Тема 15. Решение неравенств

15.08 Модульные неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77230

Решите неравенство

x3− 27
|x-−-3| − x|x − 3|≥ 0

Источники: ЕГЭ 2024, СтатГрад, 13 декабря 2023

Показать ответ и решение

x3− 27
|x-−-3| − x|x − 3|≥ 0

Выпишем ОДЗ: x ⁄= 3.  Тогда на ОДЗ имеем

(x− 3)(x2+ 3x+ 9)
------|x-−-3|-----− x|x − 3|≥ 0

Заметим, что для a⁄= 0  выполняется a-=  |a|,
|a|   a  так как a2 = |a|2.  Тогда (x − 3)  |x − 3|
-|x-− 3| = (x-−-3).  Таким образом,

 |x− 3|(x2+ 3x+ 9)
 -----(x-−-3)-----− x|x − 3|≥ 0

     ( x2+-3x-+-9  x2−-3x)
|x − 3|   x− 3   −  x− 3   ≥ 0
     (                  )
|x − 3|  x2+-3x+-9−-x2+-3x  ≥0
             x − 3
           (      )
      |x − 3|  6x+-9  ≥ 0
             x − 3

По ОДЗ x ⁄= 3.  Тогда поделим на |x − 3|> 0 :

3 ⋅(2x+ 3)
---x−-3-- ≥0

Решим это неравенство методом интервалов:

x−3+−+ 3
  2

Получили ответ:

   (       ]
x ∈  −∞;− 3 ∪ (3;+ ∞ )
          2
Ответ:

(      ]
 −∞; − 3 ∪(3;+∞ )
      2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77231

Решите неравенство

8− x3
|2-−-x| +x|2− x|≥ 0

Источники: ЕГЭ 2024, СтатГрад, 13 декабря 2023

Показать ответ и решение

8− x3
|2-−-x| +x|2− x|≥ 0

Выпишем ОДЗ: x ⁄= 2.  Тогда на ОДЗ имеем |2− x|> 0.  Значит, можем домножить обе части неравенства на |2 − x|> 0 :

8− x3+ x|2 − x|⋅|2− x|≥ 0
       3        2
  8 − x +x((2− x) ≥ 0)
8− x3+ x⋅ x2− 4x+ 4 ≥ 0
     3   3    2
 8− x + x − 4x + 4x ≥ 0
    −4x2+ 4x+ 8 ≥0

Разделим обе части неравенства на − 4,  при этом оно поменяет знак:

  x2− x− 2≤ 0
(x+ 1)(x − 2)≤ 0

Решим это неравенство методом интервалов:

x−2+−+1

Пересекая полученный интервал [−1;2]  с ОДЗ x ⁄= 2,  получаем ответ:

x ∈[−1;2)
Ответ:

[−1;2)

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#77233

Решите неравенство

|2x − 1|≤|4x+ 1|
Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

(2x− 1)2 ≤ (4x +1)2

(2x− 1)2− (4x+ 1)2 ≤ 0

(2x− 1+ 4x+ 1)(2x − 1 − 4x − 1)≤ 0
6x⋅(−2x − 2) ≤0

x(x+ 1)≥ 0
 ⌊
  x≥ 0
 ⌈
  x≤ − 1
Ответ:

(−∞; −1]∪ [0;+∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#77234

Решите неравенство

|x− 1|<2x − 4
Показать ответ и решение

Рассмотрим неравенство вида |f|< g.

Если g > 0,  то неравенство равносильно − g < f < g.

Если g ≤ 0,  то неравенство имеет вид «модуль меньше неположительного числа», что не имеет решений. Следовательно, исходное неравенство равносильно системе

(
{2x− 4 >0
(
 − 2x + 4< x− 1< 2x− 4
(|
||{x >2
|x − 1 < 2x − 4
||(x − 1 > −2x+ 4

(|
||{x >2
|x >3
||(x > 5
     3

Отсюда получаем x> 3.

