15.04 Показательные неравенства
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Исходное неравенство равносильно неравенству
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ: — любое число.
Преобразуем данное неравенство:
Так как основание степени больше единицы, то неравенство равносильно
Решим данное неравенство методом интервалов:
Получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Представим правую часть неравенства в виде степени:
Так как основание степени больше единицы, то неравенство равносильно
Решим данное неравенство методом интервалов:
Отсюда получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ: — любое число.
Преобразуем данное неравенство:
Так как основание степени больше единицы, то неравенство равносильно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Исходное неравенство равносильно неравенству
Сделаем замену тогда полученное неравенство примет вид
Таким образом, по методу интервалов:
Откуда
Таким образом,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ: – произвольный.
Так как , то исходное неравенство равносильно неравенству
Сделаем замену :
Можно угадать корень левой части последнего неравенства: . Знание корня многочлена
позволяет поделить его столбиком на
, где
– его корень, тогда
Таким образом, последнее неравенство равносильно
то есть оно не выполняется при , следовательно, ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Исходное неравенство равносильно неравенству
При :
При :
покажем, что левая часть последнего неравенства возрастает при :
Так как возрастает на промежутке
, то у уравнения
не более одного
решения на
. При этом можно угадать его решение
Так как на промежутке
– возрастает, то при
выполнено
Таким образом, только при
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть – какое-то из решений уравнения
Так как – при любых
, то у уравнения
не может быть неположительных решений,
следовательно,
, следовательно,
ОДЗ исходного неравенства:
На ОДЗ:
функция – возрастает, функция
– убывает, следовательно, на ОДЗ у
уравнения
Так как на промежутке
– возрастает, а
– убывает, то при
выполнено
Таким образом, только при
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить неравенство
Перенесем все слагаемые в левую часть и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на (от этого значение каждой
дроби не изменится, а, значит, мы получим равносильное неравенство):
Разделим правую и левую части на положительное число и сделаем замену:
. Неравенство примет
вид:
Решая неравенство методом интервалов
получим ответ Но
следовательно, окончательный ответ
Вернемся к старой переменной:
Ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ: – произвольный.
Исходное неравенство равносильно неравенству
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ:
Заметим, что следовательно, смысл неравенства: левая часть не меньше некоторого отрицательного
числа.
Так как по определению показательная функция всегда принимает только положительные значения, то есть
при всех из ОДЗ, то решением неравенства является только ОДЗ.
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ: – произвольный.
Заметим, что . Следовательно, неравенство
равносильно
![PIC](/api/latex-service/v1/GetSession/2468/A_15_2_5.png)
получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
(Задача от подписчиков)
ОДЗ неравенства: .
Заметим, что . Далее, так как
, то неравенство можно
переписать в виде:
Решим данное неравенство методом интервалов. Корнями левой части являются и
. Так как
, то
.
Следовательно, .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Перенесем все слагаемые в одну часть:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить неравенство
(Задача от подписчиков)
По формуле левую часть можно записать как
.
С помощью формулы правую часть можно записать как
, затем с помощью
как
. Тогда неравенство примет вид:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Так как , то сделаем замену
тогда неравенство примет вид рационального:
Далее имеем следовательно, после приведения всех слагаемых к общему знаменателю неравенство
будет иметь вид
Решим данное неравенство методом интервалов:
Следовательно,
Сделаем обратную замену:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Сделаем замену: . Тогда неравенство примет вид:
![PIC](/api/latex-service/v1/GetSession/1760/fipi_15_2_2.png)
Тогда решением будут
Решением второго неравенства будут
Решением третьего неравенства будут
Следовательно, ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Сделаем замену , тогда неравенство сведется к рациональному:
![PIC](/api/latex-service/v1/GetSession/2250/fipi_15_2_5.png)
Тогда решением будут
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Так как , то с помощью замены
данное неравенство можно свести к рациональному:
(так как )
Данное неравенство можно преобразовать к виду:
Так как , то неравенство равносильно:
Решим данное неравенство методом интервалов:
Тогда решением будут
Сделаем обратную замену:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Так как ,
, то заменой
неравенство сведется к рациональному:
![PIC](/api/latex-service/v1/GetSession/148/fipi_15_2_8.png)
Тогда решением будут
Так как