13.10 Логарифмические: сведение к квадратному или кубическому уравнению
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
a)
Пусть , тогда, сделав замену, получим
Сделаем обратую замену:
б) Проверим принадлежит ли каждый из корней отрезку . Заметим, что
, а
. Тогда
если
, то корень
принадлежит отрезку
. Неравенство
выполнено,
так как
. Проверим неравенство
:
Следовательно, .
Если , то корень
принадлежит отрезку
. Неравенство
выполнено,
так как
. Проверим неравенство
:
Следовательно, .
a)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
a) Найдем ОДЗ:
Пусть тогда, сделав замену, получим
Сделаем обратую замену:
б) Проверим принадлежит ли каждый из корней отрезку Сравним
и 5:
Получаем следовательно, корень
вне указанного промежутка. Далее сравним
и
Далее, если то это число будет в промежутке. Заметим, что
тогда
Тогда корень
входит в
указанный промежуток.
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Комментарий.
Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку
а) Найдем ОДЗ уравнения: и
то есть
По свойствам логарифма имеем:
Последнее выражение равно так как
Следовательно, после замены
уравнение примет
вид
Отсюда получаем
Сделаем обратную замену:
Заметим, что оба корня подходят по ОДЗ.
б) Оценим число и получившиеся корни:
Следовательно, в отрезок входит только корень
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Комментарий.
Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку
а) Сделаем замену Тогда получим
Вернемся к исходной переменной, учитывая ОДЗ логарифма:
б) Проверим, принадлежат ли полученные корни отрезку Заметим, что
Тогда имеем:
Значит,
Рассмотрим второй корень. Тогда имеем:
Значит,
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ уравнения:
Нв ОДЗ с помощью замены уравнение принимает вид
Сделаем обратную замену:
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
б) Отрезку принадлежит корень
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Комментарий.
Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ уравнения
Сделаем замену и на ОДЗ уравнение примет вид
Сделаем обратную замену:
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
б) Отрезку удовлетворяет только корень
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Ограничение (аргументы логарифмов положительны).
Преобразуем, сделав замену :
Сделаем обратную замену:
Оба корня удовлетворяют ограничению.
б) Отрезку удовлетворяет корень
, так как
, а
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
Преобразуем на ОДЗ:
Сделаем замену :
Сделаем обратную замену:
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
б) На отрезке лежит
, так как
,
а
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
Сделаем замену , тогда уравнение примет вид
Сделаем обратную замену:
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
б) На отрезок попадает корень
, так как
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
На ОДЗ уравнение преобразуется в
Сделаем замену:
Сделаем обратную замену:
Корень не подходит под ОДЗ.
б) Корень не лежит в отрезке
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
На ОДЗ уравнение преобразуется в
Сделаем замену:
Сделаем обратную замену:
Корень не подходит под ОДЗ.
б) Корень лежит в отрезке
так как
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
Преобразуем уравнение на ОДЗ:
Сделаем замену :
Сделаем обратную замену:
Оба корня подходят под ОДЗ.
б) На отрезке лежит корень
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Выпишем ограничения логарифмов:
Так как то после замены
имеем:
Сделаем обратную замену:
Полученное значение переменной удовлетворяет ограничениям.
б) Корень лежит в отрезке
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Комментарий.
Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Найдем ОДЗ: Решим на ОДЗ.
Сделаем замену Тогда
Оба корня принадлежат ОДЗ.
б) Поскольку то первый корень принадлежит отрезку
Сравним второй корень с правым концом этого отрезка:
Тогда второй корень не принадлежит отрезку
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Найдем ОДЗ:
|
|
Итоговая ОДЗ:
Так как в ОДЗ мы определили, что не входит в область допустимых
значений, т.к
строго меньше 1, то мы можем преобразовать левую часть
уравнения, не боясь потерять корни:
С учетом, что знаменатель можно отбросить:
Посчитаем дискриминант:
Для определения принадлежности корней к ОДЗ сравним:
- 1.
и
откуда
следовательно,
входит в ОДЗ и является корнем нашего уравнения.
- 2.
и
откуда
следовательно,
не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Внесем внутрь логарифма и перенесем второй логарифм в правую
часть:
По теореме Виета корнями являются: и
Так изначально мы не накладывали никаких условий, то необходимо провести проверку полученных корней:
- 1.
- Подставим
в исходное уравнение:
Получили верное числовое равенство, следовательно,
является корнем нашего уравнения.
- 2.
- Подставим
в исходное уравнение:
Получили верное числовое равенство, следовательно,
является корнем нашего уравнения
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Найдем ОДЗ:
|
|
Итоговая ОДЗ:
Внесем 2 в степень логарифма и запишем сумму логарифмов, как логарифм от произведения подлогарифмических выражений:
Применим формулу разности квадратов:
Получаем два случая:
1) и 2)
Корнями первого уравнения являются числа и
Корнем второго уравнения является число
Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ.
так как
следовательно,
ОДЗ.
Сравним
и
поэтому не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.
очевидно входит в первый интервал, определяющий ОДЗ.
б) Отберем корни на промежутке
Мы знаем, что тогда
поэтому
Корень , так как
Тогда сравним и
поэтому следовательно,
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Воспоьзуемся формулами для логарифмов:
Замена
решая квадратное уравнение, находим его корни: и
Обратная замена:
1)
2)
Проверим полученные корни, подставив их в начальное уравнение:
При
получили верное числовое равенство, следовательно, является корнем
уравнения.
При
получили верное числовое равенство, следовательно, является корнем
уравнения.
б) Отберем корни на промежутке
так как
так как
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |