13.05 Тригонометрические: сведение к однородному уравнению
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) Найдем ОДЗ: — произвольное. Решим на ОДЗ.
Сделаем замену для удобства. Тогда уравнение примет вид:
Это однородное уравнение первой степени, разделим обе части равенства на
Сделаем обратную замену:
б) Отберем корни с помощью неравенств:
Далее имеем:
Таким образом, целые , удовлетворяющие неравенству, это
. Значит,
.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие полуинтервалу .
а) ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ.
Заметим, что данное уравнение является однородным первой степени. Поделим правую и левую
части уравнения на :
б) Отберем корни. Обозначим :
Т.к. тангенс в первой четверти возрастает и , то
и
Условно можно записать, что
Следовательно, целые , удовлетворяющие неравенству, это
. Им соответствуют углы
и
.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Способ 1.
Если то по основному тригонометрическому тождеству
Тогда имеем:
Значит, Таким образом, можем разделить обе части уравнения на
Способ 2.
По формуле приведения и по формуле суммы синусов имеем:
Таким образом, имеем следующее уравнение:
б) Если корень принадлежит отрезку то
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Если то по основному тригонометрическому тождеству
Значит, имеем:
Тогда и можем разделить обе части уравнения на
б) Если корень принадлежит отрезку то
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку .
а) ОДЗ: – произвольное. Решим уравнение на ОДЗ.
Перенесем все слагаемые в левую часть и разделим обе части уравнения на (т.к. данное
уравнение является однородным):
По теореме Виета можно найти корни данного уравнения: . Сделаем обратную
замену:
б) Отберем корни:
Целые , удовлетворяющие этому неравенству,
. Следовательно,
Обозначим :
Т.к. тангенс в первой четверти возрастает, то , значит,
Аналогично,
Таким образом, целые , удовлетворяющие неравенству, это
. Следовательно,
.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие
а) ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ.
Применим формулу синуса двойного угла , раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую
часть:
Разделим правую и левую части равенства на , сделаем замену
и получим:
Сделаем обратную замену:
б) Отберем корни:
Обозначим , тогда:
Т.к. в первой четверти тангенс возрастает и целое
, удовлетворяющее неравенству, это
. Ему соответствует угол
.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку
а) Данное уравнение является однородным и решается путем деления правой и левой частей уравнения на или на
Разделим обе части на
б) Отберем походящие корни с помощью неравенств.
Первая серия решений:
Таким образом, целые удовлетворяющие этому неравенству, это
При этих значениях
получаем
корни
Вторая серия решений:
Заметим, что
Таким образом,
Значит, целые подходящие в полученное неравенство, это
При этих значениях
получаем корни
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие полуинтервалу .
а) ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:
Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу синуса двойного угла
:
Уравнение свелось к однородному. Разделим правую и левую части равенства на :
Заменой данное уравнение сводится к квадратному:
Сделаем обратную замену:
б) Отберем корни:
Целые , удовлетворяющие этому неравенству, это
. Следовательно,
.
Обозначим :
Т.к. котангенс в первой четверти убывает, то
(можно условно записать, что
),
значит, целые , удовлетворяющие неравенству, это
. Следовательно,
.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку .
а) ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ.
Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулы двойного аргумента для синуса и
косинуса: :
Данное уравнение является однородным. Разделим правую и левую части уравнения на и
сделаем замену
:
Дискриминант данного уравнения
Следовательно,
Таким образом, корнями данного уравнения будут:
Сделаем обратную замену:
б) Произведем отбор корней по окружности:
Отметим точки, являющиеся решением уравнения, на окружности. Для этого найдем на линии
тангенсов точки и
и соединим их с центром окружности. Получили четыре (зеленые) точки на
окружности.
Отметим дугу, соответствующую отрезку . Т.к.
рад
, то
.
Таким образом, видно, что на дугу попали лишь две точки.
Из серии углов угол, попадающий в
, это
. Из серии
— угол
.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Снегурочка готовится к сдаче ЕГЭ 2024 и изучает тригонометрию. В качестве тренировки Дед Мороз задал ей решить уравнение
Во время своего отпуска в Великом Устюге это же уравнение увидел АН, после чего задал решить его своим ученикам на курсе, тем более что все затрагиваемые в его решении темы (а их тут минимум три штуки) уже были разобраны на вебинарах.
а) Решите уравнение
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) По формуле разности квадратов
Рассмотрим первое уравнение совокупности:
Перед нами однородное уравнение первого порядка, колдуем над ним
следующим образом: допустим, косинус в этом уравнении равен 0. Тогда
то есть и синус также равен 0. Тут возникает противоречие с ОТТ,
ведь
Следовательно, этот случай не дает корней, и можно разделить
обе части уравнения на
Тогда получим:
Рассмотрим второе уравнение совокупности:
Здесь удобно вспомнить технику введения вспомогательного угла. Разделим
уравнение на
Получили простейшее уравнение, решением которого являются две серии:
б) Реализуем отбор графическим методом:
Минимальные вычисления для отобранных корней:
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку
а)
Перенесём в левую часть уравнения:
По ОТТ
По формуле синуса двойного угла
Вынесем за скобку:
Произведение равно 0 тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0:
Второе уравнение совокупности — однородное.
Если в рамках данного уравнения равен 0, то и
одновременно
равен 0. В таком случае получаем противоречие с ОТТ:
Разделим второе уравнение совокупности на
б)
Проведём отбор корней графическим методом:
Ни одна из точек серии не принадлежит отрезку.
Из серии на отрезок попадает ровно одна точка
Для того, чтобы точно определить её положение на окружности, сначала
определим положение точки Она, очевидно, лежит в IV четверти
из-за отрицательности аргумента арктангенса:
откуда
меньше
Отмерим такой же угол уже от точки и попадём в III четверть,
где и будет лежать точка
Таким образом:
а) , где
;
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) По формулам приведения, формуле двойного угла для косинуса и по основному тригонометрическому тождеству уравнение равносильно
Получили однородное уравнение второй степени, в котором
следовательно, после деления обеих частей уравнения на
получим
б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого
отметим на ней дугу, соответствующую отрезку концы этой дуги и
решения, которые лежат на ней.
Следовательно, на отрезке лежат числа:
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Рассмотрим уравнение как квадратное относительно
Тогда сумма и произведение корней и
уравнения, если таковые есть,
равны
По обратной теореме Виета получаем, что
Таким образом, возвращаясь к получаем совокупность
б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого
отметим на ней дугу, соответствующую отрезку концы этой дуги и
решения, которые лежат на ней.
Следовательно, на отрезке лежат числа
а)
б)