Ответ:

(3;+∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#77235

Решите неравенство

1 ≤ |x − 2|< 3
Показать ответ и решение

Неравенство равносильно совокупности

⌊
 1 ≤ x− 2< 3
⌈
 − 3< x− 2≤ − 1
⌊
⌈3 ≤ x< 5
 − 1< x≤ 1
Ответ:

(−1;1]∪[3;5)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#77236

Решите неравенство

||x|− 2|≤ 1
Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

 − 1≤ |x|− 2≤ 1

1 ≤ |x|≤ 3
 ⌊
 ⌈1 ≤x ≤ 3
  − 3≤ x≤ −1
Ответ:

[−3;−1]∪[1;3]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#77238

Решите неравенство

|x − 3|≥|8− x|
Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

      (x− 3)2 ≥(8− x)2

    (x− 3)2− (8 − x)2 ≥ 0

(x− 3− 8+ x)(x − 3 +8 − x) ≥0
       (2x − 11)⋅5 ≥ 0
         2x− 11≥ 0

          2x ≥11
              11
          x ≥ 2-
Ответ:

[      )
 11;+ ∞
 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#77239

Решите неравенство

|2x + 3|≤4x
Показать ответ и решение

Рассмотрим неравенство вида |f|≤g.

Если g ≥ 0,  то неравенство равносильно − g ≤f ≤ g.

Если g < 0,  то неравенство имеет вид «модуль меньше отрицательного числа», что не имеет решений. Следовательно, исходное неравенство равносильно системе

pict

Отсюда получаем    3
x≥ 2 .

Ответ:

[     )
 3;+∞
 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#77240

Решите неравенство

||x− 3|− 2|≤1
Показать ответ и решение

Рассмотрим неравенство вида |f|≤g.

Если g ≥ 0,  то неравенство равносильно − g ≤f ≤ g.  Так как 1> 0,  то исходное неравенство равносильно

− 1≤ |x− 3|− 2 ≤ 1

1≤ |x− 3|≤3
⌊
⌈ 1≤ x− 3≤ 3
  −3≤ x − 3 ≤ −1
⌊
⌈ 4≤ x≤ 6
  0≤ x≤ 2
Ответ:

[0;2]∪ [4;6]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85238

Решите неравенство

log   ((4− |x+ 2|)≤ 1.
   |x−1|
Показать ответ и решение

Неравенство по методу рационализации равносильно

(||(|x− 1|− 1)(4 − |x+ 2|− |x − 1|)≤ 0
||||
{|x− 1|> 0
||||x− 1|⁄= 1
|||(
 4 − |x+ 2|> 0

Рассмотрим первое неравенство по отдельности на промежутках, на которых каждое из подмодульных выражений принимает значения одного знака (промежутки x< −2,  − 2≤ x≤ 1  и x > 1  ).

⌊(
|{ x< −2
||(                        ⌊
||( x(2x +5)≥ 0              x ≤ −2,5
||{ −2≤ x ≤ 1              ||
||( x≥ 0               ⇔   |⌈0 ≤ x≤< 1,5
|||(                         x ≥ 2
|⌈{ x> 1
 ( (x − 2)(2x− 3)≥ 0

Решим оставшиеся неравенства из системы:

(| |x − 1|> 0            (|x ⁄=1
||{                     ||{
| |x − 1|⁄= 1        ⇔   |x ⁄=0;2
||( 4− |x+ 2|>0         ||(−6 < x< 2

Пересечем полученные значения с решением первого неравенства и получим окончательный ответ

x∈ (−6;−2,5]∪(0;1)∪ (1;1,5]
Ответ:

(−6;−2,5]∪(0;1)∪(1;1,5]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85243

