Тема 13. Решение уравнений

13.11 Тригоном./показат./логарифм.: иррациональные или модульные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#40215

а) Решите уравнение ∘ ---------
  13 + -4---= 2log (3√x).
      logx3      3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;100sin1].

Показать ответ и решение

а) Ограничения:

(
|| x> 0          (
|{               { x >0
|| x⁄= 1      ⇔   ( x ⁄=1
|( 3√x> 0

Преобразуем уравнение с учетом ограничений:

  ----------
∘ 13+ 4log3x =2 (log33+ log3√x-)
    ∘----------
     13 +4 log3x= 2 +log3x

Сделаем замену t =log3x:

pict

Сделаем обратную замену:

log3x =3   ⇔   x= 27

Корень удовлетворяет ограничениям.

б) Корень x= 27  лежит в отрезке [0;100sin 1],  так как                π       1
100sin 1> 100⋅sin-6 = 100⋅2 = 50.

Ответ:

а) 27

б) 27

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#40216

а) Решите уравнение

∘----------
       11         (  2       −0,1)
 25 − logx10-= 10⋅lg 105 ⋅(0,1x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;2].

Показать ответ и решение

а) Ограничения:

(
||x > 0                   (
|{                        {x > 0
||x ⁄= 1               ⇔   (x ⁄= 1
|(1025 ⋅(0,1x)−0,1 > 0

Преобразуем правую часть:

      (             )
  10⋅lg  10 25 ⋅(0,1x)−0,1 =

    (2    ( x )− 110)
=10  5 + lg  10-     =

    (2     − 110-     − 110)
=10  5 + lgx    − lg10    =
    (                 )
=10  2 − 1-lgx+ -1lg10  =
     5   10     10

=5 − lgx

Сделаем замену t =lgx  и уравнение примет вид

                                                (⌊
                   (                            |||  t= −1
√25−-11t = 5−t ⇔   { 25− 11t= 25 − 10t+ t2   ⇔   {⌈          ⇔   t =− 1;0
                   ( 5− t≥ 0                    |||  t= 0
                                                (t≤ 5

Сделаем обратную замену

⌊
 lgx= − 1
⌈          ⇔   x =0,1;1
 lgx= 0

Корень x = 1  не подходит под ограничения.

б) Корень x= 0,1  удовлетворяет отрезку [0;2].

Ответ:

а) x ∈ {0,1}

б) x ∈{0,1}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#40217

а) Решите уравнение

∘ ---------      (             )
      16           −0,125  (5)0,25
  1− logx5-= 8log5  5     ⋅ x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;1].

Показать ответ и решение

а) Ограничения:

(
|| x> 0                    (
||{                         { x> 0
| x⁄= 1  (  )          ⇔   (
|||( 5−0,125⋅  5 0,25 > 0         x⁄= 1
          x

Преобразуем правую часть:

      (       (  )0,25)
 8 log5 5−0,125⋅ 5      =
               x
   (     1       1      1)
=8  log55−8 +log554 − log5x4 =
   (              )
=8  − 1 + 1− 1 log x =
     8   4  4   5

=1 − 2 log5x

Сделаем замену t =log5x  и уравнение примет вид

                                              (⌊
                   (                          ||  t= −3
√------            { 1− 16t= 1− 4t+4t2        |{⌈
 1− 16t = 1− 2t ⇔   ( 1− 2t≥ 0             ⇔   ||  t= 0      ⇔   t= −3;0
                                              |(t ≤0,5

Сделаем обратную замену

⌊
⌈log5x = −3   ⇔   x= -1-;1
 log5x = 0           125

Корень x = 1  не подходит под ограничения.

б) Корень x= 1125  удовлетворяет отрезку [0;1].

Ответ:

а)   {   }
x  -1-
   125

б)  {    }
x  -1-
   125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#40218

а) Решите уравнение ∘ --------
  log √2x-⋅log x= −1.
    x        4

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 1;0].

