Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.24 Теорема синусов и теорема косинусов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#233

В треугольнике $ABC :$ $∠A = 45∘,$ $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $BC,$ $OD = 44$ — серединный перпендикуляр к стороне $CB.$ Найдите $CB.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике $ABC,$ то $O$ — центр описанной около $ABC$ окружности, $OB = R.$

Обозначим $BC = a.$ По теореме Пифагора

( ) R2 = a 2+OD2 2

По теореме синусов

--a--- sin ∠A = 2R

Тогда

-a√2= 2R ⇒ R = √a- 2- 2

Значит,

a2 a2 2 2 2 2 = 4 +OD ⇒ a =4 ⋅OD ⇒ a= ±2⋅OD

Так как $a> 0,$ $OD > 0,$ то $a =2 ⋅OD = 88.$

Ответ: 88

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#234

В треугольнике $ABC :$ $∠B = 30∘,$ $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AC$ и $BC,$ $OD$ — серединный перпендикуляр к стороне $AC.$ Найдите $√3 ⋅AC --OD---.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике $ABC,$ то $O$ — центр описанной около $ABC$ окружности, $OC = R.$

Обозначим $AC =a,$ $OD = h.$ По теореме Пифагора

( ) R2 = a 2 +h2 2

По теореме синусов

--a--- a- sin∠B = 2R ⇒ 12 =2R ⇒ R = a

Тогда

2 a2 2 a2 4 a- 2-- a = 4 + h ⇒ h2 = 3 ⇒ h = ± √3

Так как $a> 0,$ $h > 0,$ то

√- a- -2- a-3- h = √3 ⇒ h = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#235

В треугольнике $ABC :$ $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AC$ и $BC,$ $OD$ — серединный перпендикуляр к стороне $CA,$ $AC- √- OD = 2 3.$ Найдите $√- 3 ⋅sin∠B.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим $OD = h,$ тогда $√- AC = 2h 3.$

По теореме Пифагора

R2 = CD2 + OD2 = 4h2 ⇒ R = 2h

По теореме синусов

√- -AC--= 2R ⇒ 2h-3-= 4⋅h sin∠B sin∠B

Тогда $√ - --3 sin∠B = 2 ,$ следовательно,

√ - 3⋅sin∠B = 1,5

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#850

Площадь остроугольного треугольника $ABC$ равна $20√3.$ Найдите $AC,$ если сторона $AB$ равна 8, а медиана $BM$ равна 5.

Показать ответ и решение

$PIC$

Т.к. $BM$ — медиана, то она делит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника:

√- SABM = SBMC = 10 3= 0,5⋅AB ⋅BM ⋅sinα

√ - sin α= --3⇒ α= 60∘ 2

с учетом остроугольности $ABC$

Воспользуемся теоремой косинусов и найдем $AM :$

AM = ∘AB2--+-BM2-−-2⋅AB-⋅BM--⋅cosα-= 7⇒ AC =14

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#949

В треугольнике $ABC :$ $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $AC = 5√3,$ $OD$ — серединный перпендикуляр к стороне $CA,$ $∠B =60∘.$ Найдите $OD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике $ABC,$ то $O$ — центр описанной около $ABC$ окружности, $AO = R.$

По теореме Пифагора:

2 2 2 R = AD + OD .

По теореме синусов

AC 5√3- 25⋅3 2R = sin-∠B-= -√3-= 10 ⇒ R = 5 ⇒ 25= --4- + OD2 2

Следовательно, $OD2 = 25. 4$ Так как $OD > 0,$ то $OD = 5= 2,5. 2$

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1146

Сторона $AB$ тупоугольного треугольника $ABC$ равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $AB = R.$ По теореме синусов:

-AB---= 2R ⇒ sin∠C = AB-= R--= 1 sin ∠C 2R 2R 2

Так как $∠C$ тупой, то $∠C =150∘.$

Ответ: 150

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1153

Сторона правильного треугольника равна $√3.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме синусов

a sinα-= 2R,

где $a$ — сторона треугольника, $α$ — противолежащий этой стороне угол, $R$ — радиус описанной окружности. Так как в правильном треугольнике все углы равны по $∘ 60 ,$ то

√ - √- ---3-- √3- 2R = sin60∘ = -32 = 2 ⇒ R = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1154