Решите неравенство

|     |
||3x+-1||< 3
| x− 3|
Показать ответ и решение

Неравенство вида |f|< a,  где a  — положительное число, равносильно

−a< f < a

Следовательно, наше неравенство равносильно

− 3< 3x+-1 < 3  ⇔
      x− 3
( 3x+ 1
|{ x−-3-− 3< 0
|( 3x+-1+ 3> 0    ⇔
( x− 3
|{ -10-< 0
  x6−x−38       ⇔
|( x−-3-> 0
(
||||{x⌊ < 3
   x< 4     ⇔
|||||⌈    3
(  x> 3
   4
x< 3
Ответ:

(− ∞; 4)
    3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#85244

Решите неравенство

|    |
||x−-1||> 1
|x+ 2|
Показать ответ и решение

Неравенство вида |f|> a,  где a  — положительное число, равносильно

⌊
  f > a
⌈
  f < − a

Следовательно, наше неравенство равносильно

⌊ x− 1
| x+-2-− 1 > 0
|⌈ x− 1         ⇔
  x+-2-+1 < 0
⌊  −3
| x+-2-> 0
|⌈ 2x+ 1      ⇔
  x-+2- <0
⌊
| x< −2
⌈          1
  −2< x < −2
Ответ:

(−∞; −2)∪ (−2;− 1)
               2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#85245

Решите неравенство

|3x − 6|> x +2
Показать ответ и решение

Если x+ 2< 0,  то нераавенство несет смысл «модуль больше отрицательного выражения». Такое неравенство верно при всех x  из ОДЗ. Если же x+ 2≥ 0,  то неравенство имеет вид неравенства |f|> a,  где a ≥0,  что равносильно

⌊
⌈ f > a
  f < − a

Следовательно, наше неравенство равносильно

 (
⌊{ x+ 2< 0
||(
||( x∈ ℝ
||||| x+ 2≥ 0           ⇔
|||{ ⌊
⌈||| ⌈3x− 6 >x + 2
 (  3x− 6 <− x− 2
⌊
|x( <− 2
||||| x≥ −2
|||{ ⌊         ⇔
⌈||| ⌈x >4
 (  x <1
⌊
⌈x >4
 x <1
Ответ:

(−∞; 1)∪(4;∞)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#85246

Решите неравенство

|3x− 7|≥ 2x− 3
Показать ответ и решение

Если 2x− 3≤ 0,  то нераавенство несет смысл «модуль не меньше неположительного выражения». Такое неравенство верно при всех x  из ОДЗ. Если же 2x − 3> 0,  то неравенство имеет вид неравенства |f|≥ a,  где a> 0,  что равносильно

⌊
⌈ f ≥ a
  f ≤ − a

Следовательно, наше неравенство равносильно

⌊ ({2x − 3 ≤0
||
|| ((x ∈ℝ
|| ||2x − 3 >0           ⇔
|| |{⌊
|⌈ ||⌈ 3x− 7≥ 2x− 3
  |(  3x− 7≤ −2x +3
⌊    3
| x≤ 2
|| (|    3
|| |||{x > 2      ⇔
|||  ⌊ x≥ 4
⌈ ||||⌈
  (  x≤ 2
⌊
⌈ x≥ 4
  x≤ 2
Ответ:

(−∞; 2]∪[4;∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#85247

Решите неравенство

||2x − 1|− 2|> 3
Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

⌊
 |2x− 1|− 2 > 3
⌈                ⇔
 |2x− 1|− 2 < −3
⌊
⌈|2x− 1|> 5   ⇔
 |2x− 1|< −1
⌊
|2x − 1 > 5
||2x − 1 < −5 ⇔
⌈
⌊x ∈∅
 x > 3
⌈
 x < −2
Ответ:

(−∞; −2)∪ (3;∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#85252

а) Решите уравнение                 √ -
4ctg (π-− x) =-----3---.
     2       cos2(π− x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− π;2π ].

Показать ответ и решение

тест

Ответ:

а) π+ πn,n ∈ℤ; π-+ πm,m ∈ ℤ
3          6

 

б)   5π   2π π  π 7π 4π
− -6 ;− -3 ;6-;3;6-;-3

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!