Тема 13. Решение уравнений

13.10 Логарифмические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#18462

a) Решите уравнение      2
36log18 x + 4log14 x − 5 = 0  .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,5;5].

Показать ответ и решение

a)

                                                                (         )    (         )
     2                            2                                1       2       1
36log18 x + 4log14 x − 5 = 0 ⇔  36log2−3 x + 4log2−2 x − 5 = 0 ⇔  36  −3 log2x   + 4  − 2 log2x − 5 = 0

Пусть t = log2x  , тогда, сделав замену, получим

                                                                                     ⌊      √--
   (  1     )2    (  1     )                  t2                    2                  t = 1+-421
36  − 3 log2x  + 4 − 2 log2x − 5 = 0  ⇔   36⋅ 9-− 2t− 5 = 0  ⇔   4t − 2t− 5 = 0  ⇔   ⌈    1−-√21
                                                                                      t =   4

Сделаем обратую замену:

⌊     √ --        ⌊          √--         ⌊       √--
 t = 1+4-21          log2x = 1+421          x = 21+421
⌈   1−√21-    ⇔   ⌈        1−√21     ⇔   ⌈     1−√21-
 t =  4             log2x =   4            x = 2  4

б) Проверим принадлежит ли каждый из корней отрезку [0,5;5]  . Заметим, что 0,5 = 2− 1  , а 5 > 4 = 22  . Тогда если         √--
− 1 ≤ 1+--21≤ 2
        4  , то корень       √--
x = 21+421   принадлежит отрезку [0,5;5]  . Неравенство         √--
− 1 ≤ 1+-21
        4  выполнено, так как    1+√21
0 ≤  4  . Проверим неравенство 1+√21
  4   ≤ 2  :

                                               √ --                       √--
√ --  √ --             √ --                 1+---21   6                1+--21-
  21 <  25 = 5 ⇒    1+   21 < 1 +5 = 6 ⇒       4   <  4 = 1,5 < 2 ⇒      4    ≤ 2

Следовательно,    √--
21+421∈ [0,5;5]  .

Если − 1 ≤ 1−√21≤  2
        4  , то корень        --
x = 21−√421-   принадлежит отрезку [0,5;5]  . Неравенство 1−√21-≤ 2
  4  выполнено, так как 1−√21
  4  ≤ 0  . Проверим неравенство       1−√21
− 1 ≤   4  :

                                                                  √ --           √ --
√21-< √25-=  5  ⇒   − 5 < − √21  ⇒   1− 5 < 1− √21-  ⇒   − 4 < 1−---21= − 1 < 1−---21-
                                                           4      4              4

Следовательно,    √--
21−421∈ [0,5;5]  .

Ответ:

a)  1+√21   1−√21-
2 4  ; 2 4

б)    √--    √--
2 1+421; 2 1−421

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#18553

а) Решите уравнение 16log29x +4 log1x − 3 = 0.
            3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,5;5].

Показать ответ и решение

a) Найдем ОДЗ: x >0.

pict

Пусть t= log3x,  тогда, сделав замену, получим

pict

Сделаем обратую замену:

pict

б) Проверим принадлежит ли каждый из корней отрезку [0,5;5].  Сравним  √ -
3  3  и 5:

pict

Получаем  √ -
3  3> 5,  следовательно, корень  √-
3 3  вне указанного промежутка. Далее сравним √3
3-  и 1
2 :

pict

Далее, если √-
-33 <5,  то это число будет в промежутке. Заметим, что √-
 3 <2,  тогда √-
33< 23 < 5.  Тогда корень √ -
-33  входит в указанный промежуток.

Ответ:

а) √-
33;   √-
3 3

б) √-
-33

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2437

а) Решите уравнение log2x2 − 16log (2x)+ 31= 0.
  2         2

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку [3;6].

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ уравнения: x2 > 0  и 2x > 0,  то есть x> 0.

По свойствам логарифма имеем:

      log2(2x) = 1+ log2x
log22(x2)= (log2x2)2 = (2log2|x|)2

Последнее выражение равно 4(log2x)2,  так как x> 0.  Следовательно, после замены log2x = t  уравнение примет вид

4t2− 16(1 +t)+ 31= 0  ⇔   4t2− 16t+ 15= 0
     2                        2
    4t− 16t+ 16= 1  ⇔   4(t− 2) = 1

Отсюда получаем

               ⌊
                t= 5
t− 2 = ±1 ⇒    ||⌈   2
       2        t= 3
                   2

Сделаем обратную замену:

⌊       5       ⌊    5     1    √-
|log2x = 2        x= 22 = 22+2 = 4 2
|⌈       3   ⇔   ⌈    3   √ -
 log2x = 2        x= 22 = 2 2

Заметим, что оба корня подходят по ОДЗ.

б) Оценим число √2-  и получившиеся корни:

     √ -                 √-       √-
1,4 <  2< 1,5  ⇒   5,6< 4 2 <6,  2 2 <3

Следовательно, в отрезок [3;6]  входит только корень x= 4√2.

Ответ:

а) 2√2;4√2

б) 4√2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#21451

a) Решите уравнение   3       2
logx 10 − logx10− 6logx10 = 0.

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [0;2].

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену t= logx10.  Тогда получим

                                       ⌊
                                       |t= 0
t3 − t2− 6t= 0 ⇔   t(t− 3)(t+ 2)= 0 ⇔   ||t= 3
                                       ⌈
                                        t= −2

Вернемся к исходной переменной, учитывая ОДЗ логарифма:

                   ( ⌊ 0
⌊                  ||||| |x = 10
 logx 10= 0         |||| ||⌈x3 = 10
|||log 10= 3     ⇔   {  x−2 = 10
⌈  x               |||
 logx 10= −2        ||||| x> 0
                   |( x⁄= 1
 (⌊    √--
 ||| x = 310
 |||{⌈     √ ---         ⌊    3√--
   x = ±  0,1      ⇒   ⌈x = √10-
 ||||x > 0                x =  0,1
 ||(x ⁄= 1

б) Проверим, принадлежат ли полученные корни отрезку [0;2].  Заметим, что

    13  3√--    13
2= 8 ,  10= 10

Тогда имеем:

 1     1         √ --
83 < 103  ⇒   2<  310

Значит, 3√--
 10∈∕[0;2].

Рассмотрим второй корень. Тогда имеем:

   ∘ ---
0<   0,1< 1 <2

Значит, √---
 0,1 ∈[0;2].

Ответ:

а) {3√-- √---}
  10; 0,1

б) √ ---
  0,1

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#40111

а) Решите уравнение (lgx)2− 6lgx= lgx2+ 9.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;1].

Показать ответ и решение

а) ОДЗ уравнения:

(
{x > 0
( 2       ⇔   x > 0
 x > 0

Нв ОДЗ с помощью замены lgx =t  уравнение принимает вид

2                  2
t − 8t= 9 ⇔   (t− 4) = 25   ⇔   t= 4± 5  ⇔   t= −1;9

Сделаем обратную замену:

⌊
⌈ lgx = −1  ⇔   x = 1-;109
  lgx = 9           10

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

б) Отрезку [0;1]  принадлежит корень     1-
x = 10.

Ответ:

а) x ∈ {0,1;109}

б) x ∈{0,1}

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#40112

а) Решите уравнение

lg−1x+ 4lgx2+ 9= 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [10√0,1;√0,1].

Показать ответ и решение

а) ОДЗ уравнения

(
{x > 0
( 2       ⇔   x > 0
 x > 0

Сделаем замену t =lgx  и на ОДЗ уравнение примет вид

                   2
1+ 8t+ 9= 0  ⇔   8t-+-9t+1-= 0  ⇔   t= −1;− 1
t                     t                     8

Сделаем обратную замену:

⌊
  lgx = −1
|⌈           ⇔   x= -1;-8√1-
  lgx = − 18         10   10

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

б) Отрезку [1√00,1;√0,1] удовлетворяет только корень x= √80,-1.