Показать ответ и решение

а) Выпишем ограничения на значения переменной:

(|| x> 0
||||               (
{ x⁄= 1      ⇔   { x >0
||| √2x> 0        ( x ⁄=1
|||(
  2x≥ 0

При этих ограничениях уравнение можно преобразовать к виду:

                                  ∘ -------------
∘ 1--------------1                  1(   1     )
  2 (logx2 +logxx) ⋅2 log2x = −1 ⇔    2  log-x-+ 1  ⋅log2x= − 2
                                         2

Сделаем замену t =log2x,  t⁄= 0:

∘ --(----)-
  1  1 +1  = − 2
  2  t         t

Сделаем еще одну замену p = 1
    t  :

                     (
∘ --------           |{ 1(p+ 1)= 4p2
  1 (p +1) = −2p  ⇔     2              ⇔
  2                  |( −2p≥ 0
 (       √--
 |{p = 1±--33-           1− √33
 |(      16      ⇔   p = --16---
  p ≤0

Тогда сделаем обратную замену:

                        -16--
log2x = --16√---  ⇔   x= 21−√33
       1−  33

Найденный корень удовлетворяет ограничениям.

б) Корень     11−6√33-
x= 2   не лежит в отрезке [− 1;0],  так как является положительным числом.

Ответ:

а) x ∈ {21−16√33}

б) x ∈∅

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#40219

а) Решите уравнение

|3 log x4+ 7log 2 ⋅log x2|= − log 49
    x       7     2         x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [    ]
 √1-;1 .
  7

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ:

(
{ x> 0
(
  x⁄= 1

Преобразуем на ОДЗ:

|3⋅4logxx+ 7⋅2log7x|= −--2--
                      log7 x

Сделаем замену t =log x
      7  :

                   ( ⌊         1
                   |||| |6+ 7t= − t
            2      |{ |⌈
|12+ 14t|= − t  ⇔   ||  6+ 7t= 1      ⇔
                   |||(  2      t
                     −t ≥( 0⌊        √ -
 (⌊  2                  ||      −3±---2
 |||{⌈ 7t+ 6t+ 1= 0        |||{ || t=    7                   √-
    7t2+ 6t− 1= 0    ⇔     ⌈       1       ⇔   t= −-3±--2;− 1.
 |||(                      ||||   t=− 1;7                 7
  t< 0                  |( t< 0

Сделаем обратную замену:

⌊       −-3+-√2       ⌊     −3+√2-
||log7x=    7          |x =7  7
||       − 3− √2       |||     −3−√2-
||log7x= ---7---   ⇔   ||x =7  7
|⌈                     ⌈    1
 log7x= −1             x = 7

б) Так как    √ -
1 <  2< 2  , то

          √ -                   √ -               − 3+√2
− 2 < −3-+--2 <− 1  ⇒   0 > −3+---2> − 1  ⇒   1 >7--7-- > 1√--
  7      7       7             7       2                   7
  5   −3 − √2    4       −3− √2     1       −3−√2   1
− 7 < ---7--- <− 7  ⇒    ---7---< − 2  ⇒   7  7  < √--
                                                     7
   √ -      1   -1-
7>   7  ⇒   7 < √7

Таким образом, только корень         √-
x = 7−3+7-2   лежит в отрезке [     ]
  1√-;1 .
   7

Ответ:

а)     {    √-    √-  }
x ∈  7−3+7-2;7 −3−7-2; 1
                  7

б)    {    √-}
x ∈  7−3+72-

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#40220

а) Решите уравнение

              ∘ -------------------------
                  2             (   x  )
logx(3x − 2)− 2 =  logx(3x− 2)+ 4logx  3x−-2

б) Найдите все решения этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;0,75].

Показать ответ и решение

а) Ограничения логарифмов:

(
|| x> 0            (
|{                 { x> 23
|| x⁄= 1        ⇔   ( x⁄= 1
|( 3x− 2> 0

Сделаем замену t =log (3x − 2)
      x  :

      ∘ ---------           ∘ ------
t− 2=   t2+ 4− 4t  ⇔   t− 2=   (t− 2)2  ⇔   t− 2= |t− 2|

При t− 2≥ 0  имеем |t− 2|= t− 2  , следовательно, все t≥2  подходят.

При t− 2< 0  имеем |t− 2|= −(t− 2)  , следовательно, уравнение примет вид t− 2= − (t− 2)  ⇔   t= 2  . Следовательно, никакие t< 2  не подходят.

Сделаем обратную замену:

                                      (пометоду рационализации)
logx(3x− 2)≥ 2  ⇔   logx(3x− 2)≥ logxx2           ⇒
(x − 1)(3x− 2− x2)≥ 0  ⇔   (x− 1)2(x− 2)≤ 0

По методу интервалов:

PICT

Следовательно, x ∈(−∞; 2]  . Пересечем с ограничениями и получим ответ

   (   )
x∈  2;1  ∪(1;2].
    3

б) Отрезку [0;0,75]  принадлежит    (2    ]
x∈  3;0,75 .

Ответ:

а)     (   )
x ∈  2;1  ∪(1;2]
     3

б)    (2    ]
x ∈ 3;0,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#40647

а) Решите уравнение 2∘log2(x-− 2) = 3− log (2x +1).
     4             2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;3].

Показать ответ и решение

а) Ограничения логарифмов:

(
{ x− 2> 0
(             ⇔   x >2
  2x+ 1> 0

Уравнение преобразуется:

2|log4(x − 2)|= 3− log2(2x + 1)
(|| ⌊log (x− 2)= 3− log (2x+ 1)
|{ ⌈  2             2
||  log2(x− 2)= log2(2x+ 1)− 3
|( 3− log2(2x +1) ≥0
( ⌊
|||{ ⌈log2((x− 2)(2x +1))= log28
   log (8(x− 2)) =log (2x +1)
|||    2             2
( log2(2x +1)≤ log28
(| ⌊  2
||{ ⌈2x − 3x− 10= 0
|  6x= 17
||( x≤ 7
(    2  √ --
||{ x= 3±---89; 17
        4    6
||( x≤ 7
     2√ --
x= 3-±--89; 17
      4     6

Корень x = 3−√89
      4  не подходит по ограничениям.

б) На отрезке [0;3]  лежит корень    17
x=  6 .

Ответ:

а)    √--
3+--89;
  4  17-
6

 

б) 17
-6

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#76269

а) Решите уравнение log   x+ log√-0,5⋅|0,5 − log x|= log 20,5.
  0,5       x            2      x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   3√-
[0; 2].

Показать ответ и решение

а) Выпишем ограничения логарифмов: x > 0,x ⁄= 1.  Тогда с учетом ограничений уравнение равносильно

             |        |
− log x−2log 2⋅||1− log x||= − 1 log 2 ⇔  2log x+2log 2⋅|1− 2log x|= log 2
    2      x |2    2  |   2   x           2     x        2      x

Сделаем замену log2x =t.  Тогда с учетом x ⁄= 1  и t⁄= 0  уравнение примет вид

2t+ 2|1− 2t|= 1  |⋅t  ⇔   2t2 +2|2t− 1|− 1= 0
    t         t

Раскроем модуль:

⌊(
 { t≥ 1                 ⌊        √--
||(  2 2                          -10-
|||( 2t +4t− 3= 0     ⇔   ||t= −1 +  2
||{ t< 1                 ⌈t= 1− √1-
⌈(  2 2                          2
   2t − 4t+ 1= 0

Сделаем обратную замену:

⌊            √10       ⌊       √10-
|log2x= −1 + -2--      |x = 2− 1+-2-
|⌈           1      ⇔   ⌈    1−√1
 log2x= 1− √2-          x = 2  2

б) Так как      √-
1,4<  2 < 1,5,  то                  √-
0,25 < 1− √1-= 1− -2-< 0,3.
          2       2  Следовательно,

0< 21−√12 <20,3 < 213 = 3√2

Значит, корень       1-
x= 21−√2   лежит в отрезке   √-
[0; 32].

Так как 3< √10-< 4,  то           √--
0,5< − 1+ -10-< 1.
           2  Следовательно,

 −1+√10   0,5    1   1   3√-
2    2  >2   > 22 > 23 = 2

Значит, корень x= 2−1+√120   не лежит в указанном отрезке.

