Тема 15. Решение неравенств

15.05 Логарифмические неравенства с числовым основанием

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#497

Решите неравенство

log2(x2 + 2x) − 10 log (4x2 + 8x ) > − 26
   4                  4
Показать ответ и решение

ОДЗ:

{
 x2 + 2x >  0
    2
 4x  + 8x >  0

На ОДЗ:

log (4x2 + 8x) = log (4 ⋅ (x2 + 2x )) = 1 + log (x2 + 2x)
   4                4                       4

Сделаем замену log (x2 + 2x) = t
   4  :

 2                           2
t  − 10t − 10 > − 26   ⇔    t − 10t + 16 >  0  ⇔     (t − 2)(t − 8) > 0

По методу интервалов:
 
PIC
 
откуда t ∈ (− ∞;  2) ∪ (8;+ ∞ )  , тогда
log4(x2 + 2x ) ∈ (− ∞; 2) ∪ (8;+∞ )  , следовательно, с учётом ОДЗ

[
 0 < x2 + 2x <  16
    8     2
   4  < x  + 2x

Аналогично по методу интервалов находим, что
решение неравенства x2 + 2x > 0  (совпадающего с ОДЗ) имеет вид: x ∈ (− ∞; − 2) ∪ (0;+ ∞ )
решение неравенства x2 + 2x < 16  имеет вид: x ∈ (− 1 − √17; − 1 + √17-)
их пересечение:

           √ ---               √ ---
x ∈ (− 1 −   17;− 2) ∪ (0;− 1 +  17)
решение неравенства  2         8
x + 2x  > 4   имеет вид:
                √ -----8          √ -----8
x ∈  (− ∞; − 1 −   1 + 4 ) ∪ (− 1 +  1 + 4 ;+∞  )
решение полученной совокупности неравенств с учётом ОДЗ:
                √ ------         √ ---                √---          √ ------
x ∈ (− ∞; − 1 −   1 + 48 ) ∪ (− 1 − 17; − 2 ) ∪ (0;− 1 + 17 ) ∪ (− 1 + 1 + 48;+ ∞ ).
Ответ:

            √ ------          √ ---               √ ---         √ ------
(− ∞; − 1 −   1 + 48) ∪ (− 1 −  17;− 2) ∪ (0;− 1 +  17) ∪ (− 1 +  1 + 48;+∞  )

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!