Ответ:

а) x ∈ {8√0,1;0,1}

б)     √8---
x ∈{  0,1}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#40114

а) Решите уравнение

log x = ---15----
   28   log21x6 − 1

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log6 5;log5 6].

Показать ответ и решение

а) Ограничение x > 0  (аргументы логарифмов положительны).

Преобразуем, сделав замену t =log2x  :

             -------15------
log2x − log28= log2x− log216− 1 ⇒
      -15-      t2−-8t
t− 3 = t− 5 ⇔    t− 5 = 0  ⇔   t= 0;8

Сделаем обратную замену:

⌊
⌈log2x = 0
 log x = 8  ⇔   x =1;256
   2

Оба корня удовлетворяют ограничению.

б) Отрезку [log65;log56]  удовлетворяет корень x= 1  , так как log65< 1  , а 1 <log56< 2.

Ответ:

а) x ∈ {1;256}

б) x ∈{1}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#40115

а) Решите уравнение

log√-2 +8 log  x2+ 9= 0
   x       16

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [e−2;e−1].

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

(
||√x > 0        (
|{√ -           { x> 0
||  x⁄= 1    ⇔   ( x⁄= 1
|(x2 > 0

Преобразуем на ОДЗ:

2log 2 +8 ⋅ 2log x + 9= 0 ⇔   --2--+ 4log x + 9= 0
   x      4  2              log2 x     2

Сделаем замену t =log2x  :

2                4t2+ 9t+2                  1
t + 4t+ 9= 0 ⇔   -----t----= 0  ⇔   t= −2;− 4

Сделаем обратную замену:

⌊ log x = −2
|⌈   2         ⇔   x= 1;√1-
  log2x = − 14         4  42

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

б) На отрезке [−2  −1]
e  ;e лежит    1
x= 4  , так как  −2     −2   −2  1    −1
e  < 2,5  < 2  = 4 < e  , а  1   1   −1
4√2-> e = e .

Ответ:

а)     {     }
x ∈  1;√1-
     4  42

б)    {  }
x ∈  1
     4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#40116

а) Решите уравнение

3+ 2log  3 = 2log (x− 1)
      x−1       3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [√-    ]
 -3;√4- .
  4   3

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

(                (
{x − 1 > 0       {x > 1
(            ⇔   (
 x − 1 ⁄= 1        x ⁄= 2

Сделаем замену t =log3(x − 1)  , тогда уравнение примет вид

                2
3+ 2 =2t  ⇔   2t-−-3t−-2= 0  ⇔   t= − 1;2
   t               t                  2

Сделаем обратную замену:

⌊
 log3(x− 1)= − 12
|⌈                ⇔   x= 1 + 1√-;10
 log3(x− 1)= 2                3

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

б) На отрезок [√ -   ]
 --3; 4√-
  4   3 попадает корень x= 1+ √1-
        3  , так как

√-
-3-        -1-  √ -  -1-  -4-
 4 < 1< 1+ √3 <   3+ √3 = √3-
Ответ:

а)     {        }
x ∈  1+ √1-;10
          3

б)    {      }
x ∈  1+ √1-
         3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#40117

а) Решите уравнение

log2x − 5 log x+ 87= (∘81-−-x2)2+ x2
  3       3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [10;30].

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

(
{ x> 0
(      2       ⇔   0< x ≤9
  81− x ≥ 0

На ОДЗ уравнение преобразуется в

  2                    2   2        2
log3x − 5 log3x+ 87= 81− x + x  ⇔   log3x − 5log3x +6 = 0

Сделаем замену: t= log3x

t2− 5t+ 6= 0  ⇔   t= 2;3

Сделаем обратную замену:

⌊log x= 2
⌈   3       ⇔   x= 9;27
 log3x= 3

Корень x = 27  не подходит под ОДЗ.

б) Корень x= 9  не лежит в отрезке [10;30].

Ответ:

а) x ∈ {9}

б) x ∈∅

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#40118

а) Решите уравнение

log2x − 5 log x+ 31= (∘25-−-x2)2+ x2
  2       2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;4tg1].

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

(
{ x> 0
(      2       ⇔   0< x ≤5
  25− x ≥ 0

На ОДЗ уравнение преобразуется в

  2                    2   2        2
log2x − 5 log2x+ 31= 25− x + x  ⇔   log2x − 5log2x +6 = 0

Сделаем замену: t= log2x

t2− 5t+ 6= 0  ⇔   t= 2;3

Сделаем обратную замену:

⌊ log x = 2
⌈   2       ⇔   x= 4;8
  log2x = 3

Корень x = 8  не подходит под ОДЗ.

б) Корень x= 4  лежит в отрезке [0;4tg1],  так как tg 1> tg π-= 1.
       4

Ответ:

а) x ∈ {4}

б) x ∈{4}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#40221

а) Решите уравнение

log2 4x+ log  x2= 8
   0,5      2 8

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1- 1-]
 256;64 .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

(
|{ 4x> 0
   2        ⇔   x> 0
|( x- > 0
   8

Преобразуем уравнение на ОДЗ:

(− (log24+ log2 x))2+ 2log2x − log28= 8  ⇔
         2
(log2x+ 2) + 2log2x− 11= 0

Сделаем замену t =log2x  :

t2+6t− 7 =0   ⇔   t= −7;1

Сделаем обратную замену:

⌊                ⌊x = 1--
⌈log2x = −7   ⇔   |⌈    128
 log2x = 1         x =2

Оба корня подходят под ОДЗ.

б) На отрезке [-1- 1-]
 256;64 лежит корень     -1-
x = 128.

Ответ:

а)     {     }
x ∈  -1-;2
     128

б)    {    }
x ∈  -1-
     128

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#40223

а) Решите уравнение ∘log-x+ 1= log x− ∘log--x.
    2         2       16

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 1   ]
 16;16 .

Показать ответ и решение

а) Выпишем ограничения логарифмов: x > 0.

Так как         1
log16x = 4 log2x,  то после замены    ∘ -----
t=   log2x  имеем:

       2  1         2                    1
t+ 1= t − 2t  ⇔   2t − 3t− 2 = 0 ⇔   t= −2;2

Сделаем обратную замену:

⌊ ∘-----    1
⌈  log2x= − 2
  ∘log-x= 2    ⇔   log2x= 4  ⇔   x =16
      2

Полученное значение переменной удовлетворяет ограничениям.

б) Корень x= 16  лежит в отрезке [ 1   ]
  16;16 .

Ответ:

а) x ∈ {16}

б) x ∈{16}

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#42156

а) Решите уравнение log2(4x2)+3 log  (8x)= 1.
  2          0,5

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,15;1,5].

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ: x >0.  Решим на ОДЗ.

(log 4+ 2log x)2− 3(log 8+ log x) = 1
   2      2         2     2

Сделаем замену t =log x.
      2  Тогда

(2t+ 2)2− 3(t+ 3)− 1= 0  ⇔
 2
4t+ 5t− 6= 0  ⇔
      3
t= −2;4  ⇒
⌊
  log x= − 2
||   2        ⇔
⌈ log x= 3
    2   4
⌊ x= 1
|⌈    4
  x= 4√8

Оба корня принадлежат ОДЗ.

б) Поскольку       1
0,15< 4 < 1,5,  то первый корень принадлежит отрезку [0,15;1,5].  Сравним второй корень с правым концом этого отрезка:

      4√8∨ 3
          2
       8∨ 81
          16
8⋅16> 81

Тогда второй корень не принадлежит отрезку [0,15;1,5].

