13.11 Тригоном./показат./логарифм.: иррациональные или модульные уравнения
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Ограничения:
Преобразуем уравнение с учетом ограничений:
Сделаем замену
Сделаем обратную замену:
Корень удовлетворяет ограничениям.
б) Корень лежит в отрезке
так как
а) 27
б) 27
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Ограничения:
Преобразуем правую часть:
Сделаем замену и уравнение примет вид
Сделаем обратную замену
Корень не подходит под ограничения.
б) Корень удовлетворяет отрезку
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Ограничения:
Преобразуем правую часть:
Сделаем замену и уравнение примет вид
Сделаем обратную замену
Корень не подходит под ограничения.
б) Корень удовлетворяет отрезку
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Выпишем ограничения на значения переменной:
При этих ограничениях уравнение можно преобразовать к виду:
Сделаем замену
Сделаем еще одну замену :
Тогда сделаем обратную замену:
Найденный корень удовлетворяет ограничениям.
б) Корень не лежит в отрезке
так как является
положительным числом.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Найдем ОДЗ:
Преобразуем на ОДЗ:
Сделаем замену :
Сделаем обратную замену:
б) Так как , то
Таким образом, только корень лежит в отрезке
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все решения этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Ограничения логарифмов:
Сделаем замену :
При имеем
, следовательно, все
подходят.
При имеем
, следовательно, уравнение примет вид
. Следовательно, никакие
не подходят.
Сделаем обратную замену:
По методу интервалов:
Следовательно, . Пересечем с ограничениями и получим
ответ
б) Отрезку принадлежит
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Ограничения логарифмов:
Уравнение преобразуется:
Корень не подходит по ограничениям.
б) На отрезке лежит корень
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Выпишем ограничения логарифмов: Тогда с учетом ограничений
уравнение равносильно
Сделаем замену Тогда с учетом
и
уравнение примет
вид
Раскроем модуль:
Сделаем обратную замену:
б) Так как то
Следовательно,
Значит, корень лежит в отрезке
Так как то
Следовательно,
Значит, корень не лежит в указанном отрезке.
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Уравнение имеет вид Такое уравнение равносильно
системе
Следовательно, наше уравнение равносильно системе
Решим первое уравнение:
Заметим, что первая серия решений разбивается на
(
) и
(
),
Следовательно, при
левая часть
будет
положительной, при
— отрицательной. Таким образом, нам подходит
только
Аналогично для второй серии решений получаем
При
левая часть положительна, при
она отрицательна. Следовательно, нам подходит только
Значит, решением уравнения будут и
б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:
Таким образом, подходит корень
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Уравнение имеет вид Такое уравнение равносильно
системе
Следовательно, наше уравнение равносильно системе
Решим первое уравнение:
Заметим, что при выражение
отрицательно, а при всех
остальных найденных
— неотрицательно. Следовательно, решением уравнения
будут
и
б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:
Таким образом, подходят корни
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Уравнение имеет вид Такое уравнение равносильно
системе
Следовательно, наше уравнение равносильно системе
В первой серии не существует, во второй серии
положителен, в
третьей — отрицателен, а в четвертой равен нулю. Следовательно, нам подходят
третья и четвертая серии. То есть решением уравнения будут
и
б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:
Таким образом, подходят корни
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Сделаем замену Тогда уравнение примет вид
Перепишем уравнение в виде
Сделаем обратную замену:
б) Заметим, что С другой стороны,
Следовательно,
Таким образом, на отрезке лежит только корень
а)
б) 4
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Сделаем замену Тогда уравнение примет вид
Перепишем уравнение в виде
Сделаем обратную замену:
б) Заметим, что С другой стороны,
Следовательно,
Таким образом, на отрезке лежит только корень
а) 4;
б) 4
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Уравнение имеет вид Такое уравнение равносильно системе
Следовательно, наше уравнение равносильно системе
Заметим, что Следовательно, система
равносильна
Уравнение равносильно совокупности
Тогда получаем систему
В первой серии в четвертой
Следовательно, эти серии решений являются решением исходного уравнения.
Рассмотрим вторую и третью серии.
Вторая серия разбивается на три серии:
и
Заметим, что
а
Следовательно,
является решением исходного уравнения.
Третья серия разбивается на три серии:
и
Заметим, что
а
Следовательно,
является решением исходного уравнения.
В итоге, решением исходного уравнения являются серии
После объединения
получаем
б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:
Таким образом, подходят корни
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Уравнение равносильно
Рассмотрим второе уравнение. Оно имеет вид которое
равносильно
Следовательно, наше второе уравнение равносильно
Итого получаем
Следовательно, решением исходного уравнения являются
б) Заметим, что Тогда сравним
Таким образом, на лежит только 0.
а) 0;
б) 0
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Уравнение имеет вид которое равносильно
Следовательно, наше уравнение равносильно
б) Сравним
Значит, то есть корень
не лежит на отрезке
Сравним
Значит, то есть корень
лежит на отрезке
Корень лежит на отрезке
так как
Таким образом, подходят корни и
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Уравнение имеет вид где
— некоторое число. Такое уравнение при
равносильно
при
не имеет решений. Следовательно, в
нашем случае имеем
б) Корни -3 и 2 лежат на данном отрезке, так как
Оценим корни
Сравним
Заметим, что поэтому
Значит,
и этот корень не лежит на отрезке
Сравним
Заметим, что поэтому
Значит,
и этот корень не лежит на отрезке
Таким образом, подходят корни и
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Уравнение типа которое равносильно
Следовательно, для нашего уравнения получаем
б) Корень лежит на отрезке
Так как
то
и этот корень не лежит на данном отрезке.
а)
б) 1
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Уравнение типа которое равносильно
Следовательно, для нашего уравнения получаем
Сделаем замену и решим каждое из двух квадратных уравнений.
Получим корни
Первый и четвертый корни не подходят, так как Сделаем обратную
замену:
б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:
Таким образом, подходят корни
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Уравнение имеет вид где
— некоторое число. Такое уравнение
при
равносильно
при
не имеет решений. Следовательно,
в нашем случае имеем
б) Отберем корни с помощью неравенства:
Следовательно, серия не дает решений на указанном
отрезке.
Следовательно, серия дает один корень на указанном
отрезке:
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |