Тема 15. Решение неравенств

15.09 Иррациональные неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38225

Решите неравенство: √2-−-t− √t-+-2 > 0,5  .

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ: {              {
  2− t ≥ 0;      t ≤ 2;
             ⇔           ⇔  t ∈ [− 2;2].
  t+ 2 ≥ 0.      t ≥ − 2.

Решим неравенство, перенеся вычитаемый корень в правую часть, чтобы в обеих частях неравенства были бы неотрицательные выражения, что необходимо для возведения обеих частей в квадрат:

pict

Так как 5   25   √31   √36   3
8 < 8-<  -8--< -8--= 4  , получим, что решением этого неравенства будет    (      √31-)
t ∈ − ∞; −----
            8 . Учтём ОДЗ t ∈ [− 2;2]  , тогда итоговое решение:    [     √--)
         -31-
t ∈ − 2;− 8 .

Ответ:

[        )
      √31
 − 2;−-8--

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#38226

Решите неравенство

√-----  √-----
 x + 8−  x − 4 ≥2
Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{
 x+ 8 ≥0;  ⇔  x∈ [4;+∞ )
 x− 4 ≥0.

Заметим, что √x-+-8-  всегда больше, чем √x−-4,  поскольку x +8 >x − 4  при любом x,  а функция √x  — монотонно возрастающая. Тогда левая часть неравенства является положительной, и обе части неравенства можно возвести в квадрат:

x+ 8+ x− 4− 2∘ (x-+-8)(x−-4)≥ 4
      ∘ -----------
    −2∘ (x+-8)(x−-4)≥ −2x
        (x+ 8)(x− 4)≤ x

Таким образом, полученное уравнение равносильно системе

pict

Получается, что решением этого неравенства будет x ∈[0;8].  С учётом ОДЗ получим x∈ [4;8].

Ответ:

[4;8]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38229

Решите неравенство

√ -----
  3x+ 4≤ x
Показать ответ и решение
pict

По методу интервалов:

 

PICT

 

Тогда ответом будет: x∈ [4;+∞ ).

Ответ:

x ∈[4; + ∞)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#38230

Решите неравенство: √ -----     x
  4+ x ≤ 2+ 4-

Показать ответ и решение
pict

Тогда ответом будет: x ∈ [− 4; + ∞ ).

Ответ:

x ∈ [− 4; + ∞)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38231

Решите неравенство

∘-2-------
 x  +2x +3 < x+ 1
Показать ответ и решение
pict

Система содержит противоречие, а следовательно решений не имеет. Тогда ответом будет: x∈ ∅.

Ответ:

x ∈∅

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#38232

Решите неравенство: x − 3 ≥ √9-−-x2

Показать ответ и решение
pict
pict

Применим метод интервалов для неравенства:

 

 

PICT

 

Получим:

pict

Тогда ответом будет: x = 3.

Ответ:

x = 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#51643

Решите неравенство

       √-----
0 <x +  x+ 2
Показать ответ и решение

Решите неравенство:       √-----
0< x+  x + 2.

ОДЗ неравенства: x+ 2 ≥0 ⇔ x ≥− 2.  Перенесём x  в левую часть:

−x < √x+-2.

Далее избавимся от знака корня. Для этого обе части неравенства надо возвести в квадрат при условии, что левая часть неравенства неотрицательна. Если же − x < 0,  то неравенство верно на всём ОДЗ. Таким образом, на ОДЗ получим следующую совокупность:

⌊                ⌊                     ⌊
|−{ x< 0          |x{ >0                 | x{> 0
|⌈  −x ≥ 0     ⇔  |⌈ x ≤ 0             ⇔ |⌈  x≤ 0        ⇔ x > −1.
   x2 < x+ 2       (x − 2)(x+ 1)< 0       −1 < x< 2

Решение полностью принадлежит ОДЗ неравенства.

Ответ:

(−1;+∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80011

Решите неравенство

∘1-−-log-(x2− 2x-+-2)-<log(5x2− 10x+ 10)
       5               5
Показать ответ и решение

Сделаем замену t= log (x2− 2x + 2).
     5  Тогда неравенство примет вид

∘1-−-y < 1+ y
(
|||{ 1− y ≥ 0
  1+ y > 0
|||(             2
  1− y < (1+ y)
({ −1 <y ≤ 1

( y(y + 3) >0
(|
||{ −⌊1 <y ≤ 1
|  y < −3
||( ⌈
   y > 0
0< y ≤1

Сделаем обратную замену:

0 < log5(x2− 2x +2)≤ 1
     2
1(< x − 2x + 2≤ 5
 {x2− 2x+ 1 >0
 ( 2
 (x − 2x− 3 ≤0
 {x ⁄= 1
 (
  − 1≤ x≤ 3
x ∈[−1;1)∪ (1;3]
Ответ:

[−1;1)∪(1;3]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#81172

Решите неравенство

   (√ -----     )           3
log14   x+ 3− x+ 3 ≥ −2 + log14 8
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

                  ⌊{
                     x+ 3> (x− 3)2
√-----            ||  x− 3≥ 0
 x +3 >x − 3  ⇔   ||{x + 3≥ 0          ⇔
                  ⌈
                     x− 3< 0
⌊{x + 3> x2− 6x+ 9         ⌊ {
||  x≥ 3                    |  0> x2− 7x+ 6
||{                     ⇔   |⌈  x ≥3             ⇔
⌈  x≥ − 3                    −3≤ x < 3
   x< 3
⌊{                        ⌊{
|  0> (x− 6)(x − 1)        |  1< x <6
|⌈  x≥ 3               ⇔   |⌈  x≥ 3        ⇔
 − 3≤ x< 3                 − 3≤ x< 3
⌊
⌈3 ≤ x< 6    ⇔   − 3≤ x< 6
 − 3≤ x< 3

Таким образом, ОДЗ являются x ∈[−3;6).  Решим неравенство на ОДЗ.

Заметим, что

       (  )2
2 =log14  1  = log14-1
         4        16

Тогда имеем:

                               (    )
−2+ log1 3 =log13 − log1 1-= log 1 3 ⋅16 = log 16
      4 8     48     4 16     4 8          4

Следовательно,

log1(√x-+-3− x+ 3)≥ −2 + log1 3
  4   (√-----     )       4 8
  log14  x +3 − x + 3 ≥ log14 6

Так как основание логарифма равно 14 < 1,  то неравенство равносильно

pict

Пересекая полученное решение с ОДЗ, получаем

x ∈{−3} ∪[−2;6)
Ответ:

{− 3} ∪[−2;6)

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#81173

Решите неравенство

               ∘-----------------(-----)-
logx(3x− 2)− 2 ≥ log2x(3x− 2)+ 4logx  --x--
                                  3x− 2
Показать ответ и решение

Найдем ограничения логарифмов:

( x> 0
|||||
{ x⁄= 1
||| 3x− 2> 0
||( --x-- >0
  3x− 2

Заметим, что

                      x
x> 0, 3x − 2 > 0 ⇒  3x−-2 >0

Тогда система равносильна

(
||{ x> 0            (     )
  x⁄= 1     ⇔   x∈  2 ;+ ∞  ∖{1}
||( x> 2             3
     3

Преобразуем подкоренное выражение:

                    (      )
    log2(3x− 2)+ 4log   --x--  =
      x            x  3x− 2
    2
= logx(3x− 2)+ 4logxx − 4logx(3x − 2) =
= log2x(3x− 2)+4 ⋅1− 2⋅2⋅logx(3x− 2)=
     2                         2
 = logx(3x − 2)− 2⋅2 ⋅logx(3x − 2)+ 2 =
         = (log (3x − 2)− 2)2
              x

Таким образом, правая часть неравенства равна

   ∘ ----------------(------)-
     log2x(3x− 2)+ 4logx  --x--  =
                       3x− 2
  ∘ --------------2
=   (logx(3x − 2)− 2) = |logx(3x− 2)− 2|

Мы выяснили, что подкоренное выражение является полным квадратом, поэтому корень не влияет на ОДЗ неравенства, значит, ОДЗ являются    ( 2    )
x ∈  3;+∞   ∖{1}.

Тогда на ОДЗ неравенство равносильно

log (3x− 2)− 2≥ |log(3x− 2)− 2|
  x               x

Неравенство a≥ |a| выполняется, если a≥ 0,  следовательно,

logx(3x− 2)− 2≥ 0

  logx(3x− 2)≥ 2
logx(3x − 2) ≥logxx2

Тогда полученное неравенство равносильно совокупности систем:

                      (
⌊(| x> 1              ⌊|| x> 1
|||{         2         ||{ 0≥ x2− 3x+ 2
|||| 3x− 2≥ x          ||||(
||(( x2 > 0        ⇔   ||( x⁄= 0
||||{ 0< x< 1           ||||{ 0< x <1
||  3x− 2≤ x2         ||  x2− 3x+ 2≥ 0
⌈||(                   ⌈||(    2
   3x− 2> 0             x> 3

Решая первую систему, получаем x∈ (1;2].  Решая вторую систему, получаем    ( 2  )
x ∈  3;1 .

Значит, решением совокупности являются    (2  )
x∈  3 ;1  ∪(1;2].

Пересекая решение с ОДЗ, получаем

   ( 2 )
x∈   3;1 ∪ (1;2]
Ответ:

(   )
 2;1  ∪(1;2]
 3

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85242

Решите неравенство

∘9x-−-3x+2-≥ 3x − 9
Показать ответ и решение

Пусть t= 3x.  Тогда неравенство равносильно

                     (
                    ⌊{t− 9< 0
                    ||( 2                    ⌊
∘t2-−-9t≥ t− 9  ⇔   ||(t − 9t≥ 0         ⇔   ⌈t ≤0
                    ||{t− 9≥ 0                 t≥9
                    ⌈( 2           2
                      t − 9t≥ (t− 9)

Сделаем обратную замену. Заметим, что неравенство x
3 ≤ 0  не имеет решений. Следовательно,

3x ≥ 9  ⇔   x≥ 2
Ответ:

[2;+ ∞ )

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!