Ответ:

а) 0,25; 4√8

б) 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#72968

Решите уравнение

log9(x +1)− log9(1− x)= log9(2x+ 3).
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(| x+ 1> 0
{ 1− x> 0
|(
  2x+ 3> 0

(
|{x > −1
|(x < 1
 x > −1,5

Итоговая ОДЗ: x∈ (−1;1)

Так как в ОДЗ мы определили, что x= 1  не входит в область допустимых значений, т.к x  строго меньше 1, то мы можем преобразовать левую часть уравнения, не боясь потерять корни:

log9 x+-1= log9(2x+ 3),
    1− x

x-+1-
1 − x = 2x+ 3,

x-+-1+-(2x-+3)(x−-1)= 0,
       1 − x

        2
x-+1-+-2x--+3x-− 2x-− 3 = 0.
        1 − x

С учетом, что x⁄= 1,  знаменатель можно отбросить:

2x2 +2x − 2 = 0,

x2 +x − 1 = 0.

Посчитаем дискриминант: D = 1+ 4= 5,  √ -- √ -
  D =  5,
         √-
x1 = −1+--5-,
        2
     −1− √5
x2 = ---2---.

Для определения принадлежности корней к ОДЗ сравним:

1.
x1  и 1:

−1 + √5
---2--- ∨1,

     √-
−1 +  5∨ 2,

√ -
  5∨ 3,

5< 9,  откуда 0< −1+√5 < 1,
     2  следовательно, x
 1  входит в ОДЗ и является корнем нашего уравнения.

2.
x2  и − 1:
     √-
−-1−--5 ∨− 1,
   2

− 1− √5 ∨− 2,

 √ -
−  5∨ −1,

− √5 < −√1,  откуда −1−√5 < −1,
  2  следовательно, x
 2  не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.

Ответ:

    √-
    -5-− 1
x =   2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#72969

Решите уравнение

          1        3
lg(5− x)− 3 lg(35− x) =0.
Показать ответ и решение

Внесем 13  внутрь логарифма и перенесем второй логарифм в правую часть:

lg(5− x)= lg(35− x3)13,

           3∘ -----3--
lg(5− x)= lg  (35 − x ),

       3∘ -----3--
5 − x =  (35− x ),

     3       3
(5 − x)= 35− x ,

             2   3       3
125− 75x+ 15x − x = 35− x ,

   2
15x − 75x+ 90= 0,

 2
x − 5x+ 6= 0.

По теореме Виета корнями являются: x1 =2  и x2 = 3.

Так изначально мы не накладывали никаких условий, то необходимо провести проверку полученных корней:

1.
Подставим x1 = 2  в исходное уравнение:
lg(5− 2)− 1lg(35− 23) =0,
         3

lg3− lg(35 − 8)13 = 0,

lg3 − lg3= 0.

0= 0.

Получили верное числовое равенство, следовательно, x = 2
 1  является корнем нашего уравнения.

2.
Подставим x2 = 3  в исходное уравнение:
         1        3
lg(5− 3)− 3 lg(35− 3) =0,

              13
lg 2− lg(35− 27) = 0,

lg2 − lg2= 0,

0= 0.

Получили верное числовое равенство, следовательно, x = 3
 2  является корнем нашего уравнения

Ответ:

x = 2;x = 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#72970

а) Решите уравнение

                     2
2 log3(x− 2)+ log3(x− 4) =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π;4,5].

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ:

{x − 2 > 0
       2
 (x− 4) > 0

{
  x> 2
  x⁄= 4

Итоговая ОДЗ: x∈ (2;4)∪ (4;+ ∞).

Внесем 2 в степень логарифма и запишем сумму логарифмов, как логарифм от произведения подлогарифмических выражений:

        2           2
log3(x− 2) +log3(x − 4) = 0,

log3((x− 2)2(x− 4)2)= log31,

(x− 2)2(x− 4)2 = 1,

(x − 2)2(x − 4)2− 1 =0.

