15.05 Логарифмические неравенства с числовым основанием
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ:
При исходное неравенство равносильно неравенству
Отсюда получаем
Сюда не вошёл следовательно, это и есть ответ.
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ:
При исходное неравенство равносильно неравенствам
По методу интервалов имеем:
То есть получаем
С учетом получаем решение исходного неравенства
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ:
Сделаем замену Тогда имеем:
Так как то
следовательно, последнее неравенство равносильно неравенству
Отсюда получаем
С учётом ОДЗ получаем окончательно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ:
Исходное неравенство равносильно неравенству
Сделаем замену
По методу интервалов имеем:
Отсюда
Тогда что равносильно
С учётом ОДЗ получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
При :
исходное неравенство равносильно неравенству
Таким образом, с учётом ОДЗ ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству
Таким образом, с учётом ОДЗ ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
На ОДЗ:
Сделаем замену :
Рассмотрим, какие значения может принимать
Покажем, что при всех неравенство
Обозначим
Таким образом, исходное неравенство выполнено при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
На ОДЗ:
Сделаем замену :
По методу интервалов:
откуда , тогда
, следовательно, с учётом ОДЗ
Аналогично по методу интервалов находим, что
решение неравенства (совпадающего с ОДЗ) имеет вид:
решение неравенства имеет вид:
их пересечение:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
При :
исходное неравенство равносильно неравенству
что при равносильно неравенству
При :
, следовательно, на
функция
убывает (при этом
– точка
локального максимума функции
), следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
Решим данное неравенство на ОДЗ. Оно равносильно неравенству
Пересечем решение с ОДЗ. Учитывая, что ,
, получаем окончательный ответ:
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
Решим неравенство на ОДЗ. Т.к. из ОДЗ следует, что , то
Следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно
Заметим, что на ОДЗ логарифм может быть равен нулю тогда и только тогда, когда его
аргумент равен 1, и больше нуля, когда основание и аргумент лежат по одну сторону
от 1. Следовательно, не может быть равен 0, а больше нуля он тогда и только
тогда, когда основание
больше 1. То есть неравенство
равносильно
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
Решим неравенство на ОДЗ. Преобразуем правую часть:
Таким образом, неравенство равносильно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
(Задача от подписчиков)
Обозначим . Тогда неравенство примет вид (
):
Таким образом, получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ неравенства: , то есть
.
Решим неравенство на ОДЗ.
Первый логарифм преобразуется в
Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получаем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
Сделаем замену с учётом того, что на ОДЗ
:
По методу интервалов:
откуда , тогда
, следовательно, с учётом ОДЗ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
Сделаем замену с учётом того, что на ОДЗ
:
По методу интервалов:
откуда , тогда
, следовательно, с учётом ОДЗ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ:
При исходное неравенство равносильно неравенствам
По методу интервалов на ОДЗ имеем:
Таким образом, получаем
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Найдем ОДЗ:
На ОДЗ имеем:
Сделаем замену
По методу интервалов имеем:
Отсюда получаем тогда
Заметим, что
Следовательно,
Таким образом, подходят только те при которых
Отсюда получаем окончательно
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, | 1 |
ИЛИ | |
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «
» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Может ли множество решений неравенства вида
совпадать с
ОДЗ:
На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству
Таким образом, достаточно положить , а
выбрать так, чтобы
выполнялось на
.
Например, определим как функцию, область определения которой
и на
области определения
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Число такое, что решением неравенства
является множество . Найдите
.
ОДЗ: .
На ОДЗ при исходное неравенство равносильно неравенству