15.09 Иррациональные неравенства
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство: .
Запишем ОДЗ:
Решим неравенство, перенеся вычитаемый корень в правую часть, чтобы в обеих частях неравенства были бы неотрицательные выражения, что необходимо для возведения обеих частей в квадрат:
Так как , получим, что решением этого
неравенства будет
. Учтём ОДЗ
, тогда итоговое
решение:
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Запишем ОДЗ:
Заметим, что всегда больше, чем
поскольку
при любом
а функция
— монотонно возрастающая. Тогда левая часть
неравенства является положительной, и обе части неравенства можно возвести в
квадрат:
Таким образом, полученное уравнение равносильно системе
Получается, что решением этого неравенства будет С учётом ОДЗ
получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
По методу интервалов:
Тогда ответом будет:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство:
Тогда ответом будет:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Система содержит противоречие, а следовательно решений не имеет. Тогда ответом
будет:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство:
Применим метод интервалов для неравенства:
Получим:
Тогда ответом будет:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Решите неравенство:
ОДЗ неравенства: Перенесём
в левую часть:
Далее избавимся от знака корня. Для этого обе части неравенства надо возвести
в квадрат при условии, что левая часть неравенства неотрицательна. Если же
то неравенство верно на всём ОДЗ. Таким образом, на ОДЗ получим
следующую совокупность:
Решение полностью принадлежит ОДЗ неравенства.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Сделаем замену Тогда неравенство примет вид
Сделаем обратную замену:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ неравенства:
Таким образом, ОДЗ являются Решим неравенство на
ОДЗ.
Заметим, что
Тогда имеем:
Следовательно,
Так как основание логарифма равно то неравенство равносильно
Пересекая полученное решение с ОДЗ, получаем
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ограничения логарифмов:
Заметим, что
Тогда система равносильна
Преобразуем подкоренное выражение:
Таким образом, правая часть неравенства равна
Мы выяснили, что подкоренное выражение является полным квадратом,
поэтому корень не влияет на ОДЗ неравенства, значит, ОДЗ являются
Тогда на ОДЗ неравенство равносильно
Неравенство выполняется, если
следовательно,
Тогда полученное неравенство равносильно совокупности систем:
Решая первую систему, получаем Решая вторую систему, получаем
Значит, решением совокупности являются
Пересекая решение с ОДЗ, получаем
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Пусть Тогда неравенство равносильно
Сделаем обратную замену. Заметим, что неравенство не имеет решений.
Следовательно,