Ответ:

а)     √--
2−1+-120;21− 1√2

б)  1−√12
2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#76761

а) Решите уравнение               ∘ -√--------------
3cosx+ 8sinx =   12  3+ 55sin2x+ 9.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [     ]
 9π;3π .
 4

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид       ∘ ----
f(x)=   g(x).  Такое уравнение равносильно системе

{f2(x) = g(x)

 f(x)≥ 0

Следовательно, наше уравнение равносильно системе

{             2    √-       2
 (3cosx+ 8sinx) = 12 3 +55sin x+ 9
 3cosx+ 8sin x≥ 0

Решим первое уравнение:

                              √ -
9 cos2x+ 64sin2x + 48 sinxcosx =12  3+ 55sin2x+ 9
      24sin2x = 12√3-+ 9− (9cos2x +9 sin2x)
                       √ -
             24sin2x =12  3+√ 9− 9
                24sin2x =12  3
                        √3
                 sin2x= -2-
            ⌊ 2x= π-+ 2πn,n∈ ℤ
            |⌈     3
              2x= 2π + 2πm, m ∈ ℤ
              ⌊    3
               x = π+ πn,n ∈ℤ
              |⌈    6π
               x = 3 + πm, m ∈ℤ

Заметим, что первая серия решений разбивается на     π
x1 = 6-+ 2πn1  (       √ -
cosx = --3,
    1   2  sinx = 1
    1  2  ) и x  = π+ π +2πn
 2   6        2  (        √ -
cosx  = −--3,
   2     2  sin x = − 1
    2   2  ), n1,n2 ∈ ℤ.  Следовательно, при x= x1  левая часть 3cosx+ 8sin x  будет положительной, при x = x2  — отрицательной. Таким образом, нам подходит только x = x.
     1

Аналогично для второй серии решений получаем x3 = π-+ 2πm1,
    3       π
x4 = 3 + π +2πm2,  m1,m2 ∈ℤ.  При x= x3  левая часть положительна, при x = x4  она отрицательна. Следовательно, нам подходит только x = x3.

Значит, решением уравнения будут     π
x = 6-+2πn  и    π
x= -3 + 2πm,  n,m ∈ ℤ.

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

97πππ
3436π + 2πn

Таким образом, подходит корень 7π
3-.

Ответ:

а) π+ 2πn,n∈ ℤ;
6  π+ 2πm,m ∈ ℤ
3

 

б) 7π
 3

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#76762

а) Решите уравнение √-----
 sin 2x= √cosx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [       ]
 −3π;− 3π .
       2

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид ∘ ----  ∘ ----
  f(x)=   g(x).  Такое уравнение равносильно системе

{f(x)= g(x)

 f(x)≥ 0 (или g(x)≥ 0)

Следовательно, наше уравнение равносильно системе

{
  sin2x =cosx
  cosx ≥ 0

Решим первое уравнение:

2 sinxcosx− cosx= 0
 cosx(2sinx − 1)= 0
     ⌊cosx= 0
     ⌈      1
      sin x= 2
⌊    π-
| x= 2 + πn,n∈ ℤ
||| x= π-+ 2πm,m ∈ ℤ
|⌈    6
  x= 5π + 2πp,p ∈ℤ
      6

Заметим, что при x= 5π + 2πp
    6  выражение cosx  отрицательно, а при всех остальных найденных x  — неотрицательно. Следовательно, решением уравнения будут     π-
x = 2 +πn  и     π-
x=  6 + 2πm,  n,m ∈ℤ.

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

 531ππ1π
−−−−3226π

Таким образом, подходят корни   5π
− -2 ;    11π
− -6-;    3π
− 2-.

Ответ:

а) π+ πn,n ∈ℤ;
2  π-+2πm, m ∈ℤ
6

 

б) − 5π ;
   2  − 11π;
   6  − 3π
  2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#76763

а) Решите уравнение (           )  -------
 2cos2 x− cosx √ −11tgx = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [    ]
 π;2π .
 2

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид      ∘ ----
f(x)⋅  g(x)= 0.  Такое уравнение равносильно системе

(| [f(x)= 0
{
|(  g(x)= 0
  g(x) ≥0

Следовательно, наше уравнение равносильно системе

                                             (⌊    π-
                          (⌊                 |||||| x= 2 + πp,p ∈ℤ
([    2                   |||| cosx = 0         ||||||| x= π-+ 2πk,k ∈ ℤ
|{  2cos x − cosx =0        |{|⌈ cosx = 1         |{||    3
|(  −11tgx= 0          ⇔   ||  tg x= 02     ⇔   |||| x= − π+ 2πn,n∈ ℤ
 − 11tg x≥ 0               ||(                  ||||⌈      3
                           tgx ≤ 0           ||||(  x= πm,m ∈ ℤ
                                              tgx ≤0

В первой серии tgx  не существует, во второй серии tgx  положителен, в третьей — отрицателен, а в четвертой равен нулю. Следовательно, нам подходят третья и четвертая серии. То есть решением уравнения будут      π
x =− 3-+2πn  и x = πm,  n,m ∈ ℤ.

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

π52πππ
23

Таким образом, подходят корни π;  5π;
 3  2π.

Ответ:

а) − π+ 2πn,n ∈ℤ;
  3  πm,m ∈ ℤ

 

б) π;  5π-;
3  2π

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#76764

а) Решите уравнение ∘ --------- ∘ ---------
  4log2x+ 8 −  log2x3 − 2 = 2.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;2024].

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену log2x= t.  Тогда уравнение примет вид

√ -----  √-----
  4t+ 8−  3t− 2= 2

Перепишем уравнение в виде

   √4t-+-8= 2+ √3t−-2
 {           √ -----2
   4t+8√-=-(2-+  3t− 2)
   2+  3t− 2≥ 0
4t+ 8= 4 +3t− 2+ 4√3t−-2
             √-----
   {  t+6 = 4 3t− 2
    (t+6)2 = 16(3t− 2)
    t+ 6≥ 0
    { 2
     t − 36t+68 = 0
     t≥(−[6
       |{  t= 2
          t= 34
       |( t≥ −6
         [
          t= 2
          t= 34

Сделаем обратную замену:

[                [
  log2x =2    ⇔    x= 4
  log2x =34        x= 234

б) Заметим, что 4 ∈[0;2024].  С другой стороны,             11   34
2024 < 2048 = 2 < 2  .  Следовательно,  34
2  ∕∈ [0;2024].

Таким образом, на отрезке [0;2024]  лежит только корень x = 4.

Ответ:

а) 4; 234

б) 4

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#76767

а) Решите уравнение ∘4-log-x+-8-− ∘log-x3-− 2-= 2.
     2          2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;2024].

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену log x= t.
   2  Тогда уравнение примет вид

√4t-+-8− √3t−-2= 2

Перепишем уравнение в виде

   √ -----     √-----
     4t+ 8= 2+  3t− 2
 (            √-----2
 { 4t+ 8= (2 +  3t− 2)
 ( 2+ √3t−-2≥ 0
                  √-----
4t+ 8= 4 +3t− 2+ 4 3t− 2
      t+6 = 4√3t−-2
  (
  { (t+6)2 = 16(3t− 2)
  ( t+ 6≥ 0
    (
    {t2− 36t+ 68 = 0
    (
     t ≥(−⌊6
       ||  t= 2
       |{ ⌈
       ||  t= 34
       |( t≥ −6
         ⌊
         ⌈t =2
          t =34

Сделаем обратную замену:

⌊ log x =2        ⌊x =4
⌈   2        ⇔   ⌈
  log2x =34        x =234

б) Заметим, что 4 ∈[0;2024].  С другой стороны, 2024 < 2048 = 211 < 234.  Следовательно, 234 ∕∈ [0;2024].

Таким образом, на отрезке [0;2024]  лежит только корень x = 4.

Ответ:

а) 4; 234

б) 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#76768

а) Решите уравнение |cosx +sinx|= √2sin2x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [   7π]
 2π;2- .

