Тема 13. Решение уравнений

13.14 Уравнения, решаемые различными методами

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#599

Решите уравнение

(  x   x+1   x   )2  (  x   2x+1   x   )4
 27 − 9   − 3 + 9  + 27 + 3    − 3 − 3 = 0
Показать ответ и решение

Заметим, что уравнение можно переписать в виде

  3x     2x   x    2   3x     2x   x   4
(3  − 9 ⋅3 − 3 + 9) + (3 + 3⋅3  − 3 − 3)= 0

С помощью замены переменной t= 3x  (t> 0  ) данное уравнение сводится к виду

(t3− 9t2 − t+ 9)2+ (t3+ 3t2 − t− 3)4 = 0

Заметим, что в левой части стоит сумма двух неотрицательных выражений, которая является также неотрицательной. Значит, левая часть может быть равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения равны нулю, то есть

{                       {
 t3− 9t2− t+ 9= 0          t2(t− 9)− (t− 9)= 0
 t3+ 3t2− t− 3= 0    ⇔     t2(t+ 3)− (t+ 3)= 0   ⇔

    {
      (t− 9)(t− 1)(t+ 1)= 0
⇔     (t+ 3)(t− 1)(t+ 1)= 0    ⇔  t= ±1

Т.к. t> 0  , то подходит только t= 1  ⇒   3x =1   ⇒   x= 0  .

Ответ:

x = 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#600

Решить уравнение

√----------- √ -----------
 2015− 2016x +  2017x − 2016= 1
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ данного уравнения:

                              (
{                             |{     2015-
  2015 − 2016x  ≥ 0             x ≤ 2016
  2017x −  2016 ≥ 0      ⇔    |     2016-
                              ( x ≥ 2017

Сравним числа 2015-
2016  и 2016-
2017  :

2015   2016               1          1            1       1
-----∨ -----   ⇔    1 − -----∨ 1 − -----   ⇔    ----- ∧ -----
2016   2017             2016       2017         2016    2017

Т.к.   1       1
----- > -----
2016    2017  , то 2015    2016
----- < -----
2016    2017  .

 

Значит, ОДЗ: x ∈ ∅  .

 

Таким образом, уравнение не будет иметь корней, т.к. ни при каких x  не определена его левая часть.

Ответ:

x ∈ ∅

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1069

а) Решите уравнение

6+ log2(4 cosx)⋅log2(16sin2x)= log2(64cos3 x)+ log2(256 sin4x)

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку [      ]
 − π-; 3π .
   2 2

Показать ответ и решение

а) Выпишем ОДЗ:

( cosx > 0
|||{   2             {
  sin3x >0     ⇔    cosx> 0
|||( cos4x > 0         sin x⁄= 0
  sin x >0

Решим на ОДЗ. Сделаем замену:                           2
t= log2(4cosx), z =log2(16sin x)  , тогда уравнение примет вид:

6 +t⋅z =3t+ 2z  ⇔   (tz − 3t)− (2z − 6) =0  ⇔   (t− 2)(z − 3)= 0

Следовательно, решением являются

                                      ⌊
                                      |x= 2πn,n ∈ℤ
                                      ||   π-
                                      ||x=  4 + 2πk,k ∈ ℤ
[                     ⌊cosx= 1        |||     π
 log2(4cosx)= 2    ⇒   |⌈           ⇒   ||x= − 4 + 2πk,k ∈ ℤ
 log2(16sin2x) =3        sin2 x= 1       ||
                              2       ||x= 3π + 2πk,k ∈ ℤ
                                      |||    4
                                      ⌈     3π
                                       x= − 4-+ 2πk,k ∈ ℤ

Так как по ОДЗ cosx> 0  и sinx ⁄= 0  , то подходят лишь

x= ± π-+2πk,k ∈ℤ
     4

б) По окружности видно, что в указанный отрезок входят только − π-
  4  и π
-4  .
 
PIC

 

Ответ:

а) ± π+ 2πk,
  4  k ∈ ℤ

 

б)   π
− -4;  π
4-

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1107

Найдите сумму корней уравнения

x + 1 = 2log  (2x + 1) − 2 log  (2016 − 2−x)
            2                4
Показать ответ и решение

ОДЗ уравнения: 2016 − 2−x > 0  .

 

Преобразуем уравнение на ОДЗ:

                 (2x + 1)2                  (2x + 1 )2
log2 2x+1 = log2 -----------   ⇒    2x+1 =  -----------
                2016 −  2−x                2016 − 2−x

Сделаем замену:   x
2  =  t > 0  . Тогда уравнение примет вид:

                          (          )
      (t +-1)2-                    1-     2                        1-
2t =  2016 − 1   ⇒    2t ⋅  2016 − t   = t +  2t + 1  (т.к. 2016 −  t > 0 по О ДЗ )
             t

Уравнение сведется к квадратному:

 2
t −  4030t + 3 = 0

которое имеет два корня: t1,t2   , причем оба положительны (т.к. их произведение равно 3  , то есть положительно, и сумма равна 4030  , то есть тоже положительна). Проверим, подходят ли оба эти корня по ОДЗ. Для начала преобразуем ОДЗ:

2016 −  1-> 0   ⇒    2016t −  1 > 0   ⇒    t > --1--
        t                                      2016

Заметим, что абсцисса вершины параболы y = t2 − 4030t + 3  — это      4030
tв = -----= 2015  > -1--
      2             2016   .

 

Следовательно, если выполнено   --1-
y(2016) > 0  , то это будет значить, что оба корня находятся правее   1
2016 :
 
PIC

 

Проверкой убеждаемся, что действительно    1
y(2016) > 0  . Значит, оба корня t1   и t2   подходят по ОДЗ.

 

Заметим, что t ⋅ t = 2x1 ⋅ 2x2 = 2x1+x2
 1  2   . Следовательно, x  + x  = log  (t  ⋅ t) = log 3
 1    2      2  1   2      2  .

Ответ:

log2 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1186

а) Решите уравнение

(x+ 3)2     20       (x +3     2 )
---5---+ (x+-3)2-= 8⋅ --5--− x+-3- + 1

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−6;−4].

Показать ответ и решение

а) Введем для удобства обозначения x + 3= t  и 1x0+3 = z.  Умножим уравнение на 5, тогда оно примет вид:

t2+z2 = 8(t−z)+5  ⇔   t2−2tz+z2 = 8(t−z)+5− 2tz  ⇔   (t−z)2− 8(t−z)−5+2tz = 0

Заметим, что

              -10--
2tz = 2⋅(x+ 3)⋅x+ 3 = 20

Следовательно,

(t− z)2− 8(t− z)+ 15= 0

Данное уравнение является квадратным относительно t− z  . По теореме Виета его корнями будут 3  и 5  . Следовательно,

⌊
⌈t− z = 3

 t− z = 5

Заметим, что z = 10
    t  , следовательно,

                                     ⌊      √ --
                                     |t= 5−---65
⌊    10         ⌊ t2-− 3t−-10         ||      2
| t− t = 3      ||     t     =0       ||   5+ √65-
|⌈           ⇔   |⌈ 2              ⇔   ||t= ---2---
  t− 10= 5        t-− 5t−-10-=0      |||
     t                t              ⌈t= 5
                                      t= −2

Так как t= x+ 3  , то отсюда:

         --
⌊     −√-65−-1
|| x1 =   2
||     √--
|| x2 =-65-− 1
|||        2
|⌈ x3 = −5

  x4 = 2

б) Отберем корни. Заметим, что x4  не лежит в [− 6;− 4]  , x3  – лежит.
Так как 8 < √65< 9  , то

      √ --
     −--65−-1    9
− 5<    2    < − 2

и

   √ --
7< --65−-1< 4
2     2

Таким образом, мы видим, что x1  лежит в [−6;−4]  , а x2  – нет.

Ответ:

а) − 5;   √ --
−--65−-1;
   2  2;  √ --
--65−-1
   2

 

б) − 5;   √--
−-65-− 1
   2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1831

a) Решите уравнение

(tg2(2x) + ctg2(2x) − 2) ⋅ arcsin(x2) = 0.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку [− π;0 ]  .

Показать ответ и решение

ОДЗ:

sin 2x ⁄= 0,   cos2x ⁄=  0,  − 1 ≤ x2 ≤ 1
(так как tg (2x )  не теряет смысл при cos(2x) ⁄= 0  , ctg(2x)  не теряет смысл при sin(2x ) ⁄= 0  ,        2
arcsin(x )  не теряет смысл при − 1 ≤ x2 ≤ 1  ). Решим на ОДЗ:

а) Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла.

 

Рассмотрим сначала уравнение

arcsin (x2 ) = 0.
По определению arcsin(x2)  – это угол в радианах, лежащий на [  π  π]
 − --;--
   2  2 , синус которого равен   2
x   .
        2                           2              2
arcsin (x  ) = 0     ⇒      sin(0) = x      ⇒      x  =  0     ⇒      x = 0.
Однако, x =  0  не подходит по ОДЗ, следовательно x = 0  – не является корнем исходного уравнения.

 

Рассмотрим теперь

tg2(2x) + ctg2(2x) − 2 = 0
заметим, что на ОДЗ tg(2x) ⋅ ctg(2x) = 1  , тогда ctg(2x) =  --1----
           tg (2x )  .   Сделаем замену tg(2x) = t  , тогда рассматриваемое уравнение примет вид

 2   1-
t  + t2 − 2 = 0,

причём на ОДЗ 0 ⁄= tg(2x) = t  , тогда можно домножить последнее уравнение на t2   : t4 + 1 − 2t2 = 0  ⇔     t4 + 1 − 2t2 = (t2 − 1)2  ⇔

⇔    (t2 − 1)2 = 0   ⇔    t2 − 1 = 0  ⇔     t = ±1.

Так как t = tg(2x )  , то tg(2x ) = ±1  , откуда находим 2x =  ± π-+ πk
        4  , тогда x = ± π-+  πk-
      8     2  , где k ∈ ℤ  . Однако, на ОДЗ         2
−  1 ≤ x  ≤ 1  , то есть − 1 ≤ x ≤  1  :

− 1 ≤ π-+ πk- ≤ 1      ⇔      − 8-≤  1 + 4k ≤ 8-,
      8    2                    π             π
но k ∈ ℤ  , тогда по ОДЗ среди таких корней подходит только корень при k = 0  :      π
x =  --
     8  .

        π-  πk-                   8-              8-
− 1 ≤ − 8 +  2  ≤ 1      ⇔      − π ≤  − 1 + 4k ≤ π,
но k ∈ ℤ  , тогда по ОДЗ среди таких корней подходит только корень при k = 0  :       π
x = − --
      8  .

б) Среди корней   π
± 8-  на отрезок [− π; 0]  попадает только   π
− 8-  .

Ответ:

а) π
--
8  ,    π
−  --
   8  .

б)   π
− 8-  .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1894

Решите уравнение  5x ⋅2x+2x-= 40.

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

 x  x+2     3       x  − 1   3 − x+2
5 ⋅2 x  =5 ⋅2  ⇔   5  ⋅5  = 2 ⋅2  x   ⇔

   x−1   2(x−1)       x−1   x−1
⇔ 5   = 2  x    ⇔   5   = 4 x

Так как обе части равенства представляют собой положительные выражения (по свойству показательной функции), то возьмем логарифм по основанию 5 от обеих частей:

              x− 1
(x− 1)⋅log55 = -x--⋅log54  ⇔

⇔   x2− x(1+ log54)+ log54 = 0 (так как x⁄= 0)

По теореме Виета корнями данного уравнения являются x1 = 1,x2 = log54.

Ответ:

log 4;
  5  1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1895

а) Решите уравнение

                 (        )       (       )
     2                 2π-             4-π
cos(x  + x) + cos  x +  3   + cos  x +  3   =  0

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку [0;2]  .

Показать ответ и решение

а) Применим формулу суммы косинусов                      α + β     α − β
cos α + cosβ =  2cos ------cos ------
                       2         2  :

      2                       (  π)                  2                     1
cos(x  + x ) + 2 cos(π + x)cos − -- =  0   ⇔    cos(x  + x) + 2 ⋅ (− cosx) ⋅-= 0   ⇔
                                 3                                         2

                                            2          2
⇔    cos(x2 + x ) − cos x = 0  ⇔    − 2sin x-+--2x-sin x--= 0   ⇔
                                              2        2

     ⌊     2
          x--+-2x-            [
     || sin    2    =  0         x2 + 2x −  2πn,n ∈  ℤ
⇔    ⌈     2             ⇔     x2 =  2πk,k ∈ ℤ
       sin x--=  0
           2

Первое уравнение совокупности является квадратным и имеет решения, когда
D  = 4(1 + 2πn ) ≥ 0 ⇒ n =  0;1;2;...
Тогда           √ --------
x = − 1 ±   1 + 2πn, n =  0;1;2;...

 

Второе уравнение имеет решения, когда 2πk ≥  0 ⇒ k = 0; 1;2;...
Тогда       √ ----
x = ±   2πk,  k = 0;1;2;...

 

Эти две серии корней пересекаются по решению x = 0  (при n = k =  0  ), поэтому из одной серии необходимо убрать это решение, например, из второй. Тогда       √ ----
x = ±   2πk, k = 1; 2;...

 

б) Рассмотрим первую серию корней:            √ ---------
x1 = − 1 −   1 + 2πn1, n1 = 0;1; 2;...
Заметим, что в этой серии все x  будут отрицательными, т.к.    √ --         √ --
−    A ≤ 0  ⇒  −  A  − 1 ≤ − 1  .
Значит, нет корней из отрезка [0;2]  .

 

Рассмотрим вторую серию корней: x  = − 1 + √1--+-2πn--, n =  0;1;2;...
  2                  2   2
при n2 = 0             √ --
x2 =  − 1 +  1 = 0  – подходит;
при n2 = 1             √ -------
x2 =  − 1 +  1 + 2π ∼ 1, ...  — подходит;
при n2 = 2             √ -------
x2 =  − 1 +  1 + 4π > 2  — уже не подходит.
Далее при возрастании n2   будет увеличиваться и x2   .

 

Аналогично рассуждая в третьей и четвертой сериях, получим, что в них нет корней из промежутка [0;2]  .

Ответ:

а)        √ --------  √ ----
−  1 ±   1 + 2 πn;±  2πk; n ∈  ℕ ∪ {0},k ∈ ℕ

б)         √ -------
0;− 1 +   1 + 2π

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2354

Решить уравнение

   2
--x---      --x----
x − 4 +  2 ⋅ x2 − 4 + 3 = 0

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

1 способ.

 

 x2           2x                   x2 + x − 4      x + x2 − 4
------+ 1 + -2-----+ 2 = 0   ⇔     -----------+ 2 ⋅---2-------= 0   ⇔
x − 4       x  − 4                   x − 4           x −  4

                                                 ( ⌊  2
                   (               )             ||{   x +  x − 4 = 0
⇔    (x2 + x − 4) ⋅  --1---+ ---2---  = 0   ⇔      ⌈  2                       ⇔
                     x − 4   x2 − 4              ||   x −  4 + 2x − 8 = 0
                                                 ( (x2 − 4)(x − 4) ⁄= 0

     ( ⌊           √ ---
     ||||   x = −-1 ±---17           ⌊           √---
     ||| ||         2                      −-1 ±--17-
     { ⌈           √---           |x =      2
⇔    |   x = − 1 ±  13       ⇔    |⌈
     |||                                       √ ---
     ||| x ⁄= ±2                      x =  − 1 ±  13
     ( x ⁄= 4

 

2 способ.
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x  , так как x = 0  не является корнем уравнения:

  x          1
----4-+ 2 ⋅----4-+ 3 = 0
1 − x      x − x
Пусть 4
x- = b  . Тогда уравнение примет вид
                               2     2
--x-- + --2---+ 3 = 0   ⇔     x-+--3b-−-4bx-−--5b +-3x-+-2 = 0
1 − b   x − b                        (1 − b)(x − b)
Рассмотрим числитель дроби:
(x2 + 4b2 + 1 − 4bx + 2x − 4b) − b2 + (x − b + 1) = 0   ⇔    (x − 2b + 1)2 − b2 + (x − b + 1) = 0  ⇔

 ⇔    (x − 2b + 1 − b)(x − 2b + 1 + b) + (x −  b + 1) = 0  ⇔    (x − b + 1)(x − 3b + 2) = 0
Следовательно, исходное уравнение равносильно:
( [
|||  x − b + 1 = 0
|{  x − 3b + 2 = 0

||| 1 − b ⁄= 0
|( x − b ⁄= 0
Решим первое уравнение, сделав обратную подстановку 4 = b
x  :
                                                          √ ---
        4-                 2                        −-1-±---17
1.  x − x + 1 = 0   ⇔    x  + x − 4 =  0   ⇔    x =      2
Решим второе уравнение:
        4                                                  √ ---
x − 3 ⋅--+  2 = 0   ⇔    x2 + 2x − 12 = 0   ⇔     x = − 1 ±  13
       x
Сделав проверку, убеждаемся, что полученные корни не являются корнями уравнений 1 − 4x = 0  и      4
x −  --= 0
     x  .
Ответ:

                          √ ---
x =  − 1 ± √13; x =  − 1-±--17-
                         2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2411

Решите систему

(
|{  x + y + xy = 1

|(  x + z + xz = 1
   y + z + yz = 1
Показать ответ и решение

Прибавим к обеим частям каждого уравнения системы единицу:

(                              (
|{ x + y + xy + 1 = 2           |{ (x + 1 )(y + 1) = 2
                         ⇔                             (∗ )
|( x + z + xz + 1 = 2           |( (x + 1 )(z + 1) = 2
  y + z + yz + 1 = 2             (y + 1 )(z + 1) = 2

Перемножим все три равенства:

(x + 1)2(y + 1)2(z + 1)2 = 8   ⇔    (x + 1)(y + 1)(z + 1 ) = ±2 √2

Поделив полученное уравнение по очереди на каждое уравнение из системы (∗)  , получим:

⌊ (         √ --            ⌊ (     √ --
  |{ x + 1 = √ 2-              |{ x = √ 2-− 1
||   y + 1 =   2             ||   y =   2 − 1
|| |(         √ --            || |(     √ --
| ( z + 1 =   2        ⇔    | ( z =   2 − 1
|| | x + 1 = − √2--          || | x = − √2--− 1
|| {           √ --          || {       √ --
⌈ | y + 1 = − √ 2-          ⌈ | y = − √ 2 − 1
  ( z + 1 = −   2             ( z = −   2 − 1
Ответ:

 √ --    √ --    √ --       √ --      √ --      √ --
(  2 − 1;  2 − 1;  2 − 1);(−  2 − 1;−   2 − 1;−   2 − 1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2444

а) Решите уравнение log√ -(log     (2− cos2x +2sinx)cos4x) = 2.
    2   sinx+1

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку [−2π;0].

Показать ответ и решение

а) Запишем ОДЗ внутреннего логарифма:

pict

Рассмотрим внутренний логарифм на его ОДЗ. Мы уже поняли, что

2− cos2x+ 2sinx= (sinx +1)2

Таким образом,

       (       2)cos4x                 2cos4x
logsinx+1 (sin x+ 1)     = logsinx+1(sinx + 1)     = 2cos4x

Значит, уравнение приобретает вид:

log√2(2cos4x)= 2
         (√-)2
 2cos4x =   2
   2cos4x = 2
   cos4x= 1
 4x= 2πn, n ∈ℤ

 x = πn2 , n ∈ ℤ

В этом уравнении мы не искали ОДЗ логарифма, потому что его основание равно √ -
  2,  а аргумент должен равняться 2.

Пересечем данное решение с ОДЗ внутреннего (в данном случае это удобно сделать по окружности):

PIC

Таким образом, нам подходит всего одна точка на окружности, в которую попадают углы вида:

   π-
x= 2 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни:

− 2π ≤ π-+ 2πk ≤ 0
      2
   − 5 ≤ k ≤ − 1
    4        4

Таким образом, единственное целое k,  подходящее в неравенство, это k = − 1.  При таком k  получаем корень x= − 3π .
     2

Ответ:

а) π+ 2πk, k ∈ℤ
2

 

б) − 3π
   2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2767

Решите уравнение    (       )           (          )
log3 9sinx+ 9 = sin x− log1 28− 2⋅3sinx .
                      3

Показать ответ и решение

Заметим, что sinx = log33sinx.  Сделаем замену 3sinx = t,  t> 0.  Тогда уравнение примет вид:

log (t2+ 9)= log t+ log(28− 2t)
   3          3     3

ОДЗ уравнения:

( 2
|{ t+ 9> 0
|( t>0         ⇔   0 < t< 14
  28 − 2t> 0

Решим уравнение на ОДЗ.

   (    )
log3 t2 +9  =log3(t(28 − 2t)) ⇒   3t2− 28t+ 9= 0

Корнями данного уравнения являются t1 = 9  и     1
t2 = 3.  Оба корня подходят по ОДЗ.

Сделаем обратную замену:

3sinx = 9 ⇔   sinx= 2

Данное уравнение не имеет решений.

 sinx  1                          π
3   = 3   ⇔   sinx =− 1  ⇔   x= − 2-+2πn,n ∈ℤ
Ответ:

− π+ 2πn,
  2  n ∈ ℤ

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!