Тема . Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет

.00 №18 из ЕГЭ 2024

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи №18 из егэ прошлых лет
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91278

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых уравнение

(             2)3  (            2)2   3|x+2a|   2|x+2a|
 1− (x− 2a+ 1)  −  1− (x− 2a+ 1)  = 2     − 2

имеет хотя бы один корень.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

(             2)3  (            2)2   3|x+2a|   2|x+2a|
 1− (x− 2a+ 1)  −  1− (x− 2a+ 1)  = 2     − 2

Пусть u = 1− (x − 2a+ 1)2,  v = 2|x+2a|.  Тогда уравнение примет вид

 3   2   3   2
u − u = v − v .

Заметим, что (x− 2a+ 1)2 ≥ 0  и |x + 2a|≥ 0.  Тогда

pict

Исследуем функцию

f(t)= t3 − t2 = t2(t− 1).

Если t ≤1,  то f(t)≤ 0.  Если t≥ 1,  то f(t)≥ 0.

Тогда так как u ≤1  и v ≥ 1,  то получаем, что f(u)≤ 0  и f(v)≥ 0,  то есть

0 ≥f(u)= u3− u2 = v3− v2 = f(v)≥ 0.

Значит, равенство достигается только при f(u)= 0= f(v).  Таким образом,

                                   [
                                 (||  u= 0
{f(u)= 0       {u2(u− 1)= 0      ||{  u= 1
           ⇔     2           ⇔   | [
 f(v)= 0        v (v − 1) =0      |||(  v = 0
                                    v = 1

Мы знаем, что v ≥ 1,  поэтому

( [           ( [
|{  u =0       |{  1− (x− 2a+ 1)2 =0
   u =1   ⇔      1− (x− 2a+ 1)2 =1
|( v = 1       |( 2|x+2a| =1

Решим последнее уравнение системы:

 |x+2a|
2     =1
2|x+2a| = 20
|x+ 2a|= 0
x+ 2a =0

 x= − 2a

Тогда получаем

                     ( ⌊
(|{[(−4a +1)2 = 1      |||{ |a= 0
  (−4a +1)2 = 0  ⇔     ⌈a= 0,5
|(                    |||  a= 0,25
 x = −2a             ( x= −2a

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при

a∈ {0;0,25;0,5}.
Ответ:

a ∈{0;0,25;0,5}.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!