15.07 Метод рационализации
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ:
По методу рационализации имеем на ОДЗ:
Так как на ОДЗ то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству
C учётом ОДЗ окончательно получаем
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ:
По методу рационализации имеем на ОДЗ:
Так как на ОДЗ то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству
C учётом ОДЗ в итоге получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
По методу рационализации на ОДЗ:
Пересечем ответ с ОДЗ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству
По методу рационализации: на ОДЗ
но на ОДЗ (при ) у выражения в левой части последнего неравенства числитель и знаменатель
не обращаются в
, тогда оно знакопостоянно при
.
Так как
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
![PIC](/api/latex-service/v1/GetSession/1516/15_4_1.png)
откуда
Пересечем ответ с ОДЗ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ:
Преобразуем исходное неравенство:
По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно неравенству
По методу интервалов имеем:
Отсюда
Пересечем с ОДЗ и получим окончательный ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
По методу интервалов:
откуда .
Пересечем ответ с ОДЗ: .
Окончательный ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ:
Заметим, что , следовательно, число
. Т.к. квадрат любого выражения всегда неотрицателен, то
неравенство
выполнено при всех
.
Следовательно, ОДЗ: .
Перейдем к неравенству:
Преобразуем его по методу рационализации:
Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Рассмотрим числитель дроби:
![PIC](/api/latex-service/v1/GetSession/1446/A_15_5_2.png)
Таким образом, ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Рассмотрим числитель дроби:
![PIC](/api/latex-service/v1/GetSession/2346/A_15_5_3.png)
Таким образом, ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Рассмотрим числитель дроби в левой части неравенства:
Следовательно, мы можем переписать неравенство в виде
Заметим, что для любого
следовательно, можно разделить обе части неравенства на это положительное выражение,
при этом знак неравенства не изменится. Теперь решим последнее неравенство методом рационализации:
Полученное неравенство можно решить методом интервалов:
Таким образом, получаем ответ:
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ:
На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству
По методу рационализации имеем на ОДЗ:
Таким образом, с учётом ОДЗ окончательно получаем
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству
По методу рационализации: на ОДЗ
Так как при ,
выражение
положительно, то множество решений исходного
неравенства совпадает с ОДЗ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
Так как , то
.
Обозначим
1)
По методу интервалов:
откуда .
Пересечем с условием :
2) .
По методу интервалов:
откуда .
Пересечем с условием :
.
Объединенное решение двух случаев: .
Пересечем ответ с ОДЗ: .
Окончательный ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
По методу рационализации: на ОДЗ
С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно
Таким образом, с учётом ОДЗ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Рассмотрим первую скобку: .
Сделаем замену . Тогда данное выражение преобразуется к виду
Таким образом, данное выражение имеет вид:
Тогда все неравенство примет вид:
1) Найдем ОДЗ левой части:
Решим последнее неравенство отдельно:
Заметим, что число , следовательно, при любых
выражение
будет больше
отрицательного числа, то есть решением этого неравенства являются
.
Таким образом, ОДЗ исходного неравенства: .
2) Перейдем к решению самого неравенства на ОДЗ.
Применим метод рационализации для первого множителя (скобки) и для второго множителя (логарифма):
Решим данное неравенство методом интервалов:
Таким образом, нам подходят точки .
3) Пересечем полученный ответ с ОДЗ и получим:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ:
Таким образом, ОДЗ данного неравенства: .
Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену . Тогда неравенство
примет вид:
Сделаем обратную замену:
Преобразуем каждое из полученных неравенств по методу рационализации:
Решая каждое неравенство методом интервалов и объединяя решения, мы получим:
Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательный ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ неравенства:
Пересечем данный ответ с ОДЗ и получим итоговый ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Выпишем ОДЗ неравенства:
Предлагается сделать следующее: воспользоваться формулой , чтобы “перевернуть”
логарифмы, тем самым у них станут одинаковые основания. НО! Данная формула верна только в том
случае, когда
(так как основание логарифма не может быть равно
).
Наше ОДЗ этого не учитывает. Следовательно, нужно рассмотреть два случая: когда “будущее”
основание, то есть , равно
, и когда не равно.
1) Пусть :
При остальных трех значениях
Следовательно, их нужно будет включить в окончательный ответ.
2) Пусть . Следовательно,
.
Тогда можно воспользоваться формулой : Можно применить метод рационализации для
данного неравенства. Все множители вида
заменяются на
; все множители вида
заменяются на
:
Таким образом, ответ: .
Теперь нужно объединить решения пунктов 1 и 2 и пересечь полученное множество с
ОДЗ.
Получим окончательный ответ в неравенстве:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
По методу рационализации: на ОДЗ
С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно
что на ОДЗ равносильно
что на ОДЗ равносильно
Таким образом, с учётом ОДЗ: