Тема 15. Решение неравенств

15.11 Системы неравенств

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#928

Решите систему

{     1
  36x−2 − 7 ⋅ 6x−1 + 1 ≥ 0
                    2
  x ⋅ log4(5 − 3x − x ) ≥ 0

Источники: ЕГЭ 2014, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство можно переписать в виде

 2x− 1      x−1
6    − 7 ⋅ 6   + 1 ≥ 0
Сделаем замену 6x =  t > 0  , тогда неравенство примет вид:
 2
t- − 7t + 1 ≥ 0   ⇔    t2 − 7t + 6 ≥ 0
 6    6
Решим уравнение  2
t  − 7t + 6 = 0  . Его корнями будут t1 = 1  и t2 = 6  . Следовательно,  2
t −  7t + 6 = (t − 1)(t − 6)  . Значит, неравенство примет вид
(t − 1)(t − 6 ) ≥ 0
Решив его методом интервалов, получим t ∈ (− ∞; 1] ∪ [6;+ ∞ ).  Теперь сделаем обратную замену:
[  x            [
  6 ≤  1         x ≤  0
  6x ≥ 6   ⇔     x ≥  1   ⇔    x ∈ (− ∞; 0] ∪ [1;+ ∞ ).

2) Второе неравенство. Выпишем его ОДЗ:

                                                   (       √ ---      √ ---)
           2             2                           −-3-−---29  − 3-+--29-
5 − 3x −  x >  0   ⇔    x  + 3x − 5 < 0   ⇔    x ∈        2    ;     2       .
Тогда на ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно
x(4 − 1)(5 − 3x −  x2 − 1) ≥ 0   ⇔    x(x2 + 3x − 4) ≤ 0   ⇔    x(x − 1 )(x + 4) ≤ 0
Решая данное неравенство методом интервалов, получим x ∈ (− ∞; − 4] ∪ [0;1]  .
Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательное решение второго неравенства     (       √ ---   ]
      − 3 −   29
x ∈   ----------;− 4  ∪ [0;1].
           2

 

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим     (    √ ---        ]
x ∈  − 12(  29 + 3);− 4 ∪  {0;1}.

Ответ:

(    √---        ]
 − 12( 29 + 3 );− 4  ∪ {0;1}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2223

Решите систему

{
  log11−x(x + 7) ⋅ logx+5 (9 − x) ≤ 0
    x2− 3x+20         2x2−6x−200
  64        − 0,125           ≤ 0

Источники: ЕГЭ 2014, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ:

( 11 − x >  0
||||
||| 11 − x ⁄=  1
|{ x + 7 > 0
                  ⇔    x ∈ (− 5;− 4) ∪ (− 4;9).
||| x + 5 > 0
||| x + 5 ⁄= 1
||(
  9 − x > 0

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно

(11 − x − 1)(x + 7 − 1)(x + 5 − 1)(9 − x − 1) ≤ 0   ⇔    (x − 10)(x + 6)(x + 4)(x − 8) ≤ 0
Решая данное неравенство методом интервалов, получим x ∈ [− 6;− 4] ∪ [8; 10].

 

Пересечем с ОДЗ и получим x ∈ (− 5;− 4 ) ∪ [8;9)  .

 

2) Второе неравенство. Заметим, что 0,125 =  1 = 8− 1
         8   . Тогда неравенство можно переписать как

82x2−6x+40 − (8−1)2x2−6x− 200 ≤ 0   ⇔    82x2−6x+40 ≤ 8−2x2+6x+200
Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно
2x2 − 6x + 40 ≤ − 2x2 + 6x+  200   ⇔    x2 − 3x − 40 ≤ 0   ⇔    (x + 5)(x−  8) ≤ 0   ⇔    x ∈ [− 5;8 ]

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: x ∈ (− 5;− 4 ) ∪ {8}.

Ответ:

(− 5;− 4) ∪ {8}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2316

Решите систему неравенств

{
  log4−x(x + 4) ⋅ logx+5(6 − x) ≤ 0
    x2−2x+10      2x2− 4x− 80
  25        −  0,2         ≤ 0

Источники: ЕГЭ 2014, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ:

( 4 − x > 0
||||
||| 4 − x ⁄= 1
|{ x + 4 > 0
                ⇔    x ∈  (− 4;3) ∪ (3;4).
||| x + 5 > 0
||| x + 5 ⁄= 1
||(
  6 − x > 0

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно

(4 − x − 1)(x + 4 − 1)(x + 5 − 1)(6 − x − 1) ≤ 0   ⇔    (x − 3)(x + 3)(x + 4)(x − 5 ) ≤ 0
Решая данное неравенство методом интервалов, получим x ∈ [− 4;− 3] ∪ [3; 5].

 

Пересечем с ОДЗ и получим x ∈ (− 4;− 3 ] ∪ (3;4)  .

 

2) Второе неравенство. Заметим, что 0, 2 = 1 = 5−1
       5   . Тогда неравенство можно переписать как

52x2−4x+20 − (5 −1)2x2− 4x− 80 ≤ 0  ⇔    52x2−4x+20 ≤ 5−2x2+4x+80
Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно
2x2 − 4x + 20 ≤ − 2x2 + 4x + 80   ⇔    x2 − 2x − 15 ≤  0   ⇔    (x + 3)(x−  5) ≤ 0   ⇔    x ∈ [− 3;5 ]

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: x ∈ {− 3} ∪ (3; 4).

Ответ:

{− 3} ∪ (3;4)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#929

Решите систему

{
  19 ⋅ 4x + 4−x ≤ 20

  x ⋅ logx+3(7 − 2x) ≥ 0
Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Сделаем замену 4x = t > 0  , тогда неравенство примет вид

      1              19t2 − 20t + 1            (19t − 1)(t − 1)
19t + --≤ 20   ⇔     --------------≤ 0   ⇔     ----------------≤ 0
      t                    t                          t
Решая данное неравенство методом интервалов, получим               [    ]
t ∈ (− ∞;  0) ∪ 119;1 . Учитывая, что t > 0  , получаем    [    ]
t ∈ -1;1
    19 . Сделаем обратную замену:
-1-    x             log4119    x    0             1--
19 ≤ 4  ≤  1   ⇔    4      ≤ 4  ≤ 4    ⇔    log4 19 ≤ x ≤  0.

2) Второе неравенство. Найдем ОДЗ:

(
|{ x + 3 > 0                           (      )
                                            7-
| x + 3 ⁄= 1       ⇔    x ∈ (− 3;− 2) ∪  − 2;2  .
( 7 − 2x > 0

На ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно

x (x + 3 − 1)(7 − 2x − 1) ≥ 0   ⇔    x (x + 2)(x − 3) ≤ 0
Решая его методом интервалов, получим x ∈ (− ∞; − 2] ∪ [0;3]  . Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим x ∈ (− 3; − 2) ∪ [0;3]  .

 

3) Заметим, что     -1
log419 = − log4 19  , следовательно, пересекая решения обоих неравенств, получим x ∈ [− log419; − 2) ∪ {0}.

Ответ:

[− log4 19;− 2) ∪ {0}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2224

Решите систему

(     (   2     )
||       x--   16-
{ log3   4 −  x2   ≤ 1
          2
||(  -----2x-+--x −-28------≤ 0
   (x − 6 )2 + (x − 5)3 − 1

Источники: ЕГЭ 2014, вторая волна, резервный день

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ:

     x2    16             x4 − 64
     ---−  -2-> 0   ⇔     ----2---> 0   ⇔
      4    x               4x
           √ --      √ --  2                                --       --
⇔    (x-−-2--2)(x-+-2--2)(x--+-8) > 0   ⇔    x ∈ (− ∞; − 2√ 2) ∪ (2 √ 2;+∞  )
                  x2

На ОДЗ данное неравенство равносильно:

      2                   4      2                    2       2
     x--  16-            x--−-12x--−-64-            (x-+--4)(x-−--16)
     4 −  x2 ≤ 3   ⇔          4x2       ≤  0   ⇔           4x2        ≤ 0   ⇔

       2
⇔    (x--+-4)(x-−-4)(x-+-4)-≤ 0   ⇔     x ∈ [− 4;0) ∪ (0;4]
              4x2

Пересекая полученное решение с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:            √ --    √ --
x ∈ [− 4;− 2  2) ∪ (2 2; 4].

 

2) Второе неравенство.
По формуле разности кубов (x −  5)3 − 1 = (x − 5 − 1)((x − 5)2 + x − 5 + 1) = (x − 6)(x2 − 9x + 21 )  . Следовательно, знаменатель можно разложить на множители        2           2                       2
(x − 6) + (x − 6)(x  − 9x + 21 ) = (x − 6)(x − 8x + 15 ) = (x − 6)(x − 3)(x − 5)  .

 

Тогда все неравенство, разложив и числитель на множители, можно переписать в виде

--(2x-−--7)(x-+-4-)---
(x − 6 )(x − 3 )(x − 5) ≤  0
Решив полученное неравенство методом интервалов, получим
                (    ]
x ∈ (− ∞; − 4 ] ∪ 3; 7 ∪ (5;6).
                    2

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим            (    ]
x ∈ {− 4} ∪  3; 72

Ответ:

        (   ]
{− 4} ∪  3; 72

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2755

Решите систему

(      5         3
|{ 16x− 4 − 3 ⋅ 4x− 2 + 1 ≥ 0

|     2x2 + 5x −  7
( log2------------- ≤ 1
         3x − 2

Источники: ЕГЭ 2014, вторая волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство перепишем в виде

16x       4x
---5−  3 ⋅-3-+ 1 ≥ 0
16 4      42
Заметим, что 1654 = (24)54 = 25   , а 432 = (22)32 = 23   . Сделаем замену 4x =  t > 0  :
t2     t                 2
25-− 323-+ 1 ≥ 0   ⇔     t − 12t + 32 ≥ 0   ⇔    (t − 4)(t − 8) ≥ 0  ⇔    t ∈ (− ∞; 4] ∪ [8;+ ∞ ).
Сделаем обратную замену:
[               ⌊
  4x ≤ 4          x ≤ 1
           ⇔    ⌈     3
  4x ≥ 8          x ≥ --
                      2

2) Второе неравенство. Так как основание логарифма больше единицы, то данное неравенство равносильно

(                            (
| 2x2-+-5x-−-7-              | 2x2-−-x-−-3-
|{    3x − 2    ≤ 2           |{    3x − 2   ≤  0
    2                   ⇔         2
||( 2x--+-5x-−-7-> 0           ||( 2x--+-5x-−--7 > 0
     3x − 2                       3x −  2
Решая каждое неравенство методом интервалов, получим ответ для первого:                 (2- 3]
x ∈ (− ∞; − 1] ∪  3;2 и для второго:     (     )
x ∈  − 72; 23 ∪ (1;+ ∞ )  . Пересекая эти решения, получим     (       ]  (    ]
x ∈  − 72;− 1 ∪  1; 32 .

 

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим x ∈ (− 7;− 1] ∪ { 3}
       2         2 .

Ответ:

(       ]
 − 72;− 1 ∪ {1,5}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#930

Решите систему

(
|| log    --x +-4- ≥ − 2
{    3− x(x − 3)2
|            21x2 + 3x − 12
|( x3 + 6x2 + ---------------≤  3
                  x − 4

Источники: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

( 3 − x >  0             (
||{                        |{ x <  3
  3 − x ⁄=  1        ⇔      x ⁄=  2                     ⇔    x ∈ (− 4;2) ∪ (2; 3)
||  -x-+-4--              |(
(  (x − 3)2 > 0            x ∈  (− 4;3) ∪ (3;+ ∞ )
На ОДЗ данное неравенство равносильно:
log3 −x(x+4 )− log3− x(x− 3)2+2 ≥  0   ⇔    log3−x(x+4 )− log3 −x(3− x)2+2 ≥  0   ⇔    log3−x(x+4 ) ≥ 0
Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:
(3 − x − 1)(x + 4 − 1) ≥ 0   ⇔    x ∈ [− 3;2]
Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:
x ∈ [− 3;2)

2) Второе неравенство равносильно:

x4-+-6x3-−-4x3-−-24x2-+-21x2-+--3x −-12 −-3x-+-12-            x4 +-2x3-−-3x2-            x2(x-+-3)(x −-1)
                      x − 4                       ≤ 0   ⇔         x − 4      ≤ 0   ⇔          x − 4       ≤ 0
Решая его методом интервалов, получим x ∈ (− ∞; − 3] ∪ {0 } ∪ [1;4).

 

3) Пересечем решения обоих неравенств, получим x ∈ {− 3;0} ∪ [1; 2)  .

Ответ:

{− 3;0} ∪ [1;2)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#931

Решите систему

(
|| log4− x(16 − x2) ≤ 1
{
|           21x + 39        1
|( 2x + 1 − -----------≥ − ------
           x2 + x − 2     x + 2

Источники: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

(| 4 − x > 0
{
  4 − x ⁄= 1       ⇔    x ∈  (− 4;3) ∪ (3;4).
|( 16 − x2 > 0
На ОДЗ данное неравенство равносильно:
log    (16 − x2) − log  (4 − x) ≤ 0   ⇔    log    (4-−-x)(4 +-x) ≤ 0   ⇔    log   (4 + x) ≤ 0
   4− x              4−x                      4−x     4 − x                    4−x
Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:
(4 − x − 1)(x + 4 − 1) ≤ 0   ⇔    x ∈ (− ∞; − 3] ∪ [3;+ ∞ )
Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:
x ∈ (− 4; − 3] ∪ (3;4).

2) Второе неравенство:

2x3-+-x2-+-2x2-+-x-−-4x-−-2-−-21x-−-39-+-x-−-1-            2x3-+-3x2-−-23x-−--42
                (x + 2)(x − 1)                 ≥  0   ⇔        (x + 2)(x −  1)    ≥ 0
Подбором находим, что x =  − 2  является корнем многочлена 2x3 + 3x2 − 23x −  42  . Выполнив деление в столбик    3     2
2x  + 3x  − 23x −  42  на x + 2  , получим:    3     2                        2
2x  + 3x  − 23x −  42 = (x + 2)(2x −  x − 21) = (x + 2)(x + 3)(2x −  7)  .

 

Следовательно, неравенство равносильно

(x +-2)(x-+-3-)(2x-−--7)
    (x + 2)(x −  1)    ≥  0,
решая которое методом интервалов, получим ответ x ∈ [− 3;− 2 ) ∪ (− 2;1) ∪ [3,5;+ ∞ ).

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ x ∈ { − 3 } ∪ [3,5;4).

Ответ:

{− 3} ∪ [3,5;4)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#932

Решите систему

(               8
||        (x-−--4)-
|{ log4−x  x + 5  ≥  8

||| x2-−-3x-−-5-   x2 −-6x-+-3-
(    x − 4    +     x − 6    ≤ 2x + 1

Источники: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

( 4 − x >  0             (
||{                        |{ x <  4
  4 − x ⁄=  1        ⇔      x ⁄=  3                     ⇔    x ∈ (− 5;3) ∪ (3; 4)
||  (x − 4)8              |(
(  -------->  0            x ∈  (− 5;4) ∪ (4;+ ∞ )
    x + 5
На ОДЗ данное неравенство равносильно:
log4 −x(x− 4)8− log4− x(x+5 )− 8 ≥ 0   ⇔    log4−x(4− x)8− log4− x(x+5 )− 8 ≥ 0   ⇔    log4−x(x+5 ) ≤ 0
Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:
(4 − x − 1)(x + 5 − 1) ≤ 0   ⇔    x ∈ (− ∞; − 4] ∪ [3;+ ∞ )
Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:
x ∈ (− 5; − 4] ∪ (3;4).

2) Второе неравенство:

     x3 −-3x2 −-5x-−-6x2-+-18x-+-30-+-x3-−-6x2-+-3x-−-4x2-+-24x-−--12 −-2x3-+-20x2-−-48x-−-x2-+-10x-−--24-
                                                (x − 4)(x − 6)                                            ≤ 0   ⇔


⇔    ---2x-−--6----≤  0   ⇔    x ∈ (− ∞; 3] ∪ (4;6).
     (x −  4)(x − 6 )

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ x ∈ (− 5; − 4].

Ответ:

(− 5;− 4]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2225

Решите систему

(
||  log    −-1-−-x ≤ − 1
|{    2−x  x − 2

|||  x2 −-8x-+-6-  8x-−-37-
(     x − 1    +  x − 5  ≤  x + 1

Источники: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

(| 2 − x > 0             (
|{                       |{ x <  2
  2 − x ⁄= 1        ⇔      x ⁄=  1          ⇔     x ∈ (− 1;1 ) ∪ (1;2)
||( −-1-−-x               |(
   x − 2  >  0            x ∈ (− 1;2)
На ОДЗ данное неравенство равносильно:
       − 1 − x                                   (− 1 − x)(2 − x)
log2−x ------- + log2−x(2 − x) ≤ 0   ⇔    log2−x ----------------≤ 0   ⇔     log2− x(x + 1 ) ≤ 0
        x − 2                                         x − 2
Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:
(2 − x − 1)(x + 1 − 1) ≤ 0   ⇔    x ∈ (− ∞; 0] ∪ [1;+ ∞ )
Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:
x ∈ (− 1;0 ] ∪ (1;2).

2) Второе неравенство: приведем все к общему знаменателю

    x3-−-8x2-+-6x-−--5x2 +-40x-−-30-+-8x2-−-37x-−-8x-+--37 −-x3 +-5x2 +-x −-5
                                  (x − 1)(x −  5)                              ≤ 0   ⇔


⇔   ----2x-+-2---- ≤  0   ⇔    x ∈ (− ∞; − 1] ∪ (1;5).
    (x − 1 )(x − 5)

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ x ∈ (1;2).

Ответ:

(1;2)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2226

Решите систему

(
|| log    --x-+-4-- ≥ − 10
|{    5−x(x − 5)10

|||  3     2   50x2-+-x-−-7-
( x +  8x  +     x − 7    ≤  1

Источники: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

( 5 − x > 0               (
||{                         |{ x < 5
  5 − x ⁄= 1          ⇔      x ⁄= 4                     ⇔     x ∈ (− 4;4 ) ∪ (4;5)
|| --x-+-4--               |(
( (x − 5)10 > 0             x ∈ (− 4;5) ∪ (5;+ ∞ )
На ОДЗ данное неравенство равносильно:
                                                                 10
log    --x-+-4-- + log   (5 − x)10 ≥ 0   ⇔    log    (x-+-4)(5-−-x)-- ≥ 0   ⇔    log   (x + 4) ≥ 0
   5− x(x − 5)10      5−x                        5− x    (x − 5)10                   5−x
Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:
(5 − x − 1)(x + 4 − 1) ≥ 0   ⇔    x ∈ [− 3;4]
Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:
x ∈ [− 3;4).

2) Второе неравенство: приведем все к общему знаменателю

    x4-+-8x3-−--7x3 −-56x2-+-50x2-+-x-−-7-−-x-+-7
                        x − 7                     ≤ 0   ⇔

      2
⇔   x--(x +-3)(x-−-2-)≤  0   ⇔    x ∈ (− ∞; − 3] ∪ {0} ∪ [2;7).
          x − 7

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ x ∈ { − 3; 0} ∪ [2;4).

Ответ:

{− 3;0} ∪ [2;4)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#865

Решить систему

(
{ 4x ≤ 9 ⋅ 2x + 22
        2                    x + 1
( log3(x  − x − 2) ≤ 1 + log3 ------
                             x − 2
Показать ответ и решение

1) Решим первое неравенство системы, ОДЗ которого: x ∈ ℝ  . С помощью замены 2x = t  данное неравенство сводится к квадратичному:

 2
t −  9t − 22 ≤ 0   ⇔    (t + 2)(t − 11) ≤ 0  ⇔    − 2 ≤ t ≤ 11

Сделаем обратную замену, учитывая, что показательная функция всегда положительна, то есть t > 0  :

− 2 ≤ 2x ≤ 11   ⇔     2x ≤ 11   ⇔    x ≤ log  11
                                            2

2) Решим второе неравенство системы. Найдем его ОДЗ:

(   2                      (
{ x  − x − 2 > 0           { (x + 1)(x − 2) > 0
(  x +-1-             ⇔    ( x-+-1-                 ⇔     x ∈ (− ∞;  − 1) ∪ (2;+ ∞ )
   x − 2 > 0                 x − 2 >  0

Тогда на ОДЗ данное неравенство равносильно:

 

                         x + 1                 (x + 1)(x − 2)2
log3(x + 1)(x − 2) − log3 ------≤  1   ⇒    log3 --------------- ≤ 1   ⇒    log3(x − 2)2 ≤ 1   ⇒
                         x − 2                      x + 1

 

                             --            --             --             --
⇒    (x − 2)2 ≤ 3   ⇔    − √ 3 ≤ x − 2 ≤  √3   ⇔     2 − √ 3 ≤ x ≤ 2 + √ 3

 

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим:

             √ --
2 < x ≤  2 +   3

3) Теперь необходимо пересечь решения обоих неравенств:

{
  x ≤ log2 11 √ --
  2 < x ≤ 2 +   3

Заметим, что сразу не очевидно, кто больше: log 11
   2  или     √ --
2 +   3  (т.к. оба числа принадлежат интервалу (3;4 )  ). Поэтому выполним сравнение.

 

            √ --
log2 11 ∨ 2 + -3
    11 ∨ 22+ √3
            √ -
    11 ∨ 4 ⋅ 2 3

 

Заметим, что √ --
  3 > 1,5  , следовательно,  √ -                    √ --
2  3 > 21,5 = 21+0,5 = 2 ⋅  2  . Заметим, что √ --
  2 > 1,4  , следовательно,

                √3
4 ⋅ 2 ⋅ 1,4 < 4 ⋅ 2
                √3
    11, 2 < 4 ⋅ 2√
       11 < 4 ⋅ 2 3

Таким образом, мы доказали, что log  11 < 2 + √3--
   2  .

 

Следовательно, пересекая решения обоих неравенств, получим:

x ∈ (2;log  11].
          2
Ответ:

x ∈ (2;log211 ]

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!