Применим формулу разности квадратов:

((x − 2)(x− 4)− 1)((x− 2)(x− 4)+ 1)= 0,

(x2− 6x+ 8− 1)(x2− 6x+ 8+ 1)= 0,

(x2− 6x+ 7)(x2− 6x+ 9)= 0,

(x2− 6x+ 7)(x− 3)2 = 0.

Получаем два случая:
1) x2 − 6x +7 = 0  и 2) (x− 3)2 = 0.

Корнями первого уравнения являются числа        √ -
x1 = 3+  2  и
       √ -
x2 =3 −  2.  Корнем второго уравнения является число x3 = 3.

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ.

       √ -
x1 = 3+  2> 4,  так как √-
 2 >1,  следовательно, x1 ∈ ОДЗ.

x = 3− √2.
 2  Сравним 3 − √2  и 2 :

   √-
3−  2 ∨2,

 √ -
−  2∨ −1,

 √ -   √ -
−  2< −  1,

   √-
3−  2< 2,

поэтому x2  не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.

x = 3
 3  очевидно входит в первый интервал, определяющий ОДЗ.

б) Отберем корни на промежутке [π;4,5].

Мы знаем, что 3 < π < 4,  тогда x3 = 3 < π,  поэтому x3 ∕∈ [π;4,5].

Корень x1 = 3+ √2> 4 >π  , так как √2> 1.

Тогда сравним x2  и 4,5:

3+ √2-∨4,5,

√2∨ 1,5,

2< 2,25,

поэтому    √ -
3+   2< 4,5,  следовательно,    √-
3+  2 ∈[π;4,5].

Ответ:

а)             √-
x = 3;x = 3+  2;

б)       √ -
x =3 +  2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#72971

а) Решите уравнение

     x                    x
log3(9 + 9)= x+ log3 (28− 2⋅3 ).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− √2;√2].

Показать ответ и решение

а) Воспоьзуемся формулами для логарифмов:

     x          x             x
log3(9 + 9)= log33 + log3(28− 2⋅3 ),

     x           x       x
log3(9 + 9)= log3(3 (28 − 2 ⋅3)),

 2x         x     2x
3  + 9= 28⋅3 − 2⋅3  ,

   2x      x
3⋅3  − 28⋅3 + 9= 0.

Замена t= 3x :

3t2− 28t+9 = 0,

3t2− 28t+9 = 0,

решая квадратное уравнение, находим его корни: t1 = 13  и t2 = 9.

Обратная замена:

1)     1
t1 = 3,   x   −1
3  =3  ,  x = −1;

2) t2 = 9,   x   2
3 = 3 ,  x =2.

Проверим полученные корни, подставив их в начальное уравнение:

При x= − 1:

     − 1                     −1
log3(9  +9) =− 1+ log3(28− 2⋅3  ),

    (    )
log3 1 + 9 = log3 1+ log3(28− 2⋅3−1),
     9           3

    82      1      (     2)
log3 9-= log33 + log3 28 − 3 ,

   82      1      82
log3 9 = log33 + log3 3 ,

           (     )
log3 82 =log3 1 ⋅ 82 ,
    9       3  3

log3 82= log3 82,
    9       9

получили верное числовое равенство, следовательно, x = −1  является корнем уравнения.

При x= 2 :

log3(92+ 9)= 2+ log3(28− 2⋅32),

log (81+ 9) =log 9+ log (28− 18),
  3           3     3

log 90= log 9 +log 10,
   3      3      3

log390= log3(9 ⋅10),

log390= log390,

получили верное числовое равенство, следовательно, x = 2  является корнем уравнения.

б) Отберем корни на промежутке   √- √-
[−  2; 2]:

          √- √-
x= − 1∈ [−  2; 2],  так как   √-    √-      √-
−  2< −  1 <0 <  2.

        √ -√ -
x= 2 ∕∈[−  2; 2],  так как    √ -
2 >  2.

Ответ:

а) x = −1;x= 2;

б) x =− 1

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!