13.04 Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) Так как косинус — четная функция, то есть то
Кроме того, по формуле приведения имеем:
Тогда получим уравнение
Сделав замену получим квадратное уравнение
Корнями этого уравнения являются
Так как то корень
не подходит. Следовательно, получаем
б) Отберем корни с помощью неравенств:
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение .
б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
а) Преобразуем уравнение
Так как , то подходит только
, откуда получаем
б) Отберем корни с помощью неравенств:
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку
а) Перенесём все слагаемые в левую часть:
Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно
Сделаем замену тогда уравнение примет вид
Его дискриминант тогда имеем:
Сделав обратную замену, получим
Так как то уравнение
не имеет корней. Следовательно,
Уравнение имеет решения
Следовательно, уравнение имеет решения
б) Отберем корни с помощью неравенств.
При получаем
При получаем
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:
а) Данное уравнение является уравнением третьей степени относительно .
Сделаем замену
:
б)
а) , где
.
б) .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:
а) Данное уравнение является уравнением третьей степени относительно . Сделаем
замену
В новых переменных уравнение примет вид:
Можно угадать один из корней этого уравнения . Знание этого корня позволяет
вынести за скобку выражение
при помощи деления многочлена
на
столбиком:
Для дальнейшего разложения на множители необходимо найти корни квадратного уравнения
По теореме Виета сумма его корней равна , а их произведение равно
, откуда
подбираются корни
.
Таким образом,
Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, следовательно, корнями уравнения
являются .
Возвращаясь к старым переменным, находим, что корнями исходного уравнения являются те , при
которых выполнено по крайней мере одно из условий: или
, или
, или
.
Так как , то у уравнений
и
нет корней, тогда
Решения этого уравнения имеют вид , где
.
б)
а) , где
.
б) ,
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) ОДЗ: . Решим на ОДЗ:
Сделаем замену: :
Сделаем обратную замену:
Пересечем полученные ответы с ОДЗ:
1)
2)
3) или
.
б) Отберем корни:
1) , но т.к.
— натуральное, то
2) , но т.к.
— натуральное, то
.
3)
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) ОДЗ: . Решим на ОДЗ.
Сделаем замену: :
Сделаем обратную замену:
Пересечем данные ответы с ОДЗ: по ОДЗ не подходит только одна серия корней:
(т.к. если )
б) Отберем корни:
1)
2) Т.к. в первой четверти косинус убывает, то .
3) Аналогично второму случаю находим, что из третьей серии корней в промежуток попадает
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) Сделаем замену: . Тогда
, следовательно,
.
Следовательно, по формуле приведения . Тогда уравнение
примет вид:
б) Отберем корни.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Источники:
а) По формуле приведения , следовательно, уравнение примет вид:
Сделаем замену , тогда
Следовательно, , что равносильно
;
, что равносильно
и
,
.
б) Отберем корни.
. Так как
– целое, то
, следовательно,
.
. Так как
– целое, то
, следовательно,
.
. Так как
– целое, то
, следовательно,
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:
а) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла и перенесём всё влево:
Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно
.
Сделаем замену , тогда уравнение примет вид
Так как , то
быть не может, следовательно,
.
Уравнение имеет решения
,
, где
,
следовательно уравнение
имеет решения
,
, где
.
б)
а) ,
, где
.
б) .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:
а) Перенесём всё влево:
Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно
.
Сделаем замену , тогда уравнение примет вид
Так как , то
быть не может, следовательно,
.
Уравнение имеет решения
, где
, следовательно,
уравнение
имеет решения, для которых выполнено
, где
,
тогда
б)
а) , где
.
б) ,
,
,
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:
а) Используя формулу для косинуса двойного угла, исходное уравнение можно переписать в виде:
Используя формулу для синуса двойного угла, полученное уравнение можно переписать в виде:
Так как , то последнее уравнение можно
переписать в виде:
Используя формулы для косинуса двойного угла, последнее уравнение можно переписать в виде:
Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно
.
Сделаем замену , тогда уравнение примет вид
Так как , то
быть не может, следовательно,
.
Уравнение имеет решения
, где
, следовательно, уравнение
имеет решения, для которых выполнено
, где
,
тогда
б)
Так как , то
. При этом
, следовательно, среди этих
решений подходит только решение при
:
.
Так как , то
. При этом
, следовательно, среди этих
решений подходит только решение при
:
.
а) , где
.
б) ,
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:
а) Перепишем исходное уравнение при помощи основного тригонометрического тождества:
Последнее уравнение является уравнением третьей степени относительно .
Сделаем замену
:
б)
а) ,
, где
.
б) ,
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ.
Т.к. , то уравнение равносильно:
Сделаем замену: . Имеем:
Заметим, что не подходит. Сделаем обратную замену:
Заметим, что данные корни можно записать в виде двух формул:
б) Отберем корни:
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) ОДЗ: . Решим на ОДЗ.
Заметим, что в данном уравнении , т.к. тогда
не существует. Поэтому домножим
правую и левую части уравнения на
:
Сделаем замену :
Сделаем обратную замену:
Заметим, что данные ответы подходят под ОДЗ.
б) Отберем корни:
1)
2) Обозначим .
Т.к. в первой четверти тангенс возрастает, то , следовательно,
,
значит:
, следовательно, можно условно записать,
что
Значит, , следовательно,
.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ.
По формуле приведения , следовательно, уравнение примет
вид:
Сделаем замену: , тогда
:
Сделаем обратную замену:
Т.к. при любом
, следовательно,
, значит, второе уравнение
решений не имеет. Следовательно:
б) Отберем корни:
.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку
а) ОДЗ: . Решим на ОДЗ.
Т.к. уравнение примет вид:
С помощью замены данное уравнение сводится к квадратному, корнями которого будут
. Сделав
обратную замену, получим:
Заметим, что первая серия корней не удовлетворяет ОДЗ, т.к.
б) Отберем корни.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) По формуле приведения . Сделаем замену
:
Дискриминант уравнения
Следовательно, корнями будут
Сделаем обратную замену:
б) Отберем корни.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) Сделаем замену , тогда уравнение примет вид:
Заметим, что так как , то
не подходит. Следовательно,
б) Отберем корни.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) ОДЗ: . Решим на ОДЗ.
Сделаем замену: . Тогда уравнение примет вид:
Сделаем обратную замену:
Заметим, что для данных значений выполнено ОДЗ, следовательно, это и есть окончательный
ответ.
б) Отберем корни:
Аналогичным образом находим еще три корня, попадающие в промежуток: .
а)
б)