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид |f(x)|= g(x).  Такое уравнение равносильно системе

(
{ f(x) = ±g(x)
(
  g(x) ≥0

Следовательно, наше уравнение равносильно системе

(              √-
{ cosx+ sinx = ± 2 sin2x
( √2 sin2x≥ 0

Заметим, что cosx +sinx= √2-sin(x + π).
                     4  Следовательно, система равносильна

( ⌊√ -  (    π)   √-              ( ⌊   (   π )
|||| |  2sin x + 4- =  2sin 2x         |||| |sin x+ 4- = sin2x
|{ |⌈√ -  (     )    √-             |{ |⌈   (     )
||    2sin x + π- = − 2 sin2x    ⇔   ||  sin x+ π- = sin(−2x)
|||(            4                    |||(         4
  sin2x ≥ 0                          sin2x ≥ 0

Уравнение sina= sin b  равносильно совокупности

⌊
⌈ a= b+ 2πn,n∈ ℤ
  a= π− b+ 2πm,m ∈ ℤ

Тогда получаем систему

( ⌊                                ( ⌊
||| |x + π-=2x +2πn,n ∈ℤ             ||| |x = π-+2πn,n ∈ℤ
||||| ||    4                           ||||| ||    4
|||| ||x + π-=π − 2x + 2πm,m ∈ ℤ        |||| ||x = π-+ 2π-m,m ∈ ℤ
||{ ||    4                           ||{ ||    4   3
| ||x + π-=− 2x+ 2πk,k ∈ ℤ       ⇔   | ||x = −-π + 2π-k,k ∈ ℤ
||||| ||⌈    4                           ||||| ||⌈     12   3
||||  x + π-=π + 2x + 2πp,p ∈ℤ          ||||  x = − 3π + 2πp,p ∈ℤ
||||(      4                           ||||(        4
  sin2x ≥ 0                           sin2x ≥0

В первой серии sin 2x= sin π> 0,
          2  в четвертой          (    )
sin2x =sin − 3π  > 0.
            2  Следовательно, эти серии решений являются решением исходного уравнения.

Рассмотрим вторую и третью серии.

Вторая серия разбивается на три серии: x1 = π-+ 2πm,
    4       π  2π         11π
x2 = 4 +-3 + 2πm = 12-+ 2πm  и     11π   2π         19π
x3 =-12- + 3-+ 2πm = 12-+ 2πm,  m ∈ ℤ.  Заметим, что sin2x1 > 0,  а sin 2x2 < 0,  sin 2x3 < 0.  Следовательно, x= x1  является решением исходного уравнения.

Третья серия разбивается на три серии: x4 = −-π + 2πk,
     12        π   2π        7π
x5 =− 12 +-3 + 2πk = 12 + 2πk  и     7π   2π        5π
x6 = 12 + 3-+ 2πk = 4-+ 2πk,  k ∈ ℤ.  Заметим, что sin2x6 > 0,  а sin 2x4 < 0,  sin 2x5 < 0.  Следовательно, x= x6  является решением исходного уравнения.

В итоге, решением исходного уравнения являются серии x= π-+ 2πn,
   4  x = π-+2πm,
    4  x=  5π-+ 2πk,
    4  x =− 3π +2πp,
      4  n,m, k,p ∈ℤ.  После объединения получаем x = π-+πn,
    4  n∈ Z.

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

791ππ3π
224π4

Таким образом, подходят корни 9π;
 4  13π-.
 4

Ответ:

а) π+ πn,n ∈ℤ
4

б) 9π;
 4  13π
 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#76769

а) Решите уравнение (xlog 3 − 1)(|4x− 2|− 4x+1+ 3)= 0.
    2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [   1]
 −1;2 .

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

⌊                     ⌊ x= --1--= log 2
⌈xlog23− 1= 0     ⇔   |⌈    log23    3
 |4x − 2|= 4x+1− 3        |4x− 2|= 4x+1− 3

Рассмотрим второе уравнение. Оно имеет вид |f(x)|= g(x),  которое равносильно

({
  f(x) = ±g(x)
( g(x) ≥0

Следовательно, наше второе уравнение равносильно

(⌊                        ( ⌊                        ( ⌊     1
|||  4x− 2= 4x+1− 3         |||  4x − 2 = 4⋅4x− 3        |||| |4x = 3
{⌈  x       x+1       ⇔   { ⌈ x          x       ⇔   { ⌈ x
|||  4 − 2= −4   + 3        |||  4  − 2 = −4⋅4 + 3       |||  4  = 1
(4x+1− 3≥ 0               ( 4⋅4x− 3≥ 0               |( 4x ≥ 3
                                                           4

Итого получаем

 x
4  = 1  ⇔   x= 0

Следовательно, решением исходного уравнения являются

⌊
 x= log 2
⌈      3
 x= 0

б) Заметим, что    [    1]
0 ∈ − 1;2 .  Тогда сравним

 1∨ log32
 2
312 ∨ 3log32
  √-
   3∨ 2
  3< 4

Таким образом, на [    ]
 −1; 1
    2 лежит только 0.

Ответ:

а) 0; log 2
  3

б) 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#76770

а) Решите уравнение            ∘ ------
(2x2 − 4⋅2x) 9 − x2 =0.
             4

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− log35;log36].

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид f(x)⋅∘g-(x)= 0,  которое равносильно

( ⌊
||  f(x)= 0
|{ ⌈
||  g(x)= 0
|( g(x) ≥0

Следовательно, наше уравнение равносильно

pict

б) Сравним

− 3 ∨ − log 5
 2      3
  3
  2 ∧ log35
 (√ -)3
    3  ∧5
  33 ∧25

  27> 25

Значит,   3
− 2 <− log3 5,  то есть корень      3
x =− 2  не лежит на отрезке [− log35;log36].

Сравним

 3∨ log36
 2
(√3-)3∨6

 33 ∨36
 27< 36

Значит, − log 5< 0 < 3< log 6,
    3       2     3  то есть корень x = 3
    2  лежит на отрезке [− log35;log36].

Корень x = −1  лежит на отрезке [− log35;log36],  так как − log35< − log33= − 1< 0< log36.

Таким образом, подходят корни − 1  и 3.
2

Ответ:

а) − 3;
  2  − 1;  3
2

б) − 1;  3
2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#76771

а) Решите уравнение |                        |
||log (log 1(log  (x2+ x− 1)))||= 1.
   2    2   625

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 5;4].

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид |f(x)|= a,  где a  — некоторое число. Такое уравнение при a ≥0  равносильно f(x) = ±a,  при a< 0  не имеет решений. Следовательно, в нашем случае имеем

              2
log⌊2log12 log625(x + x− 1)= ±1
   log1log  (x2+ x− 1)= 2
  |⌈   2  625
   log12 log625(x2+ x− 1)= 1
   ⌊                 1 2
   |log625(x2 +x − 1) = 4
   |⌈                 1
    log625(x2 +x − 1) = √--
     ⌊                2
     | x2+ x− 1= 5
     ⌈  2         2√2
       x + x− 1= 5
   ⌊
   ||x = −3
   ||x = 2
   |⌈        ∘ ----√----
    x = −1-±--4⋅52-2+-5
               2

б) Корни -3 и 2 лежат на данном отрезке, так как − 5 < −3< 0 < 2< 4.  Оценим корни     ∘ ---2√2---
−1±---4⋅5---+-5.
       2

Сравним

     ∘----√----
−-1+--4-⋅522-+5
       2        ∨4
     ∘----2√2---
− 1+∘--4-⋅5---+5 ∨8
    4 ⋅52√2+ 5∨ 9
      2√2
   4⋅5  √+ 5∨ 81
    4 ⋅522 ∨76
      52√2∨ 19
       √-
     25 2 ∨19

Заметим, что   -
√ 2> 1,  поэтому   √-
25 2 > 25> 19.  Значит,     ∘ ---2√2---
−1-+--4⋅5---+-5 > 4
       2  и этот корень не лежит на отрезке [−5;4].

Сравним

 −1− ∘4-⋅52√2+-5
 -------2-------∨ −5
     ∘----√----
− 1−  4 ⋅52 2+ 5∨ −10
  − ∘4-⋅52√2+-5∨ −9
    ∘----√----
     4 ⋅52 2+ 5∧ 9
    4⋅52√2+ 5∧ 81
         2√2
     4 ⋅5√-  ∧76
       52 2∧ 19
        √2
      25   ∧19

Заметим, что √ -
  2> 1,  поэтому   √-
25 2 > 25> 19.  Значит, −1 − ∘4-⋅52√2+-5
-------2------- <− 5  и этот корень не лежит на отрезке [−5;4].

