Тема 13. Решение уравнений

13.13 Уравнения на метод оценки

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#598

Решить уравнение

(cos 4x + cos2x )2 = 5 − |cos 3x|
Показать ответ и решение

Т.к. значение косинуса любого угла принадлежит промежутку [− 1; 1]  , то при всех значениях x  :

(cos 4x + cos2x )2 ≤ 4

5 − |cos 3x| ≥ 4

Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы

                                 ( [
{                                |   cos 4x + cos2x = 2
  (cos4x + cos 2x)2 = 4          {
                            ⇒    |   cos 4x + cos2x = − 2
  5 − |cos3x | = 4               ( cos 3x = ±1

Опять же, в силу ограниченности косинуса −  2 ≤ cos4x + cos 2x ≤ 2  , следовательно, уравнение cos4x + cos 2x = 2  равносильно системе {
  cos4x = 1
  cos2x = 1

 

Аналогично с уравнением cos 4x + cos2x =  − 2  . Тогда вся система примет вид:

( ⌊ {
|||     cos4x =  1               ( [
||| ||   cos2x =  1               |  x = πn
|{ | {                          |{
  |⌈   cos4x =  − 1        ⇔       x ∈ ∅       n, k ∈ ℤ   ⇔    x =  πn,n ∈ ℤ
|||                              ||( x = π-k
||||     cos2x =  − 1                   3
( cos3x  = ±1
Ответ:

πn, n ∈ ℤ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#15023

Решите уравнение   (     π)
sin 4x + 2 ⋅cosx= 1.

Показать ответ и решение

   (    π)
sin 4x+ 2  ⋅cosx = 1
   cos(4x)cosx= 1

Так как |cos4x|≤ 1,  |cosx|≤ 1,  имеем

pict
Ответ:

2πk,  k ∈ ℤ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16784

Решите уравнение cosx+ cos(5x)= 2.

Показать ответ и решение
                                   ({
cosx + cos(5x)= 2  ⇐|c=o=s=x|=≤=1,= |=c=os=(==5x=)=|≤=1⇒    cosx = 1      ⇔
                                   ( cos(5x)= 1
           (
       ⇔   { x= 2πn   , n∈ ℤ  ⇔   |x=-2πn,-n∈-ℤ-|
           ( 5x= 2πn              --------------|
Ответ:

2πn, n∈ ℤ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1896

Решить уравнение

2cos(0,1x ) = 2x + 2−x
Показать ответ и решение

Т.к. область значений косинуса — отрезок [− 1;1]  , то для любого x  имеем: − 2 ≤ 2cos(0,1x ) ≤ 2  .

 

Т.к.  x    − x    x   1--
2  + 2   =  2 +  2x  , то данное выражение представляет собой сумму двух положительных взаимно обратных чисел.
Такая сумма всегда ≥  2  (см. теорию “Рациональные уравнения” из раздела “Решение уравнений. Часть I”).

 

Таким образом, левая часть уравнения всегда ≤  2  , а правая ≥ 2  . Значит, два этих выражения могут быть равны тогда и только тогда, когда

(
{ 2cos(0,1x ) = 2          {                         {
                      ⇔      cos(0,1x) = 1      ⇔      x = 20πn, n ∈ ℤ      ⇔    x = 0
( 2x + 1--= 2                2x = 1                    x = 0
       2x
Ответ:

x ∈ {0 }

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2410

Решите уравнение

               (           )
5x2 + 52−x2 = 5  1 + sin πx
                        2
Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, разделив обе части равенства на 5  :

5x2−1 + 51−x2 = 1 + sin πx    ⇔    5x2−1 + --1-- = 1 + sin π-x
                       2                  5x2−1          2
Заметим, что левая часть представляет собой сумму двух взаимно обратных чисел:     1
t + t  , причем положительных. Как известно, сумма двух положительных взаимно обратных чисел не превосходит      2  , следовательно,
          1
5x2−1 + --2-- ≥  2
        5x −1
Заметим, что    π-
sin 2x ≤ 1  при всех x  , следовательно, правая часть
       π-
1 + sin 2 x ≤ 2
Таким образом, равенство может достигаться тогда и только тогда, когда обе части равенства равны 2  :
(           1
|{ 5x2−1 + --2-- = 2
          5x −1
|(        π-
  1 + sin2 x = 2

Сумма взаимно обратных чисел равна 2  тогда и только тогда, когда каждое из них равно 1  , следовательно:

(                      (
| 5x2−1 = 1            | x2 − 1 = 0                     (
{                      {                                { x =  ±1
|    π            ⇔    | π     π                   ⇔    (                        ⇔    x = 1.
( sin --x = 1           ( --x = --+ 2 πn,n ∈ ℤ             x =  1 + 4n,n ∈ ℤ
     2                   2     2
Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#16785

Решите уравнение

   4     4
sin x+ cosx = 1
Показать ответ и решение

Перепишем исходное уравнение в виде

   4     4      2     2
sin x+ cosx = sin x+ cos x

Так как |sinx|≤ 1  и |cosx|≤ 1,  то

  4      2      4      2         4      4     2      2
sin x ≤ sin x, cos x≤ cos x  ⇒   sin x +cos x≤ sin x +cos x

Таким образом, неравенство выше обращается в равенство только если

(                    (                          (
{ sin4x= sin2x        { sin2x(sin2x− 1)= 0         {sin x= 0;±1
                 ⇔                          ⇔                  ⇔
( cos4x = cos2x        ( cos2x(cos2x − 1) =0         (cosx= 0;±1
             (|⌊
             ||||⌈x = πn                    ⌊------------------|
             |{ x = π2 +πn                 ⌈x = π2 +πn         |
         ⇔   ||⌊x = π +πn     , n ∈ℤ  ⇔   |x = πn      , n ∈ℤ|
             ||||(⌈    2                     --------------------
               x = πn
Ответ:

 π
 2 + πn, πn, n∈ ℤ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#46564

а) Решите уравнение sin (4x + π) ⋅cosx =1.
        2

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [11π;13π].

Показать ответ и решение

а) По формулам приведения и по методу оценки имеем:

  (     π)                              |cos4x|≤1, |cosx|≤1
sin 4x + 2 ⋅cosx= 1  ⇔   cos(4x)cosx= 1  ⇐=============⇒
                            ⌊{cos4x= 1
                            || cosx =1
          ⇐|=c=os=4=x=|≤=1=,= |c=o=s=x|=≤=1⇒  ||{              ⇔
                            ⌈ cos4x= − 1
     ⌊ {                      cosx =⌊−{ 1
        4x= 2πn                      x = π2n
     ||  x =2πn                     || x =2πn
 ⇔   || {4x= (2n+ 1)π   , n∈ ℤ  ⇔   ||{x = π+ πn     , n ∈Z
     ⌈                             ⌈     4   2
        x =(2n+ 1)π                  x =(2n +1)π

Отсюда получаем x= 2πn,n ∈ℤ.

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [11π;13π]:

11π ≤ x≤ 13π  ⇒   11π ≤ 2πn ≤13π  ⇒   n= 6

Таким образом, отрезку [11π;13π]  принадлежит только корень x= 12π.

Ответ:

а) 2πn, n∈ ℤ

б) 12π

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!