

При x∈ [0;4]  производная отрицательна, то есть функция y = y(x)  убывает. Следовательно, на отрезке [0;4]  наименьшее значение доистигается в точке x= 4  , и оно равно

y(4)= 43− 42 − 40⋅4+ 3= −109.
Ответ: -109

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32295

Найдите наименьшее значение функции y = 7+ 12x− x3  на отрезке [− 2;2].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′       2
y= 12− 3x

Найдем нули производной:

 ′         2
y= 0  ⇒   x = 4 ⇔   x =±2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [− 2;2]  производная положительна, то есть функция y =y(x)  возрастает. Следовательно, на отрезке [−2;2]  наименьшее значение доистигается в точке x= −2  , и оно равно

y(−2)= 7− 24+ 8= −9.
Ответ: -9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32296

Найдите наибольшее значение функции y = 7+12x− x3  на отрезке [− 2;2].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′       2
y= 12− 3x

Найдем нули производной:

 ′         2
y= 0  ⇒   x = 4 ⇔   x =±2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [− 2;2]  производная положительна, то есть функция y =y(x)  возрастает. Следовательно, на отрезке [−2;2]  наибольшее значение достигается в точке x= 2  , и оно равно

y(2)=7+ 24− 8= 23.
Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32297

Найдите наименьшее значение функции y = 9x2 − x3  на отрезке [−1;5].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′        2
y = 18x − 3x

Найдем нули производной:

 ′
y = 0 ⇒   3x(6 − x)= 0 ⇔   x= 0;6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок [−1;5]  попадает нуль производной x =0  .

PICT

При x∈ [− 1;0)  производная отрицательна, то есть функция y = y(x)  убывает; при x∈ (0;5]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке [−1;5]  функция имеет точку минимума x =0  , в которой и достигается наименьшее значение на этом отрезке, и оно равно

y(0)=0.
Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32298

Найдите наибольшее значение функции y = 9x2− x3  на отрезке [2;10].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′        2
y = 18x − 3x

Найдем нули производной:

 ′
y = 0 ⇒   3x(6 − x)= 0 ⇔   x= 0;6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок [2;10]  попадает нуль производной x= 6  .

PICT

При x∈ [2;6)  производная положительна, то есть функция y =y(x)  возрастает; при x∈ (6;10]  производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке [2;10]  функция имеет точку максимума x = 6  , в которой и достигается наибольшее значение на этом отрезке, и оно равно

y(6)= 9⋅62− 63 =108.
Ответ: 108

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32299

Найдите наименьшее значение функции y = x3− 9x− 7
   3  на отрезке [−3;3].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′   2
y = x − 9

Найдем нули производной:

 ′         2
y= 0  ⇒   x = 9 ⇔   x =±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [− 3;3]  производная отрицательна, то есть функция y = y(x)  убывает. Следовательно, на отрезке [−3;3]  наименьшее значение доистигается в точке x= 3  , и оно равно

      33
y(3)= 3-− 9⋅3 − 7 =− 25.
Ответ: -25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32300

Найдите наибольшее значение функции y = x3− 9x− 7
   3  на отрезке [−3;3].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′   2
y = x − 9

Найдем нули производной:

 ′         2
y= 0  ⇒   x = 9 ⇔   x =±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [− 3;3]  производная отрицательна, то есть функция y = y(x)  убывает. Следовательно, на отрезке [−3;3]  наибольшее значение доистигается в точке x= −3  , и оно равно

      − 33
y(−3)= -3- +9 ⋅3 − 7= 11.
Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32301

Найдите наименьшее значение функции y = 5+ 9x − x3
          3  на отрезке [−3;3].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′      2
y = 9− x

Найдем нули производной:

 ′         2
y= 0  ⇒   x = 9 ⇔   x =±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [− 3;3]  производная положительна, то есть функция y =y(x)  возрастает. Следовательно, на отрезке [−3;3]  наименьшее значение доистигается в точке x= −3  , и оно равно

              33
y(−3)= 5− 9⋅3+ 3-= −13.
Ответ: -13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#32302

Найдите наибольшее значение функции y = 5+9x− x3
          3  на отрезке [−3;3].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′      2
y = 9− x

Найдем нули производной:

 ′         2
y= 0  ⇒   x = 9 ⇔   x =±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [− 3;3]  производная положительна, то есть функция y =y(x)  возрастает. Следовательно, на отрезке [−3;3]  наибольшее значение доистигается в точке x= 3  , и оно равно

             33
y(3)= 5+ 9⋅3− 3-= 23.
Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#32303

Найдите наименьшее значение функции y = x32 − 3x+ 1  на отрезке [1;9].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ≥0  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′  3  1
y= 2x 2 − 3

Найдем нули производной:

          √-
y′ = 0 ⇒   x = 2 ⇔   x= 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x ∈[1;4)  производная отрицательна, то есть функция y = y(x)  убывает; при x∈ (4;9]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке [1;9]  наименьшее значение достигается в точке x= 4  , и оно равно

y(4)= 432 − 3⋅4+ 1= −3.
Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32304

Найдите наименьшее значение функции y = 2x32 − 3x+ 1
   3  на отрезке [1;9].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ≥0  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′   1
y = x2 − 3

Найдем нули производной:

 ′        √-
y = 0 ⇒    x = 3 ⇔   x= 9

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [1;9]  производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке [1;9]  наименьшее значение достигается в точке x= 9  , и оно равно

     2  3
y(9)= 3 ⋅92 − 3⋅9+ 1= −8.
Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32306

Найдите наименьшее значение функции y = 2x32 − 3x+ 1
   3  на отрезке [1;9].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ≥0  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′   1
y = x2 − 3

Найдем нули производной:

 ′        √-
y = 0 ⇒    x = 3 ⇔   x= 9

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [1;9]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке [1;9]  наименьшее значение достигается в точке x= 9  , и оно равно

     2  3
y(9)= 3 ⋅92 − 3⋅9+ 1= −8.
Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#32307

Найдите наибольшее значение функции y = x3 − 3x+ 4  на отрезке [− 2;0].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′   2
y = 3x − 3

Найдем нули производной:

 ′         2
y= 0  ⇒   x = 1 ⇔   x =±1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок [− 2;0]  попадает нуль производной x =− 1  .

PICT

При x∈ [− 2;−1)  производная положительна, то есть функция y = y(x)  возрастает; при x ∈(−1;0]  производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке [−2;0]  функция имеет точку максимума x= −1  , в которой и достигается наибольшее значение на этом отрезке, и оно равно

y(−1)= −13+ 3+4 =6.
Ответ: 6
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!