15.10 Смешанные неравенства

Выпишем ОДЗ:

Так как по формуле вспомогательного аргумента

а по формуле двойного угла то

Заметим, что при одинаковых аргументах один логарифм будет другого логарифма в одном из двух случаев:

1.

Аргументы этих логарифмов равны 1. Тогда

Тогда неравенство принимает вид:

что на ОДЗ равносильно

что является верным неравенством. Следовательно, является решением неравенства.

2.

Заметим, что функция является убывающей при и возрастающей при В нашем случае следовательно, функция убывает. Значит, чем больше значение функции, тем меньше значение Следовательно, при неравенство равносильно

Данное неравенство равносильно совокупности систем:

Решим каждую систему по окружности. Первая система:

Вторая система:

Тогда ответом будут

Тогда окончательный ответ — это объединение решений обоих случаев, то есть

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».