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $√3.$ Найдите сторону этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме синусов

a sinα-= 2R,

√ - ∘ √ - --3 a= 2R ⋅sin60 = 2⋅ 3⋅ 2 = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1155

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен $120∘.$ Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Показать ответ и решение

По теореме косинусов

2 2 2 ∘ AB = AC + BC − 2 ⋅AC ⋅BC ⋅cos120 = 2 ∘ 2 ( 1 ) = 2AC (1− cos120 )= 2⋅1 ⋅ 1+ 2 = 3

Следовательно, $√ - AB = 3.$ По теореме синусов

-a--= 2R, sinα

где $a$ — сторона треугольника, $α$ — противолежащий этой стороне угол, $R$ — радиус описанной окружности.

Следовательно,

√3 √3 D = 2R = sin120∘ = √3-= 2 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1559

В треугольнике $ABC :$ $sin∠B = 0,6,$ $AC = 3,$ $∠C = 30∘.$ Найдите $AB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

По теореме синусов

-AB---= -BC---= -CA--= 2R, sin∠C sin∠A sin∠B

где $R$ — радиус описанной около $ABC$ окружности.

Тогда

AB CA sin∠C-= sin-∠B-

Значит, $AB 0,5 = 5,$ откуда $AB = 2,5.$

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1560

В треугольнике $ABC :$ $∠C = 60∘,$ $AC = 8,$ $AB =7.$ Найдите $BC,$ если известно, что $BC > 4.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

По теореме косинусов

AB2 = AC2 + BC2 − 2 ⋅AC ⋅BC ⋅cos∠ACB

Обозначим $BC$ за $x,$ тогда $2 49 = 64 +x − 8x,$ откуда получаем

x2 − 8x +15 =0 2 2 D = 8 − 4⋅15 =4 = 2 8±-2 x1,2 = 2 x1 = 5 x2 = 3

Так как $BC > 4,$ то подходит $x= 5.$ Итого: $BC = 5.$

Ответ: 5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1561

В треугольнике $ABC :$ $sin∠B = 0,55,$ радиус описанной около $ABC$ окружности равен 5. Найдите $AC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме синусов

AB BC CA sin∠C--= sin∠A--= sin∠B-= 2R,

где $R$ — радиус описанной около $ABC$ окружности.

Тогда

-CA---= 2R sin∠B

Значит, $CA--= 10, 0,55$ откуда $CA = 5,5.$

Ответ: 5,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1562

В треугольнике $ABC :$ $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AC$ и $BC = 5π <AB,$ $OD = 2,5π$ — серединный перпендикуляр к стороне $CB.$ Найдите $∠A.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

По теореме Пифагора

√- R2 = CD2 + OD2 = 2⋅2,52⋅π2 ⇒ R = 2,5 2π

По теореме синусов

-BC---= 2R ⇒ --5π---= 5√2-π ⇒ sin∠A = √1- sin ∠A sin∠A 2

Следовательно, $∠A = 45∘$ или $∠A = 135∘,$ но $AB > BC,$ а в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда $∠A = 45∘.$

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1563

$AB$ — диаметр окружности с центром $O,$ который пересекает хорду $CD$ в точке $E,$ лежащей на $BO.$ Градусная мера дуги $AC$ равна $60∘,$ $OE = 0,6⋅OA.$ Найдите $7⋅cos∠CEA.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Построим радиус $CO$ и отрезок $CA,$ тогда $∠COA = 60∘$ и, следовательно, треугольник $COA$ — равносторонний, $∠CAE = 60∘,$ $AC = AO.$

$PIC$

$AE = 1,6⋅AO.$

Запишем теорему косинусов для треугольника $ACE :$

CE2 = AE2 + AC2 − 2 ⋅AE ⋅AC ⋅cos∠CAE

Тогда

CE2 = 2,56⋅AO2 + AO2 − 2 ⋅1,6⋅AO ⋅AO ⋅0,5= 1,96⋅AO2

Значит, $CE = 1,4 ⋅AO.$

По теореме синусов

--AC----= ---CE--- sin∠AEC sin ∠CAE

Тогда

√ - --AO----= 1,4⋅A√O- ⇒ sin∠AEC = --3 sin∠AEC 0,5 3 2,8

Из основного тригонометрического тождества находим: $cos∠AEC =± 1114.$ Так как точка $E$ лежит на $BO,$ то $∠AEC$ — острый, значит

cos∠AEC = 11 ⇒ 7⋅cos∠AEC = 5,5 14

Ответ: 5,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1564

$ABCD$ — вписанный четырёхугольник, причём $AB- AD- CD = 2 = BC ,$ $AC = 1.$ Найдите $BD.$

Показать ответ и решение

Обозначим $BC = x,$ $CD =y,$ $∠ABC = α,$ $∠BAD =β.$

$PIC$

Выразим $2 AC$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABC$ и $ACD :$

AC2 = x2+ 4y2− 4xycosα

Так как $cos(π − ϕ)= − cosϕ,$ то

AC2 = 4x2+ y2+ 4xycosα

Складывая два последних равенства с учётом того, что $AC = 1,$ получим:

2= 5(x2+ y2) ⇒ x2+ y2 = 0,4

Выразим $BD2$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABD$ и $BCD :$

BD2 = 4x2+ 4y2 − 8xycosβ 2 2 2 BD = x + y +2xycosβ

Тогда

2 2 2 2 4x + 4y − 8xycosβ = x + y + 2xycosβ

Так как $x2+ y2 = 0,4,$ то $xycosβ = 0,12.$

В итоге

BD2 = x2 +y2+ 2xycosβ = 0,4+ 2⋅0,12= 0,64 ⇒ BD = 0,8

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1565

$ABCD$ — вписанный четырёхугольник, причём $AB- AD- CD = k = BC ,$ $AC = 5,$ $BD =3.$ Найдите $k,$ если $AB >CD.$

Показать ответ и решение

Обозначим $BC = x,$ $CD =y,$ $∠ABC = α,$ $∠BAD =β.$

$PIC$

Выразим $2 AC$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABC$ и $ACD :$

AC2 = x2+ k2y2− 2xkycosα

Так как $cos(π − ϕ)= − cosϕ,$ то

AC2 = k2x2+ y2+ 2kxycosα

Складывая два последних равенства с учётом того, что $AC = 5,$ получим:

50 = (k2+ 1)(x2 +y2) ⇒ x2+ y2 =--50- k2+ 1

Выразим $BD2$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABD$ и $BCD :$

2 2 2 22 BD = k x + ky − 2kxkycosβ BD2 = x2+ y2 +2xycosβ

Тогда

2 2 2 2 2 2 k(x + y )− 2k xycosβ =x +y +2xycosβ

Так как $x2+ y2 =--50-, k2+ 1$ то

2 2 (k-−2-1)⋅50-= 2(k2 +1)xycosβ ⇒ xycosβ = 25(k2-−-12) k + 1 (k + 1)

В итоге

50 50(k2 − 1) 50(k2+ 1)+ 50(k2− 1) BD2 = 9= k2-+1-+ (k2+-1)2 = -----(k2+-1)2------= = -100k2- ⇒ 9(k2+ 1)2 = 100k2 (k2+1)2

Обозначим $2 t =k :$

2 9(t+ 1) = 100t 9t2− 82t+9 = 0 D = 6724− 324= 6400= 802 82 ±80 t1,2 =--18-- t1 = 9 1 t2 = 9

Так как $AB > CD,$ то $k > 1,$ тогда $2 t= k > 1,$ откуда $t =9,$ следовательно, $k =3$ ( $k > 1$ ).

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2144

Найдите площадь треугольника $KP M,$ если сторона $KP = 5,$ медиана $P O = 3√2,$ $∠KOP = 135∘.$

Показать ответ и решение

Из треугольника $KP O$ найдем $KO$ по теореме косинусов:

2 2 2 ∘ PK = KO + OP − 2 ⋅KO ⋅OP ⋅cos135

Значит, $KO = 1.$

$PIC$

Так как $PO$ — медиана, то она делит треугольник $KP M$ на два равновеликих треугольника:

SKPM =2 ⋅SKPO = 2⋅0,5⋅KO ⋅OP ⋅sin135∘ = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2145

В остроугольном треугольнике $PQR,$ сторона $PR$ которого равна 12, на стороны $QR$ и $PQ$ опущены высоты $PM$ и $RN.$ Вычислите площадь четырехугольника $PNMR,$ если известно, что площадь треугольника $NQM$ равна 2, а радиус окружности, описанной около треугольника $PQR,$ равен $9√2-- 2 .$