Таким образом, подходят корни − 3  и 2.

Ответ:

а) − 3;  2;      ∘ ----√----
−1-±--4⋅52-2+-5
       2

б) − 3;  2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#76772

а) Решите уравнение                 |        |
||log (13x2− 12)||= ||− 1 log1x4||.
   3            | 2   3  |

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ √13- ]
 −-13-;1 .

Показать ответ и решение

а) Уравнение типа |f(x)|= |g(x)|,  которое равносильно

f(x)= ±g(x)

Следовательно, для нашего уравнения получаем

pict

б) Корень x= 1  лежит на отрезке [ √ -- ]
− --13;1 .
   13  Так как    √--
0<  13 < 13,  то       √ --
− 1 < −-13
       13  и этот корень не лежит на данном отрезке.

Ответ:

а) ± 1

б) 1

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#76773

а) Решите уравнение |2cos2x|= |8cosx +3|.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [  3π]
 π;2- .

Показать ответ и решение

а) Уравнение типа |f(x)|= |g(x)|,  которое равносильно

f(x)= ±g(x)

Следовательно, для нашего уравнения получаем

⌊
 2cos2x= 8cosx +3
⌈                    ⇔
 2cos2x= − 8cosx− 3
  ⌊    2
  ⌈4 cos x− 8cosx− 5= 0
   4 cos2x+ 8cosx+ 1= 0

Сделаем замену t =cosx  и решим каждое из двух квадратных уравнений. Получим корни

             √ -     √ -
t= 5 ;− 1;−1 +--3;−1 −--3
   2   2      2       2

Первый и четвертый корни не подходят, так как t∈ [− 1;1].  Сделаем обратную замену:

      ⌊
       cosx= − 1
      ||        2   -   ⇔
      ⌈           √3-
       cosx= − 1+  2
⌊x = ±2π + 2πn,n ∈ ℤ
||      3
⌈          (     √3-)
 x = ±arccos  −1+  2  + 2πm,m  ∈ℤ

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

      (     -)
4−π3π aπrccos −1+ √23 +2π
 32

Таким образом, подходят корни 4π        (     √3)
 3 ;− arccos −1 + 2  + 2π.

Ответ:

а)                       (     √-)
± 2π+ 2πn,n∈ ℤ;± arccos −1 + -3- + 2πm,m ∈ ℤ
  3                         2

б)           (     √-)
4π;− arccos − 1+ -3- + 2π
 3               2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#76774

а) Решите уравнение |sin(− 6x)cos6x|= 1.
               4

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [  π ]
 0;36- .

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид |f(x)|= a,  где a  — некоторое число. Такое уравнение при a≥ 0  равносильно f(x)= ±a,  при a< 0  не имеет решений. Следовательно, в нашем случае имеем

   || 1     ||   1
   ||− 2 sin 12x|| = 4
    1          1
   −2 sin12x= ± 4
             1
    sin12x = ±2
12x = ±π-+ πn,n∈ ℤ
       6
x = ±-π + π-n,n∈ ℤ
     72   12

б) Отберем корни с помощью неравенства:

0 ≤ −-π + π-n1 ≤ π
   1 72 1 12   3 36
   72 ≤ 12n1 ≤ 72
     1       1
     6 ≤ n1 ≤ 2
      n1 ∈ ∅

Следовательно, серия x =− π-+ -πn1,n1 ∈ ℤ
     72  12  не дает решений на указанном отрезке.

0≤  π-+ π-n2 ≤-π
    72   12    36
 − 1-≤ 1-n2 ≤-1
   72 1 12   172
   − 6 ≤ n2 ≤ 6

      n =0

Следовательно, серия     π-  π-
x = 72 + 12n2,n2 ∈ ℤ  дает один корень на указанном отрезке: x = π-.
    72

Ответ:

а) ± π-+ -πn,n ∈ℤ
  72  12

 

б)  π
72

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!