Тема 15. Решение неравенств

15.06 Логарифмические неравенства с переменным основанием

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#499

Решите неравенство

log 2     4 >  1
   x +2x+2
Показать ответ и решение

ОДЗ:

{
  x2 + 2x + 2 > 0
   2                     ⇔      x ⁄=  − 1
  x  + 2x + 2 ⁄= 1

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

log 2      4 > log  2     (x2 + 2x + 2 )
  x +2x+2        x+2x+2

Так как на ОДЗ  2                   2
x +  2x + 2 = (x + 1) + 1 > 1  , то исходное неравенство равносильно неравенству

                                                       √ --         √ --
4 > x2 + 2x + 2   ⇔    x2 + 2x − 2 < 0   ⇔    (x + 1 −   3)(x + 1 +   3) < 0,

откуда x ∈ (− 1 − √3;-− 1 + √3-)  . Тогда с учётом ОДЗ

           √ --                 √ --
x ∈ (− 1 −   3;− 1) ∪ (− 1;− 1 +  3)
Ответ:

       √ --                 √--
(− 1 −   3;− 1) ∪ (− 1;− 1 + 3 )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1804

Решите неравенство

log 2 ≥  1
   x
Показать ответ и решение

ОДЗ:

{
  x > 0

  x ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

--1---
log x ≥  1   ⇔    0 < log2x ≤  1   ⇔    log2 1 < log2x ≤  log2 2   ⇔    1 < x ≤ 2.
   2

C учётом ОДЗ: x ∈ (1;2].

Ответ:

(1;2]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1805

Решите неравенство

log 2 x ≥ 1 + log x2
   x            x
Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
||  x2 > 0               {
|{   2
   x ⁄=  1       ⇔         x > 0
|||  x > 0                  x ⁄= 1
(  x ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

1-                                  1-                                1-
2 log |x|x ≥ 1 + 2 logx |x|     ⇔      2 logxx ≥  1 + 2 logxx     ⇔      2 ≥  3.

Таким образом,

x ∈ ∅.
Ответ:

∅

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1806

Решите неравенство

log  2 x ≤ 5 + log 3 x2
   x            x
Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
||  x2 > 0
||||   2                   {
{  x ⁄=  1                 x > 0
   x > 0        ⇔
||||  x3 > 0                 x ⁄= 1
||(
   x3 ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

1              2                   1              2             1       2
--log |x|x ≤ 5 + --logxx      ⇔      --logxx ≤  5 + --    ⇔       --≤ 5 + --.
2              3                   2              3             2       3

Таким образом, исходное неравенство верно на ОДЗ:

x ∈ (0;1) ∪ (1; +∞  ).
Ответ:

(0;1) ∪ (1;+ ∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#500

Решите неравенство

log22 3 − 2,75 log 3 + 7,5625 ≤  0
   x             |x|
Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|{ x2 >  0
    2
|( x  ⁄=  1
  |x| ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

       2                                         2
0,25log|x|3 − 2, 75log|x|3 + 7,5625 ≤ 0   ⇔    log|x|3 − 11 log |x|3 + 30,25 ≤ 0

Сделаем замену log|x|3 = t  :

 2                                       2
t − 11t + 30,25 ≤  0     ⇔      (t − 5,5) ≤  0     ⇔      t = 5,5,

откуда на ОДЗ

log   3 = 5,5 = log   |x|5,5     ⇔       3 = |x|112-     ⇔      3121 = |x|,
   |x|             |x|
откуда
        2-
x =  ±3 11
– подходят по ОДЗ.
Ответ:

  2-   -2
3 11,− 311

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#501

Решите неравенство

log  2     (22 + ax2 − bx + c) > log  2    ((a + 1)x2 − bx + c),
   ax −bx+c                         ax− bx+c

если a  , b  и c  таковы, что при любом x ∈ ℝ  выполнено   2
ax  + bx + c > 1

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|| ax2 − bx + c > 0
|{   2
  ax  − bx + c ⁄= 1
||| 22 + ax2 − bx + c > 0
( (a + 1)x2 − bx + c > 0

Зафиксируем произвольное x ∈ ℝ  , тогда − x ∈ ℝ  , следовательно,           2                 2
1 < a(− x) + b(− x) + c = ax  − bx + c  , таким образом, при любом x ∈ ℝ

ax2 − bx + c > 1,
следовательно, исходное неравенство равносильно
22 > x2,
откуда
       √ ---√ ---
x ∈ (−   22;  22).
Ответ:

   √ ---√ ---
(−   22;  22)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#502

Найдите все такие x ∈ ℝ  , которые являются решениями неравенства

log  e + log    e + ...+ log      e ≥ 0
   x       (x+1)           (x+N)

при любых N ∈ ℕ.

Показать ответ и решение

Зафиксируем произвольное N  ∈ ℕ  .

ОДЗ:

(
|| x > 0
|||
||| x ⁄= 1
|||{ x + 1 > 0                {
                             x > 0
| x + 1 ⁄= 1        ⇔         x ⁄= 1
|||| ...
|||
||| x + N >  0
( x + N ⁄=  1

На ОДЗ:

                                               1         1                1
logx e + log(x+1)e + ...+ log(x+N )e ≥ 0  ⇔    ----+  ---------+  ...+ ---------- ≥ 0.
                                              lnx    ln (x + 1)       ln(x + N )

Рассмотрим отдельно случаи x ∈ (0;1 )  и x ∈ (1;+∞  )  .
 
1) x ∈ (1;+ ∞ )  , тогда

ln x > 0,     ln(x + 1) > 0,     ...,    ln(x + N ) > 0,
следовательно,
 1         1                1
----+  ---------+  ...+ ---------- > 0.
lnx    ln (x + 1)       ln(x + N )
Таким образом, все x ∈ (1;+ ∞ )  идут в ответ.
 
2) 0 < x < 1  .
Так как искомые x  должны удовлетворять исходному неравенству при любых N  ∈ ℕ  , то они должны удовлетворять ему и при N =  1  . Рассмотрим этот случай отдельно:

-1--   ----1----
lnx +  ln(x + 1) ≥ 0

Так как 0 < x < 1  , то ln x < 0  , а ln(x + 1) > 0  , следовательно, последнее неравенство равносильно неравенству

ln(x + 1) + ln x ≤ 0    ⇔       ln (x (x + 1)) ≤ ln 1    ⇔      x (x +  1) ≤ 1     ⇔
                        ⇔       x2 + x − 1 ≤ 0

По методу интервалов на (0;1)  :
 
PIC
 
Таким образом, x ∈ (0;  √5-−-1-]
           2 .

 

Для всякого N  ∈ ℕ  , N  > 1  при     (           ]
         √5-− 1
x ∈   0; -------
           2 :

-1--   ---1-----          ---1-----                 ----1-----
lnx +  ln (x + 1 ) ≥ 0,     ln(x + 2) >  0,    ...,     ln (x + N ) >  0,
следовательно,
 1         1                1
----+  ---------+  ...+ ---------- ≥ 0,
lnx    ln (x + 1)       ln(x + N )
то есть     (           ]
        √ --
x ∈   0;--5-−-1
           2 идут в ответ.

 

Так как мы рассмотрели все x  из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный ответ:

    (   √ --    ]
x ∈   0;--5-−-1  ∪ (1;+ ∞ ).
           2
Ответ:

(     √ --     ]
 0;0,5  5 − 0,5  ∪ (1; +∞  )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#874

Решите неравенство

                               2
              2         (x-−-3)--
logx2+1 (x − 3) ⋅ logx2+1 (x2 + 1)3 ≤ − 2

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

(
|| x2 + 1 > 0
|||   2                     {
{ x  + 1 ⁄= 1                x ⁄= 0
| (x − 3)2 > 0       ⇔      x ⁄= 3
|||  (x − 3)2
|(  --2----3-> 0
   (x  + 1)
Таким образом, ОДЗ неравенства: x ∈ (− ∞;  0) ∪ (0;3) ∪ (3; +∞ )
Решим неравенство на ОДЗ:
log 2  (x − 3)2 ⋅ (log 2  (x − 3)2 − log 2 (x2 + 1)3) ≤ − 2
   x +1             x +1              x +1
Сделаем замену t = logx2+1(x − 3)2   , тогда неравенство примет вид:
t(t − 3) ≤ − 2  ⇔    (t − 1)(t − 2 ) ≤ 0 ⇔     1 ≤ t ≤ 2
Сделаем обратную подстановку:
{                               {
  logx2+1(x − 3)2 ≥ 1            logx2+1 (x − 3)2 ≥ logx2+1 (x2 + 1 )
  log 2  (x − 3)2 ≤ 2      ⇔     log 2   (x − 3)2 ≤ log 2   (x2 + 1 )2
     x +1                           x +1              x +1

Заметим, что так как на ОДЗ  2
x  > 0  , то  2
x  + 1 > 1  , следовательно, основания логарифмов больше единицы, а значит, оба неравенства системы равносильны

                                (                                               (
{        2    2                 |{ x ≤ 4-                                        |{ x ≤  4-
  (x − 3) ≥  x +  1        ⇔          3                                    ⇔           3
  (x − 3)2 ≤ (x2 + 1 )2           |(           2               2                   |(   2
                                  (x − 3 − x −  1)(x −  3 + x + 1) ≤ 0             (x  − x + 4)(x + 2)(x − 1) ≥ 0

Решая второе неравенство методом интервалов, получим x ∈ (− ∞; − 2] ∪ [1;+ ∞ )
После пересечения данного множества с     4
x ≤ 3   и с ОДЗ получим окончательный ответ                 [   4]
x ∈ (− ∞; − 2] ∪ 1; 3

Ответ:

            [    ]
(− ∞; − 2] ∪ 1; 43

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1807

Решите неравенство

log  x2016 ≤ log x + log 2016 x2
   x           5       x
Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|| x >  0
||||                         {
{ x ⁄=  1                    x > 0
  x2016 > 0        ⇔
|||| x2016 ⁄= 1                 x ⁄= 1
||(
  x2 > 0

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

                        2                                               1
2016logx |x | ≤ log5 x +-----log |x||x|     ⇔      2016 logxx ≤  log5 x + -----     ⇔
                       2016                                           1008
⇔       2016 − --1--≤  log x     ⇔       log  5201510100078 ≤ log  x     ⇔       5201511000708 ≤ x.
               1008       5                 5              5

Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при

     201511000078
x ∈ [5       ;+ ∞ ).
Ответ:

     1007
[520151008;+∞  )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1808

Решите неравенство

log  10 > log      10
   x        (x+0,5)
Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|| x > 0                     (
|{                           |{ x >  0
  x ⁄= 1              ⇔        x ⁄=  1
||| x + 0,5 > 0               |(
( x + 0,5 ⁄= 1                 x ⁄=  0,5

На ОДЗ:

log  10 > log       10     ⇔       -1-->  ----1------.
   x         (x+0,5)               lg x    lg(x + 0,5)

Рассмотрим отдельно случаи x ∈ (0;0, 5)  , x ∈ (0,5; 1)  и x ∈ (1;+ ∞ )  .
 
1) x ∈ (0;0,5)  , тогда

lg x < 0,     lg (x + 0, 5) < 0,
следовательно,

-1-- > -----1-----     ⇔       lg(x + 0,5 ) > lg x    ⇔      lg x-+-0,5-> lg1      ⇔
lgx    lg(x + 0,5)                                                x
        x + 0,5
 ⇔      -------->  1     ⇔      x + 0, 5 > x     ⇔      0, 5 > 0
           x

Таким образом, все x ∈  (0; 0,5)  идут в ответ.
 
2) x ∈ (0,5;1)  , тогда

lg x < 0,     lg (x + 0, 5) > 0,
следовательно,

-1--<  0 < -----1-----
lgx        lg(x + 0,5)

Таким образом, среди x ∈ (0,5;1)  решений нет.
 
3) x ∈ (1;+ ∞ )  , тогда

lg x > 0,     lg (x + 0, 5) > 0,
следовательно,

-1-- > -----1-----     ⇔       lg(x + 0,5 ) > lg x    ⇔      lg x-+-0,5-> lg1      ⇔
lgx    lg(x + 0,5)                                                x
        x + 0,5
 ⇔      -------->  1     ⇔      x + 0, 5 > x     ⇔      0, 5 > 0
           x

Таким образом, все x ∈  (1; +∞  )  идут в ответ.

 

Так как мы рассмотрели все x  из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный ответ:

x ∈ (0;0,5) ∪ (1; +∞  ).
Ответ:

(0;0,5) ∪ (1;+ ∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1809

Решите неравенство

   2
logx3+ 5log|x|3 +6 > 0
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

{
 x > 0
 x ⁄= 1

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

log2x3+ 5logx3+ 6> 0

Сделаем замену logx3 =t :

t2+ 5t+ 6> 0  ⇔   (t+ 2)(t+ 3) >0

По методу интервалов находим t∈ (−∞;− 3)∪(−2;+∞ ).  Отсюда получаем

[logx3< −3       ⌊logx 3< logxx−3  (1)
             ⇔   ⌈           −2
 logx3> −2        logx 3> logxx    (2)

Решим неравенство (1) с учетом того, что     1
0< √33-< 1 :

⌊(                 ⌊(| x> 1
 { x> 1            |{ ( 3√-   )( 2 3√    3√-   )
||( 3< x−3          |||( -x-3−-1--x--9-+x--3+-1--<0
|||             ⇔    |||            x3
||({ 0< x< 1         ||(|{ 0< x< 1
⌈      −3          |⌈  ( 3√-   )( 2 3√    3√-   )
 ( 3> x             |( -x-3−-1--x-39-+x--3+-1-->0
⌊(                              x
 |{ x> 1
||         1
|||( 0< x< -3√3
|||(                      (-1-  )
||||| 0< x< 1       ⇔   x∈  √33-;1
||{ ⌊x< 0
|⌈||| ⌈    1
 (  x> √33-

Здесь неравенства второй совокупности решаются методом интервалов.

Решим неравенство (2) с учетом того, что 0< √1-< 1:
     3

⌊(                 ⌊(|
 { x> 1            |{ x(>√1   )( √ -   )
||( 3> x−2          |||( -x-3-− 1-x--3+-1-> 0
|||              ⇔   |||         x2
||({ 0< x < 1        ||(|{ 0< x < 1
⌈                  |⌈  ( √-   )( √ -   )
 ( 3< x−2           |( -x-3-− 1-x--3+-1-< 0
⌊(                           x2
 || x> 1
|||||{ ⌊      1
||  |x <− √3-
||||||| |⌈    1
|||(  x > √3-                 (    )
||(                  ⇔   x ∈  0; 1√- ∪ (1;+∞ )
||||| 0< x < 1                     3
||||{ ⌊   1--
|||| || − √3 <x < 0
⌈||||( ⌈       -1-
    0< x < √3

Здесь неравенства второй совокупности решаются методом интервалов.

Объединив решения неравенств (1) и (2), окончательно получим

   (   1 )  (  1  )
x ∈  0;√3-  ∪  3√3-;1  ∪(1;+∞ )
Ответ:

(  1-)   (-1- )
 0;√3  ∪  √33-;1 ∪ (1;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1810

Решите неравенство

log  2     22 > log  2     x2,
   ax −bx+c        ax −bx+c

если a  , b  и c  таковы, что при любом x ∈ ℝ  выполнено   2
ax  + bx + c > 1

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|{ ax2 − bx + c > 0
    2
|( ax  − bx + c ⁄= 1
  x2 > 0

Зафиксируем произвольное x ∈ ℝ  , тогда − x ∈ ℝ  , следовательно, 1 < a(− x)2 + b(− x) + c = ax2 − bx + c  , таким образом, при любом x ∈ ℝ

  2
ax −  bx + c > 1,
следовательно, ОДЗ: x ⁄= 0  и исходное неравенство на ОДЗ равносильно
22 > x2,
откуда с учётом ОДЗ
       √ ---        √ ---
x ∈  (−   22;0) ∪ (0;  22).
Ответ:

   √ ---        √---
(−   22;0) ∪ (0;  22 )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2551

Решите неравенство

       −1          2
logx(2x--)-⋅ logx-(2x-)
  log2xx ⋅ log2x−2 x  < 40
Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ всех логарифмов:

(
|| x > 0
|||
||| x ⁄= 1                  (     )   (    )
{ 2x −1 > 0                  1-      1-         √ --   √ --
| 2x2 > 0       ⇔    x ∈   0;2   ∪   2;1   ∪ (1;  2) ∪ ( 2;+ ∞ )
|||
|||| 2x ⁄=  1
( 2x −2 ⁄= 1

Решим неравенство на ОДЗ. В числителе оба логарифма распишем по формуле loga (bc) = loga b + logac  , а в знаменателе – по формуле loga b = --1---
         logb a  , а затем по первой формуле:

(logx 2 + logx x− 1) ⋅ (logx 2 + logxx2)             (logx2 − 1)(logx2 + 2)
--------1----------------1----------<  40   ⇒    -----1----------1------< 40
  --------------⋅--------------−2                 ----------⋅----------
  logx 2 + logx x  logx 2 + logx x                   logx 2 + 1  logx2 − 2
Сделаем замену: log  2 = t
   x  . Тогда неравенство примет вид:
(t − 1)(t + 1)(t − 2)(t + 2) < 40  ⇒    (t2 − 1)(t2 − 4) < 40   ⇒    t4 − 5t2 − 36 < 0
Сделаем еще одну замену: t2 = z  . Тогда неравенство станет квадратичным:
z2 − 5z − 36 < 0   ⇒    (z + 4)(z − 9) < 0
Подставим вместо      2
z = t   :
  2
(t + 4)(t − 3)(t + 3) < 0
Решим полученное неравенство методом интервалов и получим ответ:
t ∈ (− 3;3)
Сделаем обратную замену:
                                                       (
{                       {              3               |{ logx(2x3) > 0
  logx2 > − 3      ⇒      logx 2 + logx x  > 0      ⇒          (    )
  logx2 < 3               logx 2 − logx x3 < 0           |( logx  -2-  < 0
                                                               x3
Каждое неравенство можно решить методом рационализации:
(           3                     (
|{ (x − 1)(2x −  1) > 0            |{ (x − 1)(2x3 − 1) > 0
         (  2    )           ⇒                    3
|( (x − 1)  ---− 1   < 0           |( (x − 1) ⋅ 2 −-x-< 0
           x3                                 x3
Решая каждое неравенство методом интервалов, получим:
(     (         )
|            -1--                          (      )
{ x ∈   − ∞; 3√ -- ∪ (1;+ ∞ )                   -1--    √3--
|             √2--                ⇔    x ∈   0;3√2-- ∪ (  2;+ ∞ )
( x ∈ (0;1) ∪ ( 32;+ ∞ )
Теперь осталось пересечь полученный ответ с ОДЗ:
    (     )   (       )   (√ --√ -)    √ --
x ∈   0; 1  ∪   1;√1--  ∪   32;  2  ∪ (  2;+ ∞ )
        2       2  32
Ответ:

(   )   (     )   (3√ --√ -)    √ --
 0; 12 ∪  12; 13√2- ∪    2;  2  ∪ (  2;+∞  )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2721

Решите неравенство

log  e + log     e < 0
  x        (x+2)
Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|| x > 0                   {
|{
  x ⁄= 1            ⇔        x > 0
||| x + 2 > 0                 x ⁄= 1
( x + 2 ⁄= 1

На ОДЗ:

log e + log     e < 0     ⇔       -1--+  ---1-----<  0.
   x       (x+2)                  ln x    ln(x + 2)

Рассмотрим отдельно случаи x ∈ (0;1 )  и x ∈ (1;+∞  )  .
 
1) x ∈ (1;+ ∞ )  , тогда

ln x > 0,     ln (x + 2) > 0,
следовательно,
-1--+  ---1----->  0.
lnx    ln(x + 2)
Таким образом, среди x ∈ (1;+ ∞ )  решений нет.
 
2) 0 < x < 1  , тогда
ln x < 0,     ln (x + 1) > 0,
следовательно,

 1        1
----+  ---------<  0   ⇔    ln (x + 2) + ln x > 0  ⇔    ln(x(x + 2)) > ln 1   ⇔
lnx    ln (x + 2 )
                       ⇔    x(x + 2) > 1   ⇔    x2 + 2x − 1 > 0

По методу интервалов на (0;1)  :
 
PIC
 
Таким образом,      √ --
x ∈ (  2 − 1;1)  .

 

Так как мы рассмотрели все x  из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный ответ:

     √ --
x ∈ (  2 − 1;1).
Ответ:

 √ --
(  2 − 1;1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#20621

Решите неравенство

       2⋅4x− 15 ⋅2x + 23
logx2+1 -4x−-9⋅2x+-14--≥ 0
Показать ответ и решение

Заметим, что  2
x +1 > 1  при x⁄= 0  , а значит мы можем опустить логарифм с учетом того, что при x= 0  выражение не имеет смысла:

pict

Для начала решим второе неравенство системы:

   x      x                     x2      x
2⋅4x-−-15⋅2x-+-23− 1 ≥0   ⇔   2⋅(2x)2-−-15⋅x2-+-23− 1 ≥0
  4 − 9 ⋅2 + 14               (2 ) − 9 ⋅2 +14

Обозначим 2x = t, t> 0  , тогда неравенство примет вид

2t2− 15t+-23            -t2-− 6t+-9-         --(t− 3)2--
 t2− 9t+ 14 − 1 ≥0  ⇔   (t− 2)(t− 7) ≥0  ⇔    (t− 2)(t− 7) ≥0

Решим последнее неравенство методом интервалов:

PIC

Получим t∈ (0;2)∪(7;+∞ )∪ {3} .

Вернемся к исходным обозначениям:

pict

Тогда система примет вид

pict

Отсюда окончательно получаем

x ∈(−∞; 0)∪(0;1)∪(log27;+∞ )∪ {log23}
Ответ:

(− ∞;0)∪ (0;1)∪ (log27;+ ∞)∪ {log23}

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#41109

Решите неравенство

log     (22x+1 − 2x+2+ 2)≤---x--
  2|2x−1|                 |2x− 1|
Показать ответ и решение

Сделаем замену 2x = t,  тогда неравенство примет вид

log     (2(t2− 2t+ 1))≤ ---x--
  2|2x−1|              |2x − 1|

Найдем ОДЗ. Основание логарифма положительно, поэтому

2(t2− 2t+ 1)> 0  ⇔   2(t− 1)2 > 0 ⇔   t⁄= 1  ⇒   x ⁄= 0

Кроме того, основание логарифма не равно 1 и знаменатель дроби не равен 0, то есть

2|2x−1| ⁄= 1, |2x − 1|⁄= 0 ⇒  x ⁄= 1
                             2

Тогда 2|2x−1| > 20 > 1,  следовательно, неравенство равносильно при этом условии и на ОДЗ:

