Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.23 Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#215

В треугольнике $ABC :$ $∘ ∠C = 90 ,$ $2 sin∠BAC = 3.$ Найдите $AC,$ если $√- AB = 6 5.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда

BC- = 2 ⇒ BC = 2AB =4√5 AB 3 3

По теореме Пифагора

2 2 2 2 AC = AB − BC =36 ⋅5− 16 ⋅5= 20⋅5= 10 ⇒ AC = 10

Ответ: 10

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#216

В параллелограмме $ABCD :$ $AB = 15,$ $sin∠D = 0,4.$ Найдите длину $h$ — высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

В параллелограмме сумма односторонних углов равна $∘ 180,$ тогда

sin ∠A =sin(π− ∠D )= sin∠D = 0,4

0,4 = -h-= -h ⇒ h= 6 AB 15

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#217

В треугольнике $ABC :$ $∠A = 90∘,$ $ctg∠B = 0,6.$ Площадь треугольника $ABC$ равна $7,5.$ Найдите $AB + AC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

0,6= ctg ∠B = AB- AC

Площадь треугольника $ABC$ равна $7,5,$ тогда $7,5= 0,5⋅AB ⋅AC.$

Таким образом,

AB -AC = 0,6, AB ⋅AC = 15

Перемножая равенства, получим $2 AB = 9,$ тогда $AB = 3,$ $AC = 5,$ значит, $AB + AC = 8.$

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#218

В четырёхугольнике $ABCD :$ $AD = 5,$ $AD ∥ BC,$ $BD$ перпендикулярна $AD,$ $sin∠A = cos∠A,$ $-5-- sin∠C = √ 34.$ Найдите $BC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Треугольник $ABD$ — прямоугольный, тогда $∠A$ — острый. В силу основного тригонометрического тождества (для любого угла $α$ выполнено $2 2 sin α+ cos α= 1$ ) из равенства $sin∠A = cos∠A$ получаем, что

sin∠A = ± √1, 2

но $∠A$ — острый, тогда

sin∠A = √1- 2

и, значит, $∠A = 45∘.$

$∠ABD = 90∘− ∠A =45∘ = ∠A,$ тогда треугольник $ABD$ — равнобедренный и $BD =AD = 5.$

$AD ||BC,$ $BD$ перпендикулярна $AD,$ тогда $BD$ перпендикулярна и $BC.$

Так как синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, то

√5--= -5- ⇒ CD =√34- 34 CD

По теореме Пифагора

BC2 = CD2 − BD2 = 34− 25= 9 =32 ⇒ BC = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#678

Дан треугольник $YES,$ причем $∠S = 90∘.$ Известно, что $tg ∠Y = 1,5.$ Найдите $ctg∠E.$

Показать ответ и решение

$PIC$

По определению тангенса и котангенса:

tg∠Y = ES- и ctg∠E = ES- YS Y S

Таким образом мы видим, что $tg∠Y = ctg∠E = 1,5.$

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#679

Дан треугольник $YES,$ причем $∠S$ — прямой. Найдите синус угла $E,$ если синус угла $Y$ равен $3 5.$

Показать ответ и решение

$PIC$

По определению синуса:

sin∠E = Y-S = cos∠Y Y E

Т.к. $sin2α +cos2α= 1$ для любого угла $α,$ то

cos2∠Y = 1− (0,6)2 = 0,64 ⇒ cos∠Y = 0,8

Значит и $sin ∠E = 0,8.$

Ответ: 0,8

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#680

Дан прямоугольный треугольник $CAT,$ причем $∠C =90∘,$ а $CH$ — высота этого треугольника.

Известно, что $sin∠ACH = 2, 5$ $AT = 8.$ Найдите $AH.$

Показать ответ и решение

$PIC$

По определению синуса $AH- sin ∠ACH = AC .$ Для того, чтобы найти $AH,$ необходимо найти $AC.$

Т.к. высота прямоугольного треугольника $CAT,$ опущенная из вершины прямого угла, делит его на два треугольника, каждый из которых подобен треугольнику $CAT,$ то $∠ACH = ∠AT C.$ Значит, и

sin∠ACH =sin∠AT C = 2 5

Но по определению

AC- 2 AC- 16 sin∠AT C = AT ⇒ 5 = 8 ⇔ AC = 5

Значит,

2 = AH- ⇒ AH = AC ⋅ 2= 32 = 1,28 5 AC 5 25

Ответ: 1,28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#681

Дан прямоугольный треугольник $CAT$ с острыми углами $A$ и $T.$ Точка $H$ — такая точка на стороне $AT,$ что $cos∠ACH = cos∠AT C = 0,2.$ Найдите $HT,$ если известно, что $AT = 2,5.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Т.к. косинусы углов $ACH$ и $ATC$ равны, то равны и эти углы (т.к. это углы треугольников). Следовательно, $△ACH ∼ △CAT$ по двум углам ( $∠ACH = ∠AT C, ∠A$ — общий). Следовательно, $∠AHC =∠ACT = 90∘,$ то есть треугольник $ACH$ тоже прямоугольный.

По свойству прямоугольного треугольника и высоты, опущенной из вершины его прямого угла, $△CHT ∼ △CAT.$

По определению косинуса $cos∠CT H = HT-. CT$ Следовательно, необходимо найти $CT.$

Из треугольника $CAT :$

cos∠AT C = CT-= 0,2 ⇒ CT = AT ⋅0,2 =2,5⋅0,2= 0,5 AT

Следовательно,

HT = CT ⋅cos∠CT H = 0,5⋅0,2= 0,1

Ответ: 0,1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1003

В треугольнике $ABC :$ высота $CH$ равна $2√6,$ косинус угла $A$ равен $0,2.$ Найдите $AC.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $ABC :$

$PIC$

Так как косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то в треугольнике $AHC :$

AH- 1 cosA = AC = 5

Следовательно, можно принять $AH =x,$ $AC = 5x.$ Тогда по теореме Пифагора из этого же треугольника:

AC2 = AH2 + CH2 ⇒ 25x2 = x2+ 24 ⇔ x= ±1

Так как длина отрезка — неотрицательное число, то $x = 1$ и $AC = 5x= 5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1129

В треугольнике $ABC$ угол $C = 90∘,$ $CH$ — высота, $AB = 26,$ $tg∠B =5.$ Найдите $AH.$

Показать ответ и решение

$PIC$

По определению из треугольника $ABC :$

AC- = tg∠B = 5 BC 1

Следовательно, можно принять $AC = 5x,$ $BC = x.$ Тогда по теореме Пифагора

x2+ (5x)2 = 262 ⇒ x = √26

Тогда

AC- -5-- sin∠B = AB = √26

По свойству прямоугольного треугольника $∠B =∠HCA.$ Следовательно, из треугольника $HCA :$

√5--=sin∠HCA = AH- ⇒ AH = 25 26 AC

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1130

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC,$ $AB = 8,$ $√33 tg∠A = -4-.$ Найдите $AC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем $CK ⊥ AB.$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $CK$ также является медианой, следовательно, $AK = 0,5AB = 4.$ Тогда

√ -- √ -- CK-= tg∠A = --33- ⇒ CK = 33 AK 4

Тогда по теореме Пифагора из треугольника $ACK :$

AC = ∘AK2--+-CK2-= √16-+33-= 7

Ответ: 7

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1131

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC,$ $AB = 8,$ $sin ∠BAC =0,5.$ Найдите высоту $AH.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $∠BAC = ∠ABC,$ следовательно,

sin∠ABC = sin∠BAC = 0,5

Тогда из треугольника $AHB :$

sin ∠ABC = AH- ⇒ AH = 0,5AB = 4 AB

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1132

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC = 27,$ $AH$ — высота, $2 cos∠BAC = 3.$ Найдите $BH.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $∠BAC = ∠ABC,$ следовательно,

2 cos∠ABC = cos∠BAC = 3

Проведем $CK ⊥ AB.$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $CK$ — медиана. Из треугольника $CKB :$

KB-- 2 BC = cos∠ABC = 3 ⇒ KB = 18

Тогда $AB =2KB = 36.$ Из треугольника $AHB :$

BH-= cos∠ABC = 2 ⇒ BH = 24 AB 3

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1276

Большее основание равнобедренной трапеции равно 25. Боковая сторона равна 3. Синус острого угла равен $√11. 6$ Найдите меньшее основание.

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем две высоты $CK$ и $DH.$ По свойству равнобедренной трапеции $HDCK$ — прямоугольник, то есть $KH = CD = x.$ Тогда $AH + BC = 25− x,$ откуда $25−-x AH = 2 .$