Тема 13. Решение уравнений

13.05 Тригонометрические: сведение к однородному уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#410

а) Решите уравнение

sin2 3x = 10 sin 3x cos3x − 9 cos23x

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [  π  π ]
 − --;--
    6 6 .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: x  – произвольное. Решим уравнение на ОДЗ.

Перенесем все слагаемые в левую часть и разделим обе части уравнения на cos23x  (т.к. данное уравнение является однородным):

  2
tg  3x − 10tg3x + 9 = 0
Сделаем замену t = tg3x, t ∈ ℝ  :
t2 − 10t + 9 = 0

По теореме Виета можно найти корни данного уравнения: t1 = 9, t2 = 1  . Сделаем обратную замену:

                                          ⌊
[            ⌊      π                            -π-   π-
 tg3x = 1      3x = -- + πk,k ∈ ℤ         | x1 = 12 +  3k,k ∈ ℤ
 tg3x = 9 ⇒  ⌈       4                 ⇒  ⌈      1          π         ⇒
               3x = arctg9 + πn, n ∈ ℤ      x2 = --arctg9 +  -n, n ∈ ℤ
                                                 3          3

б) Отберем корни:

  π-        π-                              3-       1-
− 6 ≤ x1 ≤  6  ⇒  − 2π ≤ π + 4πk  ≤ 2π ⇒  − 4 ≤ k ≤  4

Целые k  , удовлетворяющие этому неравенству, k =  0  . Следовательно,       π
x1 =  ---
      12

 

Обозначим arctg9 = α  :

  π         π       1   α         1   α
− --≤  x2 ≤ -- ⇒  − --− -- ≤ n ≤  --− --
  6         6       2    π        2   π

Т.к. тангенс в первой четверти возрастает, то π-       π-
3 <  α < 2  , значит,    1-    α-     1-           1-  α-     5-
−  2 < − π <  − 3 ⇒  − 1 < − 2 − π <  − 6

 

Аналогично, 0 <  1−  α-<  1-
     2   π    6

 

Таким образом, целые n  , удовлетворяющие неравенству, это n = 0  . Следовательно,      1
x2 = --arctg9
     3  .

Ответ:

а)  π    π   1         π
---+  -k, -arctg9 + --n,k,n ∈ ℤ
12    3   3         3

 

б) π--1-
12,3 arctg9

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!