      2  ( |2x−1|)|2xx−1|
2(t− 1) ≤  2            ⇒
      2
2(t− 1) ≤ t  ⇔
2t2 − 5t+ 2≤ 0 ⇔
1
2 ≤ t≤2   ⇒

− 1≤ x ≤ 1

Исключая      1
x= 0;2,  получаем ответ

x∈ [− 1;0)∪ (0;0,5)∪(0,5;1]
Ответ:

x ∈[−1;0)∪(0;0,5)∪ (0,5;1]

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#71554

Решите неравенство

        2
logx−4(2x − 9x+ 4)> 1.
Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ неравенства:

(|2x2− 9x+ 4> 0,
{x − 4 > 0,
|(
 x − 4 ⁄= 1.

(  2
|{ x − 4,5x +2 > 0,
|( x> 4,
  x⁄= 5.

Нули левой части первой строки системы легко определить по Виету: x1+ x2 = 4 +0,5= 4,5  и x1⋅x2 = 4⋅0,5 = 2.

(
|{ 2(x − 0,5)(x− 4)> 0,
|( x> 4,
  x⁄= 5.

Таким образом, получаем ОДЗ x∈ (4;5)∪ (5;+ ∞).

Перейдём к решению неравенства. представим единицу как logx−4(x − 4):

logx−4(2x2− 9x+ 4)> logx−4(x− 4),

log   (2x2− 9x + 4)− log  (x − 4)> 0.
  x−4                x−4

Применим метод рационализации:

(x− 4− 1)((2x2− 9x+ 4)− (x − 4))> 0,

(x − 5)(2x2− 10x +8)> 0,

(x − 5) ⋅2 ⋅(x2− 5x +4)> 0,

2(x− 5)(x2 − x − 4x + 4) >0,

2(x− 5)(x(x− 1)− 4(x − 1))> 0,

2(x − 5)(x− 1)(x − 4)> 0.

По методу интервалов для рационального неравенства получаем x ∈(1;4)∪(5;+∞ ).

Пересекаем промежутки ОДЗ и решений рационального неравенства и получаем x ∈ (5;+∞ ).

Ответ:

x ∈(5;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#72115

Решите неравенство

               2                  2
2log(x2−8x+17)2(3x + 5)≤ logx2−8x+17(2x + 7x + 5)
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

(|(x2− 8x+ 17)2 > 0
||||3x2+ 5 >0
|||{  2        2
 (x2− 8x+ 17) ⁄= 1
|||||2x2 + 7x+ 5 >0
|||(x  − 8x +17 >0
 x2 − 8x +17 ⁄=1

Первое неравенство является следствием пятого, поэтому его можно опустить. Шестое неравенство входит в третье, поэтому его также можно исключить. Остаётся:

(  2    5
|||{ x >2 − 3    2
  (x2− 8x + 17) − 1⁄= 0
|||( 2x + 7x+ 5> 0
  x2− 8x+ 17> 0

Первое неравенство верно для любого x,  т.к. квадрат любого числа всегда неотрицательный, поэтому его можно отбросить. У четвертого неравенства D = 64− 4⋅17= − 4< 0,  то есть парабола не имеет пересечений с осью   и всегда положительна. Поэтому остается только:

{(x2− 8x+ 16)(x2− 8x+ 18)⁄= 0
 2(x+ 5)(x + 1) >0
      2

Так как у неравенства x2− 8x+ 18⁄= 0  дискриминант равен
D = 64− 4⋅8 =− 8< 0,  то решений у неравенства нет.

{
  (x − 4)2 ⁄= 0
  (x + 5)(x+ 1)> 0
      2

{x ⁄= 4
 (x+ 2,5)(x+ 1)> 0

Итоговая ОДЗ: x∈ (−∞; −2,5)∪ (−1;4)∪(4;+∞ ).

Мы уже знаем, что квадратный трехчлен x2− 8x+ 17  не имеет корней, то есть график параболы всегда находится над осью x  и всегда положителен. В соответствии с этим мы имеем право вынести из основания левого логарифма степень 2 и при этом не ставить модуль, так как при любом x  трехчлен принимает исключительно положительные значения.

2log2     (3x2+ 5)≤ log 2     (2x2+ 7x+ 5).
2  x −8x+17            x −8x+17

Теперь решим неравенство с помощью метода рационализации:

            2                 2
logx2−8x+17(3x + 5)− logx2−8x+17(2x + 7x+ 5)≤ 0,

(x2− 8x+ 17− 1)(3x2+ 5− (2x2 +7x +5))≤ 0,

(x2− 8x+ 16)(x2− 7x)≤ 0,

(x− 4)2x(x− 7)≤ 0.

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

047+––+

Решением неравенства с учетом ОДЗ будет: [0;4) ∪(4;7].

Ответ:

x ∈[0;4) ∪(4;7]

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#73290

Решите неравенство

                2
(5x − 13)⋅log2x−5(x − 6x + 10) ≥0.
Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x2− 6x+ 10> 0,  {           (   )
{                  x > 52,      5
|( 2x− 5> 0         x ⁄= 3  x ∈  2;3  ∪(3;+∞ ).
  2x− 5⁄= 1

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

(5x− 13)⋅(log2x−5(x2− 6x+ 10)− 0)≥ 0,

(5x− 13)⋅(log2x−5(x2− 6x+ 10)− log2x−51)≥ 0,

(5x− 13)(2x− 5− 1)(x2− 6x+ 10− 1)≥ 0,

(5x− 13)(2x − 6)(x2− 6x + 9) ≥0,

(x− 13)(x− 3)(x− 3)2 ≥ 0.
     5

PIC

С учетом ОДЗ:

PIC

   (     ]
x∈   5; 13 ∪ (3;+∞ ).
     2 5
Ответ:

   (    ]
x ∈ 52; 135 ∪ (3;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#78013

Решите неравенство

2log(x+3)22+ log16(x +3)≥ 2,125.
Показать ответ и решение

ОДЗ определяют три неравенства:

(| (x+ 3)2 > 0,
{      2
|( (x+ 3) ⁄= 1,
  x+ 3 >0,

решая которые находим, что x∈ (−3;−2)∪ (− 2;+ ∞ ).
Так как на ОДЗ x +3 > 0,  получаем

2 log(x+3)2 2+ log24(x + 3) ≥2,125,

2⋅ 1 logx+32+ 1 ⋅log2(x+ 3)≥ 2,125,
  2         4

8logx+3 2+ 2log2(x+ 3)≥ 17,

8⋅ ---1-----+ 2log2(x+ 3)≥ 17.
   log2(x+ 3)

Пусть t= log2(x + 3),  тогда

8
t +2t− 17≥ 0,

2t2−-17t+8
     t     ≥ 0.

Найдем нули квадратного трехчлена:

2t2− 17t+8 = 0,

D = (−17)2− 4 ⋅2⋅8= 225,

        √---
t1 = 17−--225=  17-− 15-= 1,
      2⋅2        4     2

        √---
t1 = 17+-225-= 17+-15= 8.
      2 ⋅2       4

Воспользуемся методом интервалов

    1
2(t−-2)(t− 8)-≥0.
     t

PIC

Обратная замена. Обращаем внимание на то, что основание логарифма 2 > 1,  поэтому знак неравенства сохраняется:
1 случай.

       1
0 <t ≤ 2,

0< log2(x + 3) ≤ 1,
               2

                       12
log21< log2(x+ 3)≤ log22 ,

1< x +3 ≤ √2,

− 2< x≤ √2 − 3.

2 случай.

t≥ 8,

log2(x+ 3)≥ 8,

log2(x+ 3)≥ log228,

x + 3≥ 256,

x≥ 253.

С учётом ОДЗ

PIC

получаем x∈ (−2;−3+ √2]∪ [253;+∞ ).

Ответ:

   (        √-]
x ∈ − 2;− 3+  2 ∪ [253;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!