13.14 Уравнения, решаемые различными методами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Заметим, что уравнение можно переписать в виде
С помощью замены переменной (
) данное уравнение сводится к
виду
Заметим, что в левой части стоит сумма двух неотрицательных выражений, которая является также неотрицательной. Значит, левая часть может быть равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения равны нулю, то есть
Т.к. , то подходит только
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение
Найдем ОДЗ данного уравнения:
Сравним числа и
:
Т.к. , то
.
Значит, ОДЗ: .
Таким образом, уравнение не будет иметь корней, т.к. ни при каких не определена его левая
часть.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку
а) Выпишем ОДЗ:
Решим на ОДЗ. Сделаем замену: , тогда
уравнение примет вид:
Следовательно, решением являются
Так как по ОДЗ и
, то подходят лишь
б) По окружности видно, что в указанный отрезок входят только и
.
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите сумму корней уравнения
ОДЗ уравнения: .
Преобразуем уравнение на ОДЗ:
Сделаем замену: . Тогда уравнение примет вид:
Уравнение сведется к квадратному:
которое имеет два корня: , причем оба положительны (т.к. их произведение равно
, то есть
положительно, и сумма равна
, то есть тоже положительна). Проверим, подходят ли оба эти корня
по ОДЗ. Для начала преобразуем ОДЗ:
Заметим, что абсцисса вершины параболы — это
.
Следовательно, если выполнено , то это будет значить, что оба корня находятся правее
:
Проверкой убеждаемся, что действительно . Значит, оба корня
и
подходят по
ОДЗ.
Заметим, что . Следовательно,
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Введем для удобства обозначения и
Умножим уравнение на
5, тогда оно примет вид:
Заметим, что
Следовательно,
Данное уравнение является квадратным относительно . По теореме Виета
его корнями будут
и
. Следовательно,
Заметим, что , следовательно,
Так как , то отсюда:
б) Отберем корни. Заметим, что не лежит в
,
– лежит.
Так как , то
и
Таким образом, мы видим, что лежит в
, а
– нет.
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
ОДЗ:
а) Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла.
Рассмотрим сначала уравнение
Рассмотрим теперь
причём на ОДЗ , тогда можно домножить последнее уравнение на
:
Так как , то
, откуда находим
, тогда
, где
. Однако, на ОДЗ
, то есть
:
б) Среди корней на отрезок
попадает только
.
а) ,
.
б) .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Преобразуем уравнение:
Так как обе части равенства представляют собой положительные выражения (по свойству показательной функции), то возьмем логарифм по основанию 5 от обеих частей:
По теореме Виета корнями данного уравнения являются
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку .
а) Применим формулу суммы косинусов :
Первое уравнение совокупности является квадратным и имеет решения, когда
Тогда
Второе уравнение имеет решения, когда
Тогда
Эти две серии корней пересекаются по решению (при
), поэтому из одной серии
необходимо убрать это решение, например, из второй. Тогда
б) Рассмотрим первую серию корней:
Заметим, что в этой серии все будут отрицательными, т.к.
.
Значит, нет корней из отрезка .
Рассмотрим вторую серию корней:
при
– подходит;
при
— подходит;
при
— уже не подходит.
Далее при возрастании будет увеличиваться и
.
Аналогично рассуждая в третьей и четвертой сериях, получим, что в них нет корней из промежутка
.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение
(Задача от подписчиков)
1 способ.
2 способ.
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на , так как
не является корнем
уравнения:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему
Прибавим к обеим частям каждого уравнения системы единицу:
Перемножим все три равенства:
Поделив полученное уравнение по очереди на каждое уравнение из системы , получим:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку
а) Запишем ОДЗ внутреннего логарифма:
Рассмотрим внутренний логарифм на его ОДЗ. Мы уже поняли, что
Таким образом,
Значит, уравнение приобретает вид:
В этом уравнении мы не искали ОДЗ логарифма, потому что его основание
равно а аргумент должен равняться 2.
Пересечем данное решение с ОДЗ внутреннего (в данном случае это удобно сделать по окружности):
Таким образом, нам подходит всего одна точка на окружности, в которую попадают углы вида:
б) Отберем корни:
Таким образом, единственное целое подходящее в неравенство, это
При таком
получаем корень
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Заметим, что Сделаем замену
Тогда
уравнение примет вид:
ОДЗ уравнения:
Решим уравнение на ОДЗ.
Корнями данного уравнения являются и
Оба корня подходят
по ОДЗ.
Сделаем обратную замену:
Данное уравнение не имеет решений.