15.10 Смешанные неравенства
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Так как – при любом
, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
На ОДЗ:
По методу интервалов
Таким образом, с учётом ОДЗ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Так как – при любом
, то
, следовательно,
не определён ни при каких
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ:
На ОДЗ следовательно,
Тогда исходное неравенство на ОДЗ равносильно
Найдём нули числителя:
Сделаем замену
Сделаем обратную замену:
Найдём нули знаменателя:
По методу интервалов имеем:
Отсюда получаем
Пересечём ответ с ОДЗ и окончательно получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
На ОДЗ , тогда исходное неравенство на ОДЗ равносильно
На ОДЗ , следовательно,
, тогда на ОДЗ
Найдём нули числителя:
Найдём нули знаменателя:
По методу интервалов на ОДЗ:
откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
при каждом .
ОДЗ:
По методу рационализации: на ОДЗ
С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно
Таким образом, с учётом ОДЗ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Рассмотрим первый множитель левой части Так как модуль при всех значениях
неотрицателен, то
Следовательно,
Рассмотрим второй множитель Выделим полный квадрат:
Так как квадрат любого выражения — число неотрицательное, то
Следовательно,
Получили, что оба множителя в левой части а значит и их произведение
Значит, неравенство будет иметь решения тогда и только тогда, когда оба они равны по 1.
Таким образом, получаем, что — единственное решение неравенства.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Выпишем ОДЗ:
Так как по формуле вспомогательного аргумента
а по формуле двойного угла то
Заметим, что при одинаковых аргументах один логарифм будет другого
логарифма в одном из двух случаев:
- 1.
- Аргументы этих логарифмов равны 1. Тогда
Тогда неравенство принимает вид:
что на ОДЗ равносильно
что является верным неравенством. Следовательно,
является решением неравенства.
- 2.
Заметим, что функция
является убывающей при
и возрастающей при
В нашем случае
следовательно, функция убывает. Значит, чем больше значение функции, тем меньше значение
Следовательно, при
неравенство равносильно
Данное неравенство равносильно совокупности систем:
Решим каждую систему по окружности. Первая система:
Вторая система:
Тогда ответом будут
Тогда окончательный ответ — это объединение решений обоих случаев, то есть
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ неравенства:
Решим неравенство на ОДЗ. Так как по основному логарифмическому свойству , то
Сделаем замену ,
, тогда
Так как согласно замене , то получаем
. Сделаем обратную замену:
Пересечем ответ с ОДЗ и получим
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
На ОДЗ ,
, следовательно, исходное неравенство на ОДЗ равносильно
По методу интервалов:
откуда .
Пересечём ответ с ОДЗ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
Заметим, что
Рассмотрим два случая:
1) , тогда
В итоге ответ с учётом ОДЗ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ неравенства:
Сделаем замену :
откуда
Решая первое неравенство последней системы, получаем
Решая второе неравенство последней системы, получаем
В итоге
– входит в ОДЗ
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству
Рассмотрим функцию
Таким образом, – верно при всех
, тогда ответ совпадает с
ОДЗ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Запишем ОДЗ:
Тогда на ОДЗ второе слагаемое левой части можно преобразовать так:
Правую часть можно преобразовать так:
Тогда все неравенство перепишется в виде
Получили квадратичное неравенство
Пересекая полученное множество с ОДЗ, получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все такие , которые являются решениями неравенства
при любых
ОДЗ:
Покажем, что не подходят по ОДЗ:
зафиксируем произвольное , тогда
. Существует
, такое что
Также по ОДЗ не подходит
ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству
Так как на ОДЗ
Зафиксируем произвольный .
Докажем по индукции, что данное неравенство выполнено для всех :
1) :
2) Рассмотрим произвольное
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
При левая часть неравенства имеет смысл и равна нулю. Тогда
пойдет в ответ.
При условии получаем неравенство
Отсюда имеем:
Следовательно, или
Учитывая условие находим:
Объединяя полученные множества c получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
Решим неравенство на ОДЗ.
Сделаем замену .
Тогда
Решая неравенство методом интервалов, получим:
Так как из-за замены , то неравенство
не имеет решений.
Делаем обратную замену:
Решим данное двойное неравенство как два неравенства по отдельности и затем пересечем решения.
1) Решим с помощью метода рационализации:
2) . Разделим обе части неравенства на положительное число
:
Пересекая решения этих двух неравенств между собой и с ОДЗ, получаем окончательный ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
По свойствам логарифма исходное неравенство равносильно:
Последний переход корректен, так как первое неравенство системы выполняется при всех из ОДЗ:
ведь
основание логарифма левой части больше основания логарифма правой части, а аргументы равны.
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Преобразуем неравенство:
Из второго неравенства получаем
Из первого неравенства имеем:
Сделаем замену
Сделаем обратную замену:
Отсюда получаем
Далее имеем:
Тогда так как основание логарифма меньше 1, то получаем
Поскольку то окончательно имеем:
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство:
Найдем ОДЗ данного неравенства:
Преобразуем левую часть неравенства:
Преобразуем показатель степени в правой части неравенства:
На ОДЗ и исходное неравенство примет вид:
Обозначим , тогда
Перепишем неравенство в виде
Решим неравенство методом интервалов:
Произведем обратную замену:
Учтем ОДЗ:
Ответ:
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».