Тема 13. Решение уравнений

13.10 Логарифмические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72970

а) Решите уравнение

                     2
2 log3(x− 2)+ log3(x− 4) =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π;4,5].

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ:

{x − 2 > 0
       2
 (x− 4) > 0

{
  x> 2
  x⁄= 4

Итоговая ОДЗ: x∈ (2;4)∪ (4;+ ∞).

Внесем 2 в степень логарифма и запишем сумму логарифмов, как логарифм от произведения подлогарифмических выражений:

        2           2
log3(x− 2) +log3(x − 4) = 0,

log3((x− 2)2(x− 4)2)= log31,

(x− 2)2(x− 4)2 = 1,

(x − 2)2(x − 4)2− 1 =0.

Применим формулу разности квадратов:

((x − 2)(x− 4)− 1)((x− 2)(x− 4)+ 1)= 0,

(x2− 6x+ 8− 1)(x2− 6x+ 8+ 1)= 0,

(x2− 6x+ 7)(x2− 6x+ 9)= 0,

(x2− 6x+ 7)(x− 3)2 = 0.

Получаем два случая:
1) x2 − 6x +7 = 0  и 2) (x− 3)2 = 0.

Корнями первого уравнения являются числа        √ -
x1 = 3+  2  и
       √ -
x2 =3 −  2.  Корнем второго уравнения является число x3 = 3.

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ.

       √ -
x1 = 3+  2> 4,  так как √-
 2 >1,  следовательно, x1 ∈ ОДЗ.

x = 3− √2.
 2  Сравним 3 − √2  и 2 :

   √-
3−  2 ∨2,

 √ -
−  2∨ −1,

 √ -   √ -
−  2< −  1,

   √-
3−  2< 2,

поэтому x2  не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.

x = 3
 3  очевидно входит в первый интервал, определяющий ОДЗ.

б) Отберем корни на промежутке [π;4,5].

Мы знаем, что 3 < π < 4,  тогда x3 = 3 < π,  поэтому x3 ∕∈ [π;4,5].

Корень x1 = 3+ √2> 4 >π  , так как √2> 1.

Тогда сравним x2  и 4,5:

3+ √2-∨4,5,

√2∨ 1,5,

2< 2,25,

поэтому    √ -
3+   2< 4,5,  следовательно,    √-
3+  2 ∈[π;4,5].

Ответ:

а)             √-
x = 3;x = 3+  2;

б)       √ -
